Inhoud van piramides

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Met welke formule bereken je de inhoud van elke piramide? ( $B$ = oppervlakte grondvlak, $h$ = hoogte)
1. a) $V = \frac{1}{3}Bh$
2. b) $V = \frac{1}{2}Bh$
3. c) $V = 3Bh$
4. d) $V = Bh$
Antwoord: $V = \frac{1}{3}Bh$
$V = \frac{1}{3}Bh$ . Een piramide is precies een derde van het prisma met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte, met inhoud $Bh$ .
2.
Een piramide heeft een vierkant grondvlak met zijden van $3$ m en een hoogte van $5$ m. Wat is de inhoud in m³?
Antwoord: 15
$B = 3^2 = 9$ m², dus $V = \frac{1}{3} \times 9 \times 5 = \frac{45}{3} = 15$ m³.
3.
Bereken de inhoud van een vierkante piramide met grondvlakzijden van $5$ cm en een hoogte van $12$ cm.
Antwoord: 100
1. Wat is de oppervlakte van het grondvlak in cm²? 25
2. Vermenigvuldig de oppervlakte van het grondvlak met de hoogte. Wat krijg je? 300
3. Deel door 3. Wat is de inhoud in cm³? 100
4.
Een prisma en een piramide hebben hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte. Het prisma heeft een inhoud van $90$ cm³. Wat is de inhoud van de piramide?
1. a)45 cm³
2. b)90 cm³
3. c)30 cm³
4. d)270 cm³
Antwoord: 30 cm³
De piramide is een derde van het prisma: $90 \div 3 = 30$ cm³.
5.
Een piramide heeft een grondvlak met oppervlakte $24$ cm² en een hoogte van $7$ cm. Wat is de inhoud in cm³?
Antwoord: 56
$V = \frac{1}{3} \times 24 \times 7 = 8 \times 7 = 56$ cm³.
6.
Een piramide heeft een rechthoekig grondvlak van $9$ m bij $4$ m en een hoogte van $5$ m. Bereken de inhoud.
Antwoord: 60
1. Wat is de oppervlakte van het grondvlak in m²? 36
2. Vermenigvuldig met de hoogte. Wat krijg je? 180
3. Deel door 3. Wat is de inhoud in m³? 60
7.
Welke lengte is $h$ in $V = \frac{1}{3}Bh$ ?
1. a)De loodrechte afstand van de top tot het grondvlak
2. b)De lengte van een ribbe van het grondvlak
3. c)De schuine hoogte van een driehoekig zijvlak
4. d)De lengte van een ribbe van de top naar een hoekpunt
Antwoord: De loodrechte afstand van de top tot het grondvlak
$h$ is de loodrechte hoogte: de afstand van de top recht naar beneden tot het grondvlak. De schuine hoogte loopt over een zijvlak en is langer.
8.
Een piramide heeft een rechthoekig grondvlak van $7$ cm bij $6$ cm en een hoogte van $10$ cm. Wat is de inhoud in cm³?
Antwoord: 140
$B = 7 \times 6 = 42$ cm², dus $V = \frac{1}{3} \times 42 \times 10 = 14 \times 10 = 140$ cm³.
9.
Het grondvlak van een piramide is een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van $6$ cm en $8$ cm. De piramide is $15$ cm hoog. Bereken de inhoud.
Antwoord: 120
1. Wat is de oppervlakte van de grondvlakdriehoek in cm²? 24
2. Vermenigvuldig met de hoogte van de piramide. Wat krijg je? 360
3. Deel door 3. Wat is de inhoud in cm³? 120
10.
Een vierkante piramide heeft grondvlakzijden van $4$ cm en een hoogte van $6$ cm. Welke berekening geeft de inhoud?
1. a) $\frac{1}{2} \times 4^2 \times 6$
2. b) $\frac{1}{3} \times 4^2 \times 6$
3. c) $\frac{1}{3} \times 4 \times 6$
4. d) $4^2 \times 6$
Antwoord: $\frac{1}{3} \times 4^2 \times 6$
$B = 4^2 = 16$ , dus $V = \frac{1}{3} \times 4^2 \times 6 = \frac{96}{3} = 32$ cm³. De andere keuzes vergeten het kwadraat of de $\frac{1}{3}$ , of gebruiken $\frac{1}{2}$ .
11.
Het grondvlak van een piramide is een driehoek met een basis van $10$ cm en een hoogte van $6$ cm. De piramide is $8$ cm hoog. Wat is de inhoud in cm³?
Antwoord: 80
$B = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30$ cm², dus $V = \frac{1}{3} \times 30 \times 8 = 10 \times 8 = 80$ cm³.
12.
Een piramide met een rechthoekig grondvlak van $8$ cm bij $5$ cm heeft een inhoud van $120$ cm³. Hoe hoog is ze?
Antwoord: 9
1. Wat is de oppervlakte van het grondvlak in cm²? 40
2. Wat is $3V$ , drie keer de inhoud? 360
3. Deel door de oppervlakte van het grondvlak. Wat is de hoogte in cm? 9
13.
Een doos (balk) heeft een vierkant grondvlak van $6$ cm bij $6$ cm en is $10$ cm hoog. Een holle piramide heeft hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte. Hoeveel volle piramides zand vullen de doos?
Antwoord: 3
1. Wat is de inhoud van de doos in cm³? 360
2. Wat is de inhoud van de piramide in cm³? 120
3. Hoeveel piramides vullen de doos? 3
14.
Je verdubbelt de zijde van het vierkante grondvlak van een piramide en houdt de hoogte gelijk. Met hoeveel wordt de inhoud vermenigvuldigd?
1. a)×8
2. b)×3
3. c)×4
4. d)×2
Antwoord: ×4
De oppervlakte van het grondvlak is $s^2$ , dus een dubbele $s$ geeft $(2s)^2 = 4s^2$ : vier keer zoveel grondvlak. De hoogte blijft gelijk, dus de inhoud wordt met $4$ vermenigvuldigd.
15.
Een vierkante piramide heeft een inhoud van $200$ cm³ en een hoogte van $6$ cm. Hoe lang is één zijde van het grondvlak, in cm?
Antwoord: 10
$B = \frac{3V}{h} = \frac{600}{6} = 100$ cm², en $s = \sqrt{100} = 10$ cm.
16.
Een vierkante piramide heeft grondvlakzijden van $16$ cm en een schuine hoogte van $17$ cm. Bereken de inhoud.
Antwoord: 1280
1. Wat is de helft van de grondvlakzijde, in cm? 8
2. Gebruik Pythagoras. Wat is de hoogte $h$ in cm? 15
3. Wat is de oppervlakte van het grondvlak in cm²? 256
4. Wat is de inhoud in cm³? 1280
17.
Een grote groepstent is een vierkante piramide. De vloer heeft zijden van $6$ m en de schuine hoogte van elk zijvlak is $5$ m. Hoeveel lucht zit erin?
Antwoord: 48
1. Wat is de helft van de vloerzijde, in m? 3
2. Gebruik Pythagoras. Wat is de hoogte van de tent in m? 4
3. Wat is de oppervlakte van de vloer in m²? 36
4. Wat is de inhoud in m³? 48
18.
Een glazen presse-papier is een vierkante piramide met een inhoud van $384$ cm³ en een hoogte van $8$ cm. Hoe lang is één zijde van het grondvlak, in cm?
Antwoord: 12
1. Wat is $3V$ ? 1152
2. Deel door de hoogte. Wat is de oppervlakte van het grondvlak in cm²? 144
3. Hoe lang is de zijde van het vierkante grondvlak in cm? 12