Docentenhandleiding: Continue groei en afname

Gebruik A = Pe^(rt) en A = Pe^(-kt) voor continue rentebijschrijving, groei van bacteriën en radioactief verval, en vergelijk continue met jaarlijkse rente.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Exponentiële functies. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

$A = Pe^{rt}$ gebruiken om hoeveelheden te berekenen die continu groeien
$A = Pe^{-kt}$ gebruiken om continue afname te beschrijven en het teken van de exponent te interpreteren
Continue en jaarlijkse rente bij hetzelfde percentage vergelijken en het verschil uitleggen
De beginwaarde $P$ bepalen uit een bekend toekomstig bedrag
Machten van $e$ op de rekenmachine berekenen en afronden zoals gevraagd

Vereisten

• Inleiding tot exponentiële functies: de vorm $f(x) = a \cdot b^x$
• Exponentiële groei: groeifactor $1 + r$ en $A = A_0(1 + r)^t$
• Het natuurlijke grondtal e: $e \approx 2{,}71828$ als limiet van $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$
• Procenten omzetten in decimale getallen en de volgorde van bewerkingen

Discussiestarters

1. Als een bank elke seconde rente bijschrijft in plaats van elke dag, krijg je dan veel meer geld? Waarom wel of niet?
2. Waarom maakt een negatieve exponent een hoeveelheid kleiner? Wat betekent $e^{-1}$ ?
3. Welke aanbieding zou jij kiezen: 6% jaarlijkse rente of 5,85% continue rente? Hoe kun je dat beslissen?
4. Waarom denk je dat wetenschappers voor groei en afname liever grondtal $e$ gebruiken dan grondtal 10?

Veelvoorkomende misvattingen

Continue rente laat geld onbeperkt groeien of verdubbelt het veel sneller

Herstel: Bereken naast elkaar $1000(1{,}05)$ , $1000\left(1 + \frac{0{,}05}{12}\right)^{12}$ en $1000e^{0{,}05}$ : 1050, ongeveer 1051,16 en ongeveer 1051,27. De winst van vaker rente bijschrijven is echt, maar klein.

Het minteken in $e^{-kt}$ maakt de hoeveelheid negatief

Herstel: Laat zien dat $e^{-0{,}6} \approx 0{,}5488$ nog steeds positief is: een negatieve exponent geeft een getal tussen 0 en 1, dus de hoeveelheid krimpt maar komt nooit onder nul.

Het percentage in de exponent mag als procent gebruikt worden

Herstel: Laat leerlingen $e^{5}$ en $e^{0{,}05}$ uitrekenen en vraag welke zinvol is als groeifactor voor één jaar bij 5% rente.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Geef de waarde van $e^{rt}$ in elke opgave, zodat leerlingen zich richten op het opstellen van $P \times e^{rt}$
• Begin met gehele exponenten zoals $e^{1}$ en $e^{2}$
• Gebruik een tabel met drie kolommen: $P$ , $e^{rt}$ , $A$

Voor leerlingen op niveau:

• Jaarlijkse, maandelijkse en continue rente vergelijken voor hetzelfde bedrag
• Opgaven oplossen waarin de beginwaarde $P$ gevraagd wordt
• Kiezen tussen twee spaaraanbiedingen door de groeifactoren voor één jaar te berekenen

Voor gevorderde leerlingen:

• Numeriek laten zien dat $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n}$ naar $e^{r}$ gaat als $n$ groter wordt
• De verdubbelingstijd van $Pe^{0{,}07t}$ schatten met een tabel en vergelijken met de regel van 70
• $Pe^{-kt}$ koppelen aan de halveringstijd: $k$ vinden bij een gegeven halveringstijd door uit te proberen

Standaarduitlijning

HSF-LE.A.1c (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1.C)
Situaties herkennen waarin een hoeveelheid per tijdseenheid met een constant percentage groeit of afneemt
HSF-LE.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.B.5)
De parameters van een lineaire of exponentiële functie in een context interpreteren
HSF-IF.C.8b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.8.B)
Rekenregels voor machten gebruiken om exponentiële functies te interpreteren en als groei of afname te herkennen
HSA-CED.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.CED.A.1)
Vergelijkingen met één onbekende opstellen en gebruiken om problemen op te lossen, ook met exponentiële functies

Lesbronnen

activityRenterace
Groepen berekenen 1000 € tegen 6% over 10 jaar met jaarlijkse, maandelijkse, dagelijkse en continue rente en vergelijken
worksheetGroei of afname?
Het teken van de exponent lezen in modellen zoals $50e^{-0{,}3t}$ en waarden berekenen met de rekenmachine
visualTwee grafieken
$P(1 + r)^t$ en $Pe^{rt}$ in hetzelfde assenstelsel tekenen om te zien hoe dicht ze bij elkaar liggen en welke hoger ligt

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

In de les over het natuurlijke grondtal

e

heb je gezien dat steeds vaker rente bijschrijven,

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

, steeds dichter bij

e \approx 2{,}71828

komt. Als een hoeveelheid continu groeit (op elk moment, niet één keer per jaar), gebruiken we

e

als grondtal.

Continue groei:

A = P e^{rt}

Continue afname:

A = P e^{-kt}

waarbij:

$P$ de beginwaarde is (op $t = 0$ )
$r$ het continue groeipercentage is en $k$ het continue afnamepercentage, allebei als decimaal getal ( $5\% = 0{,}05$ )
$t$ de tijd is, in dezelfde eenheid als het percentage (jaren, uren, dagen)
$A$ de hoeveelheid is na tijd $t$

Het teken van de exponent geeft de richting: een positieve exponent betekent groei, een negatieve exponent betekent afname. Je kunt afname ook schrijven als

A = Pe^{rt}

met een negatief percentage, bijvoorbeeld

r = -0{,}03

In de rekenmachine typ je

e^{x}

direct als e^(x), bijvoorbeeld e^0.5

\approx 1{,}6487

. Op een eenvoudige rekenmachine zonder

e

-toets typ je in plaats daarvan 2.71828^x.

Uitgewerkte voorbeelden

Je zet 1000 € op een rekening die 5% rente geeft met continue rentebijschrijving. Hoeveel staat er na 10 jaar op de rekening? Rond af op centen.

Bepaal de waarden

$P = 1000$ , $r = 0{,}05$ , $t = 10$ → Waarden bepaald

Bereken de exponent $rt$

$rt = 0{,}05 \times 10 = 0{,}5$ → $rt = 0{,}5$

Bereken $e^{0{,}5}$ met de rekenmachine

$2{,}71828^{0{,}5} \approx 1{,}648721$ → $e^{0{,}5} \approx 1{,}648721$

Vermenigvuldig met $P$

$A = 1000 \times 1{,}648721 \approx 1648{,}72$ → $A \approx 1648{,}72$

Antwoord: Na 10 jaar staat er ongeveer 1648,72 € op de rekening.

Veelgemaakte fouten

Het percentage als procent in de exponent zetten: $1000 e^{5 \times 10}$

Waarom het fout is: De formule heeft het percentage als decimaal getal nodig. $e^{50}$ is een gigantisch getal (ongeveer $5 \times 10^{21}$ ), wat voor een spaarrekening nergens op slaat.

Correct: Reken eerst om: $5\% = 0{,}05$ , dus $A = 1000 e^{0{,}05 \times 10} = 1000 e^{0{,}5}$ .

Het minteken vergeten bij afname: $80 e^{0{,}03 \times 20}$

Waarom het fout is: Zonder minteken is de exponent positief en groeit de hoeveelheid tot ongeveer 145,77 gram, meer dan de 80 gram waarmee je begon.

Correct: Afname heeft een negatieve exponent nodig: $A = 80 e^{-0{,}03 \times 20} = 80 e^{-0{,}6} \approx 43{,}90$ .

Eerst vermenigvuldigen en dan machtsverheffen: $(1000 \times 2{,}71828)^{0{,}5}$

Waarom het fout is: De exponent hoort alleen bij $e$ , niet bij $P$ . Volgens de volgorde van bewerkingen gaan machten voor vermenigvuldigen.

Correct: Bereken eerst $e^{rt}$ en vermenigvuldig dan met $P$ . Op de rekenmachine: 1000 × e^(0.05 × 10), met haakjes om de exponent.

$(1 + r)^t$ gebruiken terwijl de opgave continue rente noemt

Waarom het fout is: $(1 + r)^t$ is rente één keer per periode. Continue rente levert bij hetzelfde percentage altijd iets meer op.

Correct: Let op de woorden continu of continu percentage: die betekenen $Pe^{rt}$ . Eén keer per jaar betekent $P(1 + r)^t$ .

Waarom het belangrijk is

Veel processen wachten niet tot het einde van het jaar om te veranderen: ze veranderen op elk moment.

Financiën: sommige spaarrekeningen en leningen schrijven rente continu bij, en $Pe^{rt}$ is de bovengrens van wat elk rentesysteem bij hetzelfde percentage kan opleveren
Biologie: bacteriën in een lab delen zich voortdurend, niet volgens een rooster, daarom wordt hun groei beschreven met $e$
Natuurkunde en geneeskunde: radioactieve atomen vervallen op willekeurige momenten en een medicijn verlaat het bloed geleidelijk, en beide volgen $Pe^{-kt}$
Wetenschap in het algemeen: bijna elke groei- of afnameformule in scheikunde, natuurkunde en economie wordt met grondtal $e$ geschreven

Als je

Pe^{rt}

kunt lezen, kun je bankaanbiedingen vergelijken, labresultaten voorspellen en begrijpen hoe wetenschappers de ouderdom van oude voorwerpen bepalen.

Toepassingen in de echte wereld

Bank: sparen met continue rente

Banken vergelijken aanbiedingen met de gunstigst mogelijke rentebijschrijving, de continue. Die laat het plafond zien van wat een percentage kan opleveren.

Voorbeeld:

Bij 5% continue rente groeit 1 € in een jaar tot $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$ €, dus de effectieve jaarrente is ongeveer 5,13%, iets meer dan 5%.

1Probeer het zelf

Je zet 4000 € op een rekening met 4,5% continue rente en laat het 4 jaar staan.

Hoeveel staat er na 4 jaar op de rekening? Rond af op hele euro's.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $4000 \times e^{0{,}045 \times 4}$ :

Biologie: bacteriën in het lab

Microbiologen beschrijven een bacteriekweek met genoeg voedsel met $N(t) = N_0 e^{rt}$, waarbij $r$ het continue groeipercentage per uur is.

Voorbeeld:

Een kweek van 1000 bacteriën die continu met 30% per uur groeit, heeft na 2 uur $1000 e^{0{,}6} \approx 1822$ bacteriën.

2Probeer het zelf

Een labkweek begint met 2000 bacteriën en groeit continu met 40% per uur.

Hoeveel bacteriën zijn er na 5 uur? Rond af op een geheel getal.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $2000 \times e^{0{,}4 \times 5}$ :

Geneeskunde: radioactieve tracers

Ziekenhuizen gebruiken radioactieve stoffen zoals jodium-131 voor diagnose en behandeling. De hoeveelheid die over is volgt $A = Pe^{-kt}$, zo weten artsen elke dag hoeveel er nog is.

Voorbeeld:

Jodium-131 vervalt continu met ongeveer 8,6% per dag. Na 1 dag is $e^{-0{,}086} \approx 0{,}918$ , dus er is nog ongeveer 91,8% van het monster over.

3Probeer het zelf

Een ziekenhuis krijgt 100 mg jodium-131, dat continu vervalt met 8,6% per dag.

Hoeveel is er na 10 dagen over? Rond af op één decimaal.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $100 \times e^{-0{,}086 \times 10}$ :

Belangrijke punten

1Continue groei: $A = Pe^{rt}$ ; continue afname: $A = Pe^{-kt}$ , met de percentages als decimale getallen
2Een positieve exponent betekent groei, een negatieve exponent betekent afname
3In de rekenmachine typ je $e^{x}$ als e^(x) (zonder $e$ -toets als 2.71828^x) en zet je haakjes om de exponent
4Bij hetzelfde percentage en dezelfde tijd levert continue rente altijd iets meer op dan jaarlijkse rente
5Om de beginwaarde te vinden, deel je: $P = \frac{A}{e^{rt}}$
6Voor het oplossen naar de tijd $t$ heb je logaritmen nodig, die komen in latere lessen

Veelgestelde vragen

Waarom gebruiken we $e$ voor continue groei?

Als je

n

keer per jaar rente bijschrijft tegen percentage

r

, krijg je

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

. Als

n

steeds groter wordt, komt dit steeds dichter bij

e^{rt}

. Dus

e

is wat je krijgt als groei op elk moment plaatsvindt.

Hoeveel meer levert continue rente echt op?

Niet veel meer, maar altijd meer. Bij 5% gedurende een jaar vermenigvuldigt jaarlijkse rente met

1{,}05

en continue rente met

e^{0{,}05} \approx 1{,}0513

. Over lange periodes en bij grote bedragen wordt het verschil merkbaar.

Is $A = Pe^{-kt}$ hetzelfde als $A = Pe^{rt}$ met een negatieve $r$ ?

Ja. Sommige boeken schrijven afname met een positief afnamepercentage

k

en een minteken, andere gebruiken één formule

Pe^{rt}

met een negatieve

r

, bijvoorbeeld

r = -0{,}03

. Beide geven dezelfde uitkomst.

Hoe vind ik hoe lang het duurt om een bepaald bedrag te bereiken?

Dan moet je

A = Pe^{rt}

oplossen naar

t

, en daarvoor heb je de natuurlijke logaritme

\ln

nodig. Die leer je in de lessen over logaritmen. Tot die tijd kun je

t

schatten door waarden in een tabel uit te proberen.

Woordenlijst

Continue groei: Groei die op elk moment plaatsvindt, beschreven door $A = Pe^{rt}$ met $r > 0$
Continue afname: Afname die op elk moment plaatsvindt, beschreven door $A = Pe^{-kt}$ met $k > 0$
Continue rentebijschrijving: Rente die op elk moment wordt bijgeschreven; de limiet van steeds vaker rente bijschrijven
Continu percentage: Het percentage $r$ of $k$ in de exponent, geschreven als decimaal getal ( $4\% = 0{,}04$ )
Getal van Euler $e$: De constante $e \approx 2{,}71828$ , het natuurlijke grondtal voor continue groei en afname
Beginwaarde: De startwaarde $P$ op tijdstip $t = 0$

Formulekaart

Continue groei

A = P e^{rt}

$P$ = beginwaarde, $r$ = continu groeipercentage (decimaal), $t$ = tijd, $A$ = hoeveelheid na tijd $t$.

Continue afname

A = P e^{-kt}

$k$ = continu afnamepercentage (decimaal, positief). Het minteken laat de hoeveelheid krimpen.

Jaarlijkse rente (ter vergelijking)

A = P(1 + r)^t

Rente één keer per jaar bijgeschreven. Levert bij hetzelfde percentage iets minder op dan $Pe^{rt}$.

Beginwaarde

P = \frac{A}{e^{rt}}

Deel het eindbedrag door de groeifactor $e^{rt}$.

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Continue groei en afname

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Bank: sparen met continue rente

Biologie: bacteriën in het lab

Geneeskunde: radioactieve tracers

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Continue groei

Continue afname

Jaarlijkse rente (ter vergelijking)

Beginwaarde

Meer over dit onderwerp

Inleiding tot exponentiële functies

Exponentiële groei

Grafieken van exponentiële functies

Exponentiële afname