Grafieken van exponentiële functies

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Wat is het snijpunt met de y-as van de grafiek van $y = 5 \cdot 3^x$ ?
1. a) $(0, 15)$
2. b) $(5, 0)$
3. c) $(0, 5)$
4. d) $(0, 3)$
Antwoord: $(0, 5)$
$y = 5 \cdot 3^0 = 5 \cdot 1 = 5$ , dus de grafiek snijdt de y-as in $(0, 5)$ . Het grondtal 3 bepaalt alleen hoe snel de grafiek stijgt.
2.
Welke grafiek daalt van links naar rechts?
1. a) $y = 0{,}5 \cdot 3^x$
2. b) $y = 2 \cdot (1{,}1)^x$
3. c) $y = 4 \cdot (0{,}3)^x$
4. d) $y = 4 \cdot 2^x$
Antwoord: $y = 4 \cdot (0{,}3)^x$
Alle vier hebben $a > 0$ , dus het grondtal beslist. Alleen $0{,}3$ ligt tussen 0 en 1, dus $y = 4 \cdot (0{,}3)^x$ daalt. De factor $0{,}5$ voor $3^x$ drukt de grafiek alleen in; hij stijgt toch, omdat $3 > 1$ .
3.
Wat is de horizontale asymptoot van $y = 2^x - 7$ ? Vul het getal $k$ in $y = k$ in.
Antwoord: -7
Als je 7 aftrekt, schuift de hele grafiek 7 eenheden omlaag, ook de asymptoot: $y = 0$ wordt $y = -7$ .
4.
Bereken voor $f(x) = 3 \cdot 2^x$ de waarde $f(-1)$ . Geef je antwoord als decimaal getal of als breuk.
Antwoord: 1.5
$f(-1) = 3 \cdot 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1{,}5$ . Het punt $(-1; 1{,}5)$ ligt op het vlakke linkerdeel van de grafiek.
5.
Maak een tabel voor $y = 4 \cdot 2^x$ . Wat is $y$ bij $x = 3$ ?
Antwoord: 32
1. Wat is $y$ bij $x = -2$ ? 1
2. Wat is $y$ bij $x = 0$ ? 4
3. Wat is $y$ bij $x = 2$ ? 16
4. Wat is $y$ bij $x = 3$ ? 32
6.
Maak een tabel voor $y = 6 \cdot (0{,}5)^x$ . Wat is $y$ bij $x = 3$ ? Geef een decimaal getal.
Antwoord: 0.75
1. Wat is $y$ bij $x = -2$ ? 24
2. Wat is $y$ bij $x = -1$ ? 12
3. Wat is $y$ bij $x = 1$ ? 3
4. Wat is $y$ bij $x = 3$ ? 0.75
7.
De grafiek van $y = 2^x$ wordt 3 eenheden naar links en 1 eenheid naar beneden verschoven. Welke vergelijking hoort bij de nieuwe grafiek?
1. a) $y = 2^{x-1} + 3$
2. b) $y = 2^{x+3} + 1$
3. c) $y = 2^{x-3} - 1$
4. d) $y = 2^{x+3} - 1$
Antwoord: $y = 2^{x+3} - 1$
3 naar links betekent $x - h$ met $h = -3$ , dus $x + 3$ ; 1 naar beneden betekent $k = -1$ . Dus $y = 2^{x+3} - 1$ , met asymptoot $y = -1$ .
8.
Wat is het bereik van $y = -4 \cdot 2^x + 1$ ?
1. a) $y > -4$
2. b) $y < 1$
3. c)alle reële getallen
4. d) $y > 1$
Antwoord: $y < 1$
De asymptoot is $y = 1$ ( $k = 1$ ). Omdat $a = -4 < 0$ , is de term $-4 \cdot 2^x$ altijd negatief, dus $y$ is altijd kleiner dan 1: het bereik is $y < 1$ .
9.
De grafiek van $y = 3^{x+2} - 5$ snijdt de y-as in $(0, ?)$ . Vul de y-coördinaat in.
Antwoord: 4
$y = 3^{0+2} - 5 = 9 - 5 = 4$ . Het snijpunt met de y-as is $(0, 4)$ , niet $(0, 1)$ en niet $(0, -4)$ , omdat de grafiek ook 2 naar links verschoven is.
10.
De grafiek van $y = a \cdot b^x$ gaat door $(0, 5)$ en $(2, 45)$ , met $b > 0$ . Bepaal $b$ .
Antwoord: 3
$a = 5$ uit het snijpunt met de y-as. Dan $5 \cdot b^2 = 45$ , dus $b^2 = 9$ en $b = 3$ (het grondtal is positief). De vergelijking is $y = 5 \cdot 3^x$ .
11.
De grafiek van $y = a \cdot b^x$ gaat door $(0, 3)$ en $(1, 6)$ . Bepaal de vergelijking en de waarde van $y$ bij $x = 4$ .
Antwoord: 48
1. Hoe groot is $a$ ? 3
2. Hoe groot is $b$ ? 2
3. Wat is $y$ bij $x = 4$ ? 48
12.
Bepaal voor $y = 2^{x+1} - 4$ de asymptoot, het snijpunt met de y-as en het snijpunt met de x-as. Waar snijdt de grafiek de x-as? Vul de x-coördinaat van dat punt in.
Antwoord: 1
1. De asymptoot is $y = k$ . Hoe groot is $k$ ? -4
2. Wat is $y$ bij $x = 0$ ? -2
3. Los $2^{x+1} = 4$ op. Hoe groot is $x$ ? 1
13.
Maak een tabel voor $y = -3 \cdot 2^x + 2$ en bepaal de asymptoot. Geef waar nodig decimale getallen.
Antwoord: 2
1. Wat is $y$ bij $x = 0$ ? -1
2. Wat is $y$ bij $x = -1$ ? 0.5
3. Wat is $y$ bij $x = 2$ ? -10
4. De asymptoot is $y = k$ . Hoe groot is $k$ ? 2
14.
Welke beschrijving past bij de grafiek van $y = -2 \cdot 3^{x-1} + 5$ ?
1. a)Dalend, asymptoot $y = -5$ , bereik $y < -5$
2. b)Stijgend, asymptoot $y = 1$ , bereik $y < 1$
3. c)Stijgend, asymptoot $y = 5$ , bereik $y > 5$
4. d)Dalend, asymptoot $y = 5$ , bereik $y < 5$
Antwoord: Dalend, asymptoot $y = 5$ , bereik $y < 5$
$k = 5$ geeft de asymptoot $y = 5$ . Omdat $a = -2 < 0$ , ligt de grafiek onder de asymptoot, dus het bereik is $y < 5$ . Met $b = 3 > 1$ groeit $3^{x-1}$ , en door de vermenigvuldiging met $-2$ daalt $y$ van links naar rechts.
15.
De grafiek van $y = a \cdot b^x$ gaat door $(1, 6)$ en $(3, 54)$ , met $b > 0$ . Bepaal $a$ .
Antwoord: 2
$b^2 = 54 : 6 = 9$ , dus $b = 3$ . Dan geeft $a \cdot 3 = 6$ de waarde $a = 2$ . Controle: $2 \cdot 3^3 = 54$ . De vergelijking is $y = 2 \cdot 3^x$ .
16.
De grafiek van $y = a \cdot b^x$ gaat door $(2, 12)$ en $(4, 48)$ , met $b > 0$ . Bepaal de vergelijking en de waarde van $y$ bij $x = 5$ .
Antwoord: 96
1. Hoe groot is $b^2 = 48 : 12$ ? 4
2. Hoe groot is $b$ ? 2
3. Hoe groot is $a$ ? 3
4. Wat is $y$ bij $x = 5$ ? 96
17.
Een grafiek van de vorm $y = a \cdot b^x + 2$ heeft de asymptoot $y = 2$ en gaat door $(0, 5)$ en $(1, 11)$ . Bepaal $a$ en $b$ , en daarna de waarde van $y$ bij $x = 2$ .
Antwoord: 29
1. Gebruik $(0, 5)$ : $a \cdot 1 + 2 = 5$ . Hoe groot is $a$ ? 3
2. Gebruik $(1, 11)$ : $3 \cdot b + 2 = 11$ . Hoe groot is $b$ ? 3
3. Wat is $y$ bij $x = 2$ ? 29
18.
Bepaal waar de grafiek van $y = 3 \cdot 2^x - 24$ beide assen snijdt. Wat is de x-coördinaat van het snijpunt met de x-as?
Antwoord: 3
1. Wat is $y$ bij $x = 0$ ? -21
2. Stel $y = 0$ : $3 \cdot 2^x = 24$ . Hoe groot is $2^x$ ? 8
3. Hoe groot is $x$ ? 3