Het natuurlijke grondtal e

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welk getal is de beste benadering van $e$ ?
1. a)2,5
2. b)1,41421
3. c)3,14159
4. d)2,71828
Antwoord: 2,71828
$e \approx 2{,}71828$ . Het getal $3{,}14159$ is $\pi$ , $1{,}41421$ is $\sqrt{2}$ , en $2{,}5$ is te klein.
2.
Als $f(x) = e^x$ , wat is dan $f(0)$ ?
1. a) $0$
2. b) $1$
3. c) $e$
4. d) $-1$
Antwoord: $1$
$f(0) = e^0 = 1$ . Daarom snijdt de grafiek van $y = e^x$ de y-as in $(0, 1)$ .
3.
Waar ligt de grafiek van $y = e^x$ voor $x > 0$ ?
1. a)Boven $y = 2^x$ en onder $y = 3^x$
2. b)Precies op de grafiek van $y = 3^x$
3. c)Boven $y = 2^x$ en boven $y = 3^x$
4. d)Onder $y = 2^x$ en onder $y = 3^x$
Antwoord: Boven $y = 2^x$ en onder $y = 3^x$
Omdat $2 < e < 3$ , geldt voor $x > 0$ dat $2^x < e^x < 3^x$ . Bijvoorbeeld bij $x = 2$ : $4 < 7{,}389 < 9$ .
4.
Wat gebeurt er met $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ als $n$ steeds groter wordt?
1. a)Het komt steeds dichter bij $1$
2. b)Het komt steeds dichter bij $e \approx 2{,}71828$
3. c)Het komt steeds dichter bij $2$
4. d)Het groeit onbeperkt
Antwoord: Het komt steeds dichter bij $e \approx 2{,}71828$
De waarden zijn $2$ , $2{,}25$ , $2{,}613$ , $2{,}7146$ , ... Ze blijven stijgen, maar vlakken af bij $e \approx 2{,}71828$ . Ze groeien dus niet onbeperkt en gaan niet terug naar $1$ of $2$ .
5.
Welke waarde ligt met $e \approx 2{,}71828$ het dichtst bij $e^3$ ?
1. a) $27$
2. b) $20{,}09$
3. c) $8{,}15$
4. d) $9$
Antwoord: $20{,}09$
$e^3 \approx 2{,}71828^3 \approx 20{,}09$ . De waarde $8{,}15$ is $3e$ (een veelgemaakte fout), en $9 = 3^2$ en $27 = 3^3$ gebruiken het verkeerde grondtal. Omdat $e < 3$ , moet $e^3$ kleiner zijn dan $27$ .
6.
Bereken $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ voor $n = 2$ .
Antwoord: 2.25
$\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25$ . Dat is de tweede waarde in de tabel die naar $e$ toe gaat.
7.
De grafiek van $y = e^x$ snijdt de y-as in het punt $(0, b)$ . Wat is $b$ ?
Antwoord: 1
Bij $x = 0$ : $y = e^0 = 1$ , dus $b = 1$ . Elke functie $y = b^x$ gaat door $(0, 1)$ .
8.
Bereken $3e^2$ met $e^2 \approx 7{,}389$ . Rond af op één decimaal.
Antwoord: 22.2
$3e^2 \approx 3 \cdot 7{,}389 = 22{,}167$ , afgerond $22{,}2$ .
9.
Bereken $e^{-1} = \frac{1}{e}$ met $e \approx 2{,}718$ . Rond af op drie decimalen.
Antwoord: 0.368
$e^{-1} = \frac{1}{e} \approx \frac{1}{2{,}718} \approx 0{,}36792$ , afgerond $0{,}368$ .
10.
Er staat 1000 € op een rekening die 100 % rente per jaar betaalt, met driemaandelijkse bijschrijving ( $n = 4$ ). Hoeveel staat er na een jaar op de rekening? Rond af op de cent.
Antwoord: 2441.41
$1{,}25^4 = 2{,}44140625$ , dus $A = 1000 \cdot 2{,}44140625 = 2441{,}40625 \approx 2441{,}41$ €. Dat is meer dan bij jaarlijkse bijschrijving (2000 €) en minder dan de continue grens $1000e \approx 2718{,}28$ €.
11.
Bereken $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ voor $n = 4$ . Rond het eindantwoord af op vier decimalen.
Antwoord: 2.4414
1. Wat is $1 + \frac{1}{4}$ als decimaal getal? 1.25
2. Kwadrateer: $1{,}25^2 = ?$ 1.5625
3. Kwadrateer nog een keer: $1{,}5625^2$ , afgerond op vier decimalen 2.4414
12.
Neem $f(x) = e^x$ . Bereken $f(0)$ , $f(1)$ en $f(2)$ en kijk daarna hoe de waarden groeien. Gebruik $e \approx 2{,}71828$ en $e^2 \approx 7{,}389$ .
Antwoord: 2.72
1. Wat is $f(0) = e^0$ ? 1
2. Wat is $f(1) = e^1$ , afgerond op drie decimalen? 2.718
3. Wat is $f(2) = e^2$ (gebruik de gegeven waarde)? 7.389
4. Deel $f(2)$ door $f(1)$ : $\frac{7{,}389}{2{,}718}$ , afgerond op twee decimalen 2.72
13.
Vergelijk $2^2$ , $e^2$ en $3^2$ met $e^2 \approx 7{,}389$ . Hoe ver ligt $e^2$ van elk van de andere twee waarden af?
Antwoord: 1.611
1. Wat is $2^2$ ? 4
2. Wat is $3^2$ ? 9
3. Hoeveel groter is $e^2$ dan $2^2$ ? ( $7{,}389 - 4$ ) 3.389
4. Hoeveel kleiner is $e^2$ dan $3^2$ ? ( $9 - 7{,}389$ ) 1.611
14.
Je zet 1000 € een jaar lang vast tegen 10 % per jaar, met halfjaarlijkse bijschrijving ( $n = 2$ ). Vergelijk het resultaat met continue bijschrijving en gebruik $e^{0{,}1} \approx 1{,}10517$ .
Antwoord: 2.67
1. Wat is de rente per half jaar als decimaal getal? 0.05
2. Wat is de groeifactor voor een jaar, $1{,}05^2$ ? 1.1025
3. Hoeveel staat er op de rekening bij halfjaarlijkse bijschrijving? 1102.5
4. Hoeveel is het bij continue bijschrijving? ( $1000 \cdot 1{,}10517$ , afgerond op de cent) 1105.17
5. Wat is het verschil tussen de twee bedragen? 2.67
15.
Bereken $4e^{0{,}5}$ met de rekenmachine en schrijf $e$ als $2{,}71828$ . Rond het eindantwoord af op twee decimalen.
Antwoord: 6.59
1. Wat is $e^{0{,}5} = \sqrt{e}$ , afgerond op vier decimalen? (typ 2.71828^0.5) 1.6487
2. Vermenigvuldig met $4$ : $4 \cdot 1{,}6487 = ?$ 6.5948
3. Rond $6{,}5948$ af op twee decimalen 6.59
16.
1000 € krijgt een jaar lang 100 % rente per jaar, dagelijks bijgeschreven ( $n = 365$ ). Hoeveel ligt het resultaat onder de continue grens $1000e$ ? Gebruik $e \approx 2{,}71828$ , rond beide bedragen af op de cent en geef het verschil in euro.
Antwoord: 3.71
1. Bereken $\left(1 + \frac{1}{365}\right)^{365}$ , afgerond op vier decimalen 2.7146
2. Hoeveel staat er na een jaar op de rekening, afgerond op de cent? 2714.57
3. Wat is de continue grens $1000e$ , afgerond op de cent? 2718.28
4. Wat is het verschil tussen de twee bedragen? 3.71
17.
Laat zien dat de waarde van $e^x$ bij $x = -1$ nog steeds tussen $2^x$ en $3^x$ ligt. Gebruik $e \approx 2{,}718$ en rond af op drie decimalen.
Antwoord: 0.368
1. Wat is $2^{-1}$ ? 0.5
2. Wat is $3^{-1}$ , afgerond op drie decimalen? 0.333
3. Wat is $e^{-1} = \frac{1}{2{,}718}$ , afgerond op drie decimalen? Het hoort tussen je twee antwoorden te liggen. 0.368
18.
Je zet 1000 € een jaar lang vast tegen 12 % per jaar. Hoeveel meer krijg je met continue bijschrijving ( $A = Pe^{rt}$ ) dan met jaarlijkse bijschrijving? Gebruik $e^{0{,}12} \approx 1{,}1275$ .
Antwoord: 7.5
1. Wat is de exponent $rt$ ? 0.12
2. Wat is het bedrag bij continue bijschrijving? ( $1000 \cdot 1{,}1275$ ) 1127.5
3. Wat is het bedrag bij jaarlijkse bijschrijving? ( $1000 \cdot 1{,}12$ ) 1120
4. Hoeveel meer levert continue bijschrijving op? 7.5