Terug naar les

Docentenhandleiding: Priemgetallen en samengestelde getallen

Leer priemgetallen (alleen deelbaar door 1 en zichzelf) en samengestelde getallen (met meer dan twee delers) herkennen.

Les presenterenDelen in ClassroomStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Factoren & Veelvouden. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen
  • Priemgetallen en samengestelde getallen definiëren
  • Identificeren of een gegeven getal priem of samengesteld is
  • Uitleggen waarom 11 noch priem noch samengesteld is
  • Priemgetallen tot 5050 opsommen
  • Deelbaarheidsregels toepassen om te bepalen of een getal priem is
Vereisten
  • • Begrip van delers en veelvouden
  • • Basisvaardigheden in delen
  • • Bekendheid met deelbaarheidsregels
Discussiestarters
  • 1. Waarom denk je dat wiskundigen besloten dat 11 geen priemgetal zou moeten zijn?
  • 2. Als er oneindig veel priemgetallen zijn, waarom is het dan zo moeilijk om nieuwe grote te vinden?
  • 3. Zie je patronen in waar priemgetallen voorkomen?
  • 4. Waarom zou de natuur priemgetallen gebruiken (zoals de cycli van cicaden)?
Veelvoorkomende misvattingen

Alle priemgetallen zijn oneven

Herstel: Vraag leerlingen naar 22. Het heeft slechts twee delers (11 en 22), dus het is priem. Het is het ENIGE even priemgetal omdat alle andere even getallen deelbaar zijn door 22.

Grote getallen kunnen geen priemgetallen zijn

Herstel: Toon voorbeelden zoals 9797, 101101 of 997997. Leg uit dat er geen grens is: er zijn altijd nog grotere priemgetallen.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

  • • Gebruik fysieke materialen (fiches) om delers visueel te tonen
  • • Concentreer je op getallen 1−201-20 voordat je uitbreidt
  • • Maak een referentiekaart van de eerste 1010 priemgetallen

Voor leerlingen op niveau:

  • • Oefen met getallen tot 100100
  • • Gebruik de methode van de Zeef van Eratosthenes
  • • Vind priemfactorisaties van samengestelde getallen

Voor gevorderde leerlingen:

  • • Verken priemtweelingen (33 en 55, 1111 en 1313, enz.)
  • • Onderzoek het vermoeden van Goldbach (elk even getal > 22 is de som van twee priemgetallen)
  • • Onderzoek de grootste bekende priemgetallen
Standaarduitlijning
  • 4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)

    Vind alle delerparen voor een natuurlijk getal in het bereik 1-100. Herken dat een natuurlijk getal een veelvoud is van elk van zijn delers. Bepaal of een natuurlijk getal in het bereik 1-100 priem of samengesteld is.

Lesbronnen
  • visualPriemgetallenzeef

    Interactieve Zeef van Eratosthenes om priemgetallen te vinden

  • activityDelerjacht

    Vind alle delers van getallen om ze te classificeren

  • worksheetPriem of samengesteld?

    Oefening in het classificeren van getallen met uitleg

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat precies twee delers heeft: 1 en zichzelf.
Een samengesteld getal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat meer dan twee delers heeft.
Voorbeelden:
  • 77 is priem omdat de enige delers 11 en 77 zijn
  • 1212 is samengesteld omdat de delers 1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12 zijn
Speciaal geval: Het getal 11 is noch priem noch samengesteld. Het heeft slechts één deler (zichzelf).

Uitgewerkte voorbeelden

Bepaal of 1717 priem of samengesteld is.
1

Maak een lijst van wat we moeten controleren

We moeten uitzoeken of 1717 andere delers heeft dan 11 en 1717 → Deelbaarheid controleren
2

Controleer deelbaarheid door 2

17÷2=8,517 \div 2 = 8{,}5 (geen geheel getal) → Niet deelbaar door 2
3

Controleer deelbaarheid door 3

17÷3=5,67...17 \div 3 = 5{,}67... (geen geheel getal) → Niet deelbaar door 3
4

Controleer deelbaarheid door 4

17÷4=4,2517 \div 4 = 4{,}25 (geen geheel getal) → Niet deelbaar door 4
5

Moeten we meer controleren?

5×5=25>175 \times 5 = 25 > 17, dus we controleren alleen tot 4 → Geen verdere controles nodig
6

Conclusie

1717 heeft geen andere delers dan 11 en 1717 → 1717 is priem

Veelgemaakte fouten

Denken dat 11 een priemgetal is

Waarom het fout is: Een priemgetal moet precies twee verschillende delers hebben. Het getal 11 heeft slechts één deler (zichzelf).

Correct: 11 is noch priem noch samengesteld. Het kleinste priemgetal is 22.

Denken dat alle oneven getallen priem zijn

Waarom het fout is: Veel oneven getallen hebben delers naast 11 en zichzelf.

Correct: 9=3×39 = 3 \times 3, 15=3×515 = 3 \times 5, 21=3×721 = 3 \times 7 zijn allemaal oneven maar samengesteld.

Vergeten dat 22 priem is

Waarom het fout is: Sommige leerlingen denken dat priemgetallen oneven moeten zijn.

Correct: 22 is het enige even priemgetal. Het heeft precies twee delers: 11 en 22.

Waarom het belangrijk is

Priemgetallen zijn de "bouwstenen" van alle natuurlijke getallen:
  • Cryptografie: Internetbeveiliging en wachtwoorden zijn gebaseerd op zeer grote priemgetallen
  • Informatica: Priemgetallen helpen bij het maken van efficiënte datastructuren
  • Natuur: Sommige cicaden komen om de 13 of 17 jaar tevoorschijn (beide priem!), waarschijnlijk om roofdieren te ontlopen
  • Wiskunde: Elk natuurlijk getal groter dan 11 is zelf priem of een product van priemgetallen
Priemgetallen begrijpen helpt je breuken te vereenvoudigen, gemeenschappelijke noemers te vinden en veel andere problemen op te lossen!

Toepassingen in de echte wereld

Internetbeveiliging

Wanneer je online winkelt of inlogt bij je bank, worden je gegevens beschermd door encryptie die zeer grote priemgetallen gebruikt.

Voorbeeld:

Beveiligingssystemen vermenigvuldigen twee enorme priemgetallen (met honderden cijfers). Het is makkelijk om ze te vermenigvuldigen maar bijna onmogelijk om te ontdekken welke priemgetallen zijn gebruikt.

1Probeer het zelf

Een eenvoudige encryptie gebruikt twee kleine priemgetallen vermenigvuldigd: 5×7=355 \times 7 = 35.

Als iemand alleen weet dat het product 3535 is, kun je de twee priemfactoren vinden?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vind twee priemgetallen die vermenigvuldigd 3535 geven:

Levenscycli van cicaden

Sommige cicaden leven 13 of 17 jaar ondergronds voordat ze tevoorschijn komen. Wetenschappers geloven dat ze levenscycli met priemgetallen hebben ontwikkeld om roofdieren te vermijden.

Voorbeeld:

Een roofdier met een cyclus van 2 jaar zou cicaden met een cyclus van 13 jaar maar eens in de 26 jaar tegenkomen. Bij een roofdier met een cyclus van 3 jaar is dat maar eens in de 39 jaar!

2Probeer het zelf

Een cicade heeft een cyclus van 17 jaar. Een roofdier heeft een cyclus van 4 jaar.

Hoe vaak zouden het roofdier en de cicade in hetzelfde jaar tevoorschijn komen?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vind het KGV van 1717 en 44:

Belangrijke punten

  • 1Een priemgetal heeft precies twee delers: 11 en zichzelf (voorbeelden: 2,3,5,7,112, 3, 5, 7, 11)
  • 2Een samengesteld getal heeft meer dan twee delers (voorbeelden: 4,6,8,9,104, 6, 8, 9, 10)
  • 3Het getal 11 is noch priem noch samengesteld
  • 422 is het enige even priemgetal
  • 5Om te testen of een getal priem is, controleer deelbaarheid door priemgetallen tot aan de vierkantswortel

Veelgestelde vragen

Waarom is 1 geen priemgetal?

Een priemgetal moet precies twee verschillende delers hebben. Het getal 11 heeft slechts één deler (zichzelf), dus het voldoet niet aan de definitie. Bovendien zou elk getal oneindig veel priemfactorisaties hebben als 11 priem zou zijn (bijv. 6=2×3=1×2×3=1×1×2×36 = 2 \times 3 = 1 \times 2 \times 3 = 1 \times 1 \times 2 \times 3...).

Bestaat er een grootste priemgetal?

Nee! Er zijn oneindig veel priemgetallen. De Griekse wiskundige Euclides bewees dit meer dan 2000 jaar geleden. Het recordpriemgetal dat in 2024 is gevonden, heeft meer dan 41 miljoen cijfers!

Waarom is 2 het enige even priemgetal?

Elk even getal groter dan 22 is deelbaar door 22, dus het heeft minstens drie delers (11, 22 en zichzelf). Dit maakt alle even getallen behalve 22 samengesteld.

Woordenlijst

Priemgetal
Een natuurlijk getal groter dan 11 met precies twee delers: 11 en zichzelf
Samengesteld getal
Een natuurlijk getal groter dan 11 met meer dan twee delers
Deler
Een getal dat een ander getal precies deelt zonder rest
Deelbaar
Een getal is deelbaar door een ander als de deling een geheel getal zonder rest oplevert

Meer over dit onderwerp

Delers en veelvouden

Basis20 min

Priemfactorisatie

Gemiddeld25 min

Grootste Gemene Deler (GGD)

Gemiddeld25 min

Kleinste Gemene Veelvoud (KGV)

Gemiddeld25 min