Docentenhandleiding: Het natuurlijke grondtal e

Ontdek waar het getal e vandaan komt, waarom het ongeveer 2,71828 is en hoe de natuurlijke exponentiële functie y = e^x zich gedraagt.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Exponentiële functies. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

Uitleggen hoe het getal e ontstaat als limiet van (1 + 1/n)^n
Samengestelde interest berekenen voor verschillende bijschrijffrequenties en de grens beschrijven die ze naderen
Uitdrukkingen met e uitrekenen met de benadering e ≈ 2,71828
De grafiek van y = e^x beschrijven en vergelijken met y = 2^x en y = 3^x
Herkennen dat e irrationaal is en benaderingen correct gebruiken

Vereisten

• Inleiding tot exponentiële functies: de vorm f(x) = a · b^x, beginwaarde en grondtal
• Exponentiële groei: groeifactor en de formule A(t) = A_0(1 + r)^t
• Formule voor samengestelde interest A = P(1 + r/n)^(nt)
• Negatieve exponenten en exponent nul

Discussiestarters

1. Als rente elke seconde werd bijgeschreven, zou je dan oneindig rijk worden? Waarom wel of niet?
2. Waarom krimpt (1 + 1/n)^n volgens jou niet gewoon tot 1, terwijl 1 + 1/n steeds dichter bij 1 komt?
3. e en pi zijn allebei irrationale constanten. Welke andere beroemde constanten ken je, en waar komen ze vandaan?
4. Hoe zou je zonder rekenmachine kunnen laten zien dat e^x tussen 2^x en 3^x moet liggen?

Veelvoorkomende misvattingen

De rij (1 + 1/n)^n groeit eindeloos omdat de exponent eindeloos groeit

Herstel: Laat leerlingen de waarden voor n = 10, 100, 1000 en 1000000 berekenen en kijken hoe weinig elke nieuwe waarde toevoegt. Vraag of een som van steeds kleinere toenames per se oneindig moet worden.

e is een onbekende die je moet oplossen, net als x

Herstel: Vergelijk e met pi: beide zijn vaste getallen met een letter als naam, omdat hun decimalen nooit stoppen. Schrijf e^x in een paar opgaven als 2,71828^x om dat duidelijk te maken.

Continue rentebijschrijving levert heel veel extra geld op

Herstel: Laat de tabel zien voor 12 % op 1000 €: dagelijks geeft 1127,47 € en continu 1127,50 €. Het verschil is maar een paar cent.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Begin met de tabel van (1 + 1/n)^n en laat alleen n = 1 en n = 2 met de hand invullen
• Geef e ≈ 2,71828 en de waarden e^2 ≈ 7,389 en e^-1 ≈ 0,368 op een spiekkaart
• Gebruik de rentecalculator om de bijschrijfperiode te wisselen in plaats van machten met de hand uit te rekenen

Voor leerlingen op niveau:

• Samengestelde interest berekenen bij jaarlijkse, driemaandelijkse, maandelijkse en dagelijkse bijschrijving en vergelijken
• Uitdrukkingen als 3e^2 en e^0,5 met de rekenmachine uitrekenen
• y = 2^x, y = e^x en y = 3^x in één assenstelsel schetsen vanuit een tabel

Voor gevorderde leerlingen:

• De reeks e = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + ... onderzoeken en vergelijken hoe snel die e nadert
• (1 + r/n)^n onderzoeken voor r = 2 en r = 0,5 en de limiet (e^r) voorspellen
• Uitzoeken waarom 1/e opduikt bij het lootjesprobleem (permutaties zonder dekpunt)

Standaarduitlijning

HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.E)
Grafieken van exponentiële en logaritmische functies tekenen met snijpunten met de assen en het gedrag aan de uiteinden
HSF-LE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.2)
Lineaire en exponentiële functies opstellen uit een grafiek, een beschrijving of twee paren invoer en uitvoer
HSA-SSE.B.3c (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.B.3.C)
Rekenregels voor machten gebruiken om uitdrukkingen van exponentiële functies te herschrijven

Lesbronnen

visualBijschrijffrequentie verkennen
1000 € tegen 100 % voor een jaar instellen en van jaarlijkse naar dagelijkse bijschrijving wisselen om het totaal naar 2718,28 € te zien gaan
activityOp jacht naar e
Groepen berekenen (1 + 1/n)^n voor n = 1, 2, 10, 100, 1000, 1000000 en zetten de uitkomsten in een grafiek
worksheete^x uitrekenen
Oefenen met uitdrukkingen met e en e^x vergelijken met 2^x en 3^x

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Het natuurlijke grondtal

e

is een bijzonder getal, ongeveer

2{,}71828

. Het verschijnt als je de uitdrukking

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

berekent voor steeds grotere waarden van

n

$n$	$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$
$1$	$2$
$2$	$2{,}25$
$12$	$\approx 2{,}61304$
$365$	$\approx 2{,}71457$
$1\,000\,000$	$\approx 2{,}71828$

De waarden blijven groeien, maar komen nooit boven een bepaalde grens uit. Die grens is het getal

e

e \approx 2{,}718281828\ldots

Belangrijke feiten:

$e$ is irrationaal: de decimalen stoppen nooit en herhalen zich nooit, dus $2{,}71828$ is alleen een benadering
$e$ ligt tussen $2$ en $3$ , dus de grafiek van de natuurlijke exponentiële functie $y = e^x$ ligt tussen de grafieken van $y = 2^x$ en $y = 3^x$
Zoals elke functie $y = b^x$ gaat ze door $(0, 1)$ , want $e^0 = 1$
Het grondtal $e$ wordt zo vaak gebruikt dat $e^x$ vaak gewoon de exponentiële functie wordt genoemd

Uitgewerkte voorbeelden

Bereken $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ voor $n = 1$ , $n = 2$ en $n = 12$ . Wat valt je op?

Neem $n = 1$

$\left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2^1 = 2$

Neem $n = 2$

$\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25$

Neem $n = 12$ (met de rekenmachine)

$\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 1{,}083333^{12} \approx 2{,}61304$

Vergelijk met grotere $n$

$n = 365$ geeft $\approx 2{,}71457$ , $n = 1\,000\,000$ geeft $\approx 2{,}71828$ → De waarden groeien steeds langzamer

Antwoord: De uitkomsten $2$ , $2{,}25$ , $2{,}61304$ , ... blijven stijgen, maar vlakken af bij $e \approx 2{,}71828$ en komen er nooit boven.

Veelgemaakte fouten

Denken dat $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ onbeperkt groeit, of dat het krimpt tot $1$

Waarom het fout is: Twee effecten werken tegen elkaar in: $1 + \frac{1}{n}$ komt dichter bij $1$ , maar de exponent $n$ wordt groter. Geen van beide wint helemaal.

Correct: Controleer het met een tabel: $2$ , $2{,}25$ , $2{,}613$ , $2{,}7146$ , $2{,}71828$ . De waarden stijgen, maar vlakken af bij $e \approx 2{,}71828$ .

$e$ behandelen als een variabele, net als $x$

Waarom het fout is: Letters staan in de algebra meestal voor onbekenden, dus leerlingen proberen $e$ op te lossen of er andere getallen voor in te vullen.

Correct: $e$ is een vaste constante, net als $\pi$ . In $y = e^x$ is $x$ de variabele; $e \approx 2{,}71828$ verandert nooit.

$e^2$ uitrekenen als $2e \approx 5{,}437$

Waarom het fout is: Een exponent betekent herhaald vermenigvuldigen, niet vermenigvuldigen met de exponent.

Correct: $e^2 = e \cdot e \approx 2{,}71828 \cdot 2{,}71828 \approx 7{,}389$ .

$e = 2{,}71828$ of $e = 2{,}72$ schrijven alsof het exact is

Waarom het fout is: $e$ is irrationaal, dus geen enkel eindig decimaal getal en geen enkele breuk is precies gelijk aan $e$ .

Correct: Schrijf $e \approx 2{,}71828$ en rond pas aan het eind van een berekening af, zo nauwkeurig als de vraag vraagt.

Waarom het belangrijk is

Het getal

e

duikt overal op waar iets groeit of krimpt in verhouding tot zijn huidige grootte:

Banken: als rente steeds vaker wordt bijgeschreven (elke maand, elke dag, elke seconde), nadert het resultaat een grens die op $e$ is gebaseerd. Dit heet continue rentebijschrijving
Biologie: bacteriën en celculturen die zonder pauze groeien, worden beschreven met $e^x$
Natuurkunde en scheikunde: radioactief verval, afkoeling en het opladen van een condensator gebruiken machten van $e$
Kansrekening: als veel mensen lootjes trekken voor Sinterklaas, is de kans dat niemand zijn eigen naam trekt ongeveer $\frac{1}{e} \approx 0{,}368$
Analyse: $e^x$ is de enige exponentiële functie waarvan de veranderingssnelheid in elk punt gelijk is aan haar eigen waarde. Daarom is ze de natuurlijke keuze in de wetenschap

Daarom hebben wetenschappelijke rekenmachines een

e^x

-toets, en daarom gebruiken latere lessen (continue groei, populatiemodellen) het grondtal

e

Toepassingen in de echte wereld

Banken en hoe vaak rente wordt bijgeschreven

Banken noemen een jaarrente, maar schrijven de rente misschien jaarlijks, maandelijks of dagelijks bij. Hoe vaker dat gebeurt, hoe dichter het resultaat bij de continue grens komt die op $e$ is gebaseerd.

Voorbeeld:

Bij 12 % per jaar groeit 1000 € met jaarlijkse bijschrijving tot 1120,00 € en met continue bijschrijving tot ongeveer 1127,50 € ( $1000 \cdot e^{0{,}12}$ ).

1Probeer het zelf

Je zet 1000 € een jaar lang vast tegen 12 % per jaar, met maandelijkse rentebijschrijving.

Hoeveel staat er na een jaar op de rekening, afgerond op de cent?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{12}\right)^{12}$ :

Groeiende celculturen

Cellen in een laboratoriumkweek delen zich voortdurend, niet één keer per dag. Daarom beschrijven biologen hun groei met het grondtal $e$: $N = N_0 e^{kt}$.

Voorbeeld:

Een kweek van 200 cellen, beschreven door $N = 200e^{t}$ ( $t$ in uren), heeft na 1 uur $200e^{1} \approx 544$ cellen.

2Probeer het zelf

Een kweek begint met 200 cellen en wordt beschreven door $N = 200e^{t}$ , met $t$ in uren.

Hoeveel cellen zijn er ongeveer na 2 uur?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $200 \cdot e^2$ :

Lootjes trekken en 1/e

Bij lootjes trekken, waarbij iedereen een naam uit een hoed trekt, is de kans dat niemand zijn eigen naam trekt bijna precies $\frac{1}{e}$ zodra de groep uit meer dan een paar mensen bestaat.

Voorbeeld:

In een klas van 25 leerlingen is de kans dat niemand zijn eigen naam trekt ongeveer $0{,}368$ , dus in ongeveer 63 % van de gevallen moet er opnieuw getrokken worden.

3Probeer het zelf

Een grote groep trekt lootjes. De kans dat niemand zijn eigen naam trekt is $\frac{1}{e}$ .

Hoe groot is de kans, in procenten, dat minstens één persoon zijn eigen naam trekt?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $1 - \frac{1}{e}$ :

Belangrijke punten

1Als $n$ groter wordt, komt $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ steeds dichter bij het getal $e \approx 2{,}71828$
2 $e$ is irrationaal: $2{,}71828$ is een benadering, niet de exacte waarde
3Vaker rente bijschrijven (jaarlijks, maandelijks, dagelijks) levert meer op, maar het bedrag nadert een grens: continue rentebijschrijving
4De natuurlijke exponentiële functie $y = e^x$ gaat door $(0, 1)$ en heeft de x-as als horizontale asymptoot
5Omdat $2 < e < 3$ , ligt de grafiek van $y = e^x$ tussen de grafieken van $y = 2^x$ en $y = 3^x$
6Continue groei gebruikt $A = Pe^{rt}$ , dat je leert in de les Continue groei en afname

Veelgestelde vragen

Waarom heet e het natuurlijke grondtal?

Omdat het vanzelf opduikt in de natuur en in de financiële wereld, telkens als iets voortdurend groeit en niet in stappen. In de analyse is

e^x

de enige exponentiële functie waarvan de helling in elk punt gelijk is aan haar eigen waarde, en daardoor zijn formules met grondtal

e

het eenvoudigst.

Wie heeft e ontdekt?

Jacob Bernoulli vond het rond 1683 toen hij samengestelde interest bestudeerde, precies zoals in deze les. Leonhard Euler gaf het later de naam

e

, bewees veel eigenschappen en berekende veel decimalen. Daarom heet het het getal van Euler.

Is e hetzelfde als de constante van Euler?

Nee. Het getal van Euler

e \approx 2{,}71828

is het grondtal van de natuurlijke exponentiële functie. De constante van Euler-Mascheroni

\gamma \approx 0{,}5772

is een ander getal uit de getaltheorie. In dit onderwerp wordt alleen

e

gebruikt.

Hoe gebruik ik e op een rekenmachine?

De meeste wetenschappelijke rekenmachines hebben een

e^x

-toets. De rekenmachine in deze les kent

e

ook: typ e^0.5 voor

e^{0{,}5}

, wat ongeveer

1{,}6487

geeft. Zonder

e

-toets typ je in plaats daarvan 2.71828, bijvoorbeeld 2.71828^0.5.

Woordenlijst

Getal van Euler e: De irrationale constante $e \approx 2{,}71828$ , de limiet van $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ als $n$ groter wordt
Natuurlijke exponentiële functie: De functie $f(x) = e^x$ , een exponentiële functie met grondtal $e$
Irrationaal getal: Een getal dat niet als breuk te schrijven is; de decimalen stoppen nooit en herhalen zich nooit (voorbeelden: $e$ , $\pi$ , $\sqrt{2}$ )
Bijschrijffrequentie: Hoe vaak per jaar de rente bij het saldo wordt opgeteld, genoteerd als $n$ (jaarlijks $n = 1$ , maandelijks $n = 12$ , dagelijks $n = 365$ )
Continue rentebijschrijving: De grens als rente steeds vaker wordt bijgeschreven; het bedrag is $A = Pe^{rt}$

Formulekaart

Definitie van e

e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828

Voor zeer grote $n$ ligt $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ heel dicht bij $e$.

Natuurlijke exponentiële functie

f(x) = e^x

Gaat door $(0, 1)$, altijd positief, horizontale asymptoot $y = 0$, ligt tussen $2^x$ en $3^x$.

Samengestelde interest

A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

$P$ = beginkapitaal, $r$ = jaarrente als decimaal getal, $n$ = bijschrijvingen per jaar, $t$ = jaren.

Continue rentebijschrijving

A = Pe^{rt}

De limiet van samengestelde interest als $n$ onbeperkt groeit.

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Het natuurlijke grondtal e

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Banken en hoe vaak rente wordt bijgeschreven

Groeiende celculturen

Lootjes trekken en 1/e

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Definitie van e

Natuurlijke exponentiële functie

Samengestelde interest

Continue rentebijschrijving

Meer over dit onderwerp

Inleiding tot exponentiële functies

Exponentiële groei

Grafieken van exponentiële functies

Exponentiële afname