Continue groei en afname: werkblad met antwoorden (gratis, printbaar)

1.

Een stof vervalt continu met 4% per jaar. Welke formule beschrijft de hoeveelheid

A

na

t

jaar, beginnend bij

P

?

a) $A = Pe^{-0{,}04t}$
b) $A = P(1{,}04)^t$
c) $A = Pe^{0{,}04t}$
d) $A = Pe^{-4t}$

Antwoord: $A = Pe^{-0{,}04t}$

Continue afname gebruikt $A = Pe^{-kt}$ met $k = 0{,}04$ , dus $A = Pe^{-0{,}04t}$ . $Pe^{0{,}04t}$ zou groei zijn, $P(1{,}04)^t$ is jaarlijkse groei en $Pe^{-4t}$ gebruikt het procent in plaats van het decimale getal.

2.

Wat is in het model

A = 250e^{0{,}07t}

de beginwaarde?

a) $0{,}07$
b) $e$
c) $250$
d) $267{,}5$

Antwoord: $250$

Bij $t = 0$ : $A = 250e^{0} = 250 \times 1 = 250$ . Het getal voor $e$ is de beginwaarde; $0{,}07$ is het continue groeipercentage.

3.

Gebruik

A = Pe^{rt}

met

P = 1000

,

r = 0{,}04

en

t = 5

. Gebruik

e^{0{,}2} \approx 1{,}2214

. Wat is

A

? Rond af op één decimaal.

Antwoord: 1221.4

$rt = 0{,}04 \times 5 = 0{,}2$ , dus $A = 1000e^{0{,}2} \approx 1000 \times 1{,}2214 = 1221{,}4$ .

4.

Een populatie volgt

N = 300e^{0{,}12t}

, met

t

in jaren. Wat is het continue groeipercentage in procenten? Schrijf alleen het getal, zonder het %-teken.

Antwoord: 12

In $Pe^{rt}$ is het percentage $r = 0{,}12$ . In procenten: $0{,}12 \times 100 = 12\%$ . De exponent is positief, dus de populatie groeit.

5.

Je belegt 1500 € tegen 3% met continue rente gedurende 10 jaar. Gebruik

e^{0{,}3} \approx 1{,}3499

. Hoeveel heb je aan het eind? Rond af op hele euro's.

Antwoord: 2025

Schrijf het percentage 3% als decimaal getal. 0.03
Wat is de exponent $rt$ ? 0.3
Wat is $A = 1500 \times 1{,}3499$ , afgerond op een geheel getal? 2025

6.

Een kweek van 400 bacteriën groeit continu met 25% per uur. Hoeveel bacteriën zijn er na 4 uur? Gebruik

e \approx 2{,}71828

en rond af op een geheel getal.

Antwoord: 1087

Wat is de exponent $0{,}25 \times 4$ ? 1
Wat is $400 \times e^{1}$ , afgerond op een geheel getal? 1087

7.

Wat beschrijft het model

N = 50e^{-0{,}3t}

?

a)Continue groei van 0,3%
b)Continue afname van 30%
c)Continue afname van 3%
d)Continue groei van 30%

Antwoord: Continue afname van 30%

De exponent $-0{,}3t$ is negatief, dus het model beschrijft afname. Het percentage is $0{,}3 = 30\%$ per tijdseenheid, beginnend bij 50.

8.

Twee rekeningen beginnen met hetzelfde bedrag, hetzelfde percentage en dezelfde looptijd. De ene schrijft jaarlijks rente bij, de andere continu. Welke eindigt met meer geld?

a)De jaarlijkse
b)De continue
c)Ze eindigen met hetzelfde bedrag
d)Het hangt af van het beginbedrag

Antwoord: De continue

Voor elk positief percentage geldt $e^{r} > 1 + r$ , dus continue rente eindigt altijd met iets meer. Voorbeeld: 5% geeft jaarlijks een factor $1{,}05$ , maar continu $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$ , ongeacht het beginbedrag.

9.

200 gram van een radioactieve stof vervalt continu met 5% per jaar. Gebruik

e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065

. Hoeveel gram is er na 10 jaar over? Rond af op één decimaal.

Antwoord: 121.3

De exponent is $-0{,}05 \times 10 = -0{,}5$ , dus $A = 200e^{-0{,}5} \approx 200 \times 0{,}6065 = 121{,}3$ gram.

10.

Hoeveel moet je nu storten, tegen 5% met continue rente, om na 10 jaar 10000 € te hebben? Gebruik

e^{0{,}5} \approx 1{,}6487

en rond af op hele euro's.

Antwoord: 6065

$rt = 0{,}05 \times 10 = 0{,}5$ . Uit $10000 = Pe^{0{,}5}$ volgt $P = \frac{10000}{1{,}6487} \approx 6065{,}38 \approx 6065$ €.

11.

Een patiënt krijgt 60 mg van een medicijn. Het lichaam breekt het continu af met 20% per uur. Gebruik

e^{-0{,}6} \approx 0{,}5488

. Hoeveel mg is er na 3 uur afgebroken? Rond af op één decimaal.

Antwoord: 27.1

Wat is de exponent $-0{,}2 \times 3$ ? -0.6
Hoeveel mg is er nog over? ( $60 \times 0{,}5488$ , één decimaal) 32.9
Hoeveel mg is afgebroken? (één decimaal) 27.1

12.

Je belegt 3000 € tegen 4% gedurende 5 jaar. Gebruik

1{,}04^{5} \approx 1{,}2167

en

e^{0{,}2} \approx 1{,}2214

. Vergelijk jaarlijkse en continue rente. Rond elk bedrag af op hele euro's.

Antwoord: 14

Jaarlijkse rente: $3000 \times 1{,}2167$ , afgerond op hele euro's? 3650
Continue rente: $3000 \times 1{,}2214$ , afgerond op hele euro's? 3664
Hoeveel euro meer levert continue rente op? 14

13.

Hoeveel moet je vandaag storten, tegen 4% met continue rente, om na 5 jaar 6000 € te hebben? Gebruik de rekenmachine (

e \approx 2{,}71828

) en rond het eindantwoord af op hele euro's.

Antwoord: 4912

Wat is de exponent $rt$ ? 0.2
Wat is $e^{0{,}2}$ , afgerond op 4 decimalen? 1.2214
Wat is $P = \frac{6000}{e^{0{,}2}}$ , afgerond op hele euro's? 4912

14.

Aanbieding A: 6% met jaarlijkse rente. Aanbieding B: 5,85% met continue rente. Gebruik

e^{0{,}0585} \approx 1{,}0602

. Welke aanbieding levert na één jaar meer geld op?

a)Niet te zeggen zonder het bedrag
b)Beide leveren evenveel op
c)Aanbieding B
d)Aanbieding A

Antwoord: Aanbieding B

A vermenigvuldigt het geld met $1{,}06$ , B met $e^{0{,}0585} \approx 1{,}0602$ . Omdat $1{,}0602 > 1{,}06$ is aanbieding B iets beter (ongeveer 6,02% per jaar), bij elk bedrag. Een lager continu percentage kan een hoger jaarlijks percentage verslaan.

15.

5000 € wordt belegd tegen 8% gedurende 10 jaar. Gebruik

1{,}08^{10} \approx 2{,}158925

en

e^{0{,}8} \approx 2{,}225541

. Hoeveel euro meer levert continue rente op dan jaarlijkse rente? Rond af op hele euro's.

Antwoord: 333

Continu: $5000 \times 2{,}225541 \approx 11127{,}71$ . Jaarlijks: $5000 \times 2{,}158925 \approx 10794{,}63$ . Verschil: $11127{,}71 - 10794{,}63 = 333{,}08 \approx 333$ €.

16.

Je wilt 2000 € voor 10 jaar beleggen. Bank A geeft 5% met jaarlijkse rente, bank B 4,9% met continue rente. Gebruik

1{,}05^{10} \approx 1{,}6289

en

e^{0{,}49} \approx 1{,}6323

. Rond elk bedrag af op hele euro's. Hoeveel euro meer levert de betere bank op?

Antwoord: 7

Bank A: $2000 \times 1{,}6289$ , afgerond op hele euro's? 3258
Bank B: $2000 \times 1{,}6323$ , afgerond op hele euro's? 3265
Bank B is beter. Met hoeveel euro? 7

17.

Een monster van 500 gram van een radioactieve stof vervalt continu met 2% per jaar. Gebruik

e^{-1} \approx 0{,}3679

. Hoeveel gram is er na 50 jaar over? Rond af op hele grammen.

Antwoord: 184

Wat is de exponent $-0{,}02 \times 50$ ? -1
Welk percentage van het monster is over? Rond af op één decimaal en schrijf het zonder %-teken. 36.8
Hoeveel gram is er over, afgerond op hele grammen? 184

18.

Een kweek begint met 1000 bacteriën en groeit continu met 30% per uur. Gebruik

e^{0{,}6} \approx 1{,}8221

en

e^{1{,}2} \approx 3{,}3201

. Met welke factor groeit de kweek van uur 2 tot uur 4? Bepaal eerst het aantal bacteriën na 2 uur en na 4 uur (geheel getal) en geef dan de factor in twee decimalen.

Antwoord: 1.82

Hoeveel bacteriën na 2 uur? ( $1000e^{0{,}6}$ ) 1822
Hoeveel bacteriën na 4 uur? ( $1000e^{1{,}2}$ ) 3320
Met welke factor groeit de kweek van uur 2 tot uur 4? (twee decimalen) 1.82