Modellen voor bevolkingsgroei

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Een dorp met $2000$ inwoners groeit met $4\%$ per jaar. Welke functie beschrijft het aantal inwoners na $t$ jaar?
1. a) $P(t) = 2000 \cdot 0{,}04^t$
2. b) $P(t) = 2000 \cdot 1{,}04^t$
3. c) $P(t) = 2000 + 1{,}04t$
4. d) $P(t) = 2000 \cdot 4^t$
Antwoord: $P(t) = 2000 \cdot 1{,}04^t$
$4\% = 0{,}04$ , dus de groeifactor is $1{,}04$ en $P(t) = 2000 \cdot 1{,}04^t$ . Het grondtal $0{,}04$ zou het dorp laten krimpen, $4$ zou het elk jaar verviervoudigen en $2000 + 1{,}04t$ is lineair.
2.
Een populatie van $6000$ verdubbelt elke $15$ jaar. Welk model geeft de populatie na $t$ jaar?
1. a) $P(t) = 6000 \cdot 2^{15t}$
2. b) $P(t) = 6000 \cdot 2^t$
3. c) $P(t) = 6000 \cdot 2^{t/15}$
4. d) $P(t) = 6000 \cdot 15^{t/2}$
Antwoord: $P(t) = 6000 \cdot 2^{t/15}$
Het verdubbelingsmodel is $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$ met $d = 15$ , dus $P(t) = 6000 \cdot 2^{t/15}$ . Na $15$ jaar is de exponent $1$ en is de populatie $12000$ .
3.
De bevolking van een land groeit met $2\%$ per jaar. Hoelang duurt het volgens de regel van 70 ongeveer tot ze verdubbelt?
1. a)14 jaar
2. b)35 jaar
3. c)140 jaar
4. d)3500 jaar
Antwoord: 35 jaar
$d \approx \frac{70}{2} = 35$ jaar. Delen door $0{,}02$ zou $3500$ geven, veel te groot. De exacte verdubbelingstijd is ook ongeveer $35$ jaar.
4.
Een konijnenpopulatie op een eiland groeide een paar jaar exponentieel, maar nu remt de groei af. Wat is de meest waarschijnlijke reden?
1. a)De groeifactor van een exponentieel model zakt na een paar jaar onder 1
2. b)Populaties gaan altijd na precies 5 jaar over op lineaire groei
3. c)Voedsel en ruimte zijn beperkt, dus de populatie nadert de draagkracht
4. d)Exponentiële functies bereiken altijd een maximale waarde
Antwoord: Voedsel en ruimte zijn beperkt, dus de populatie nadert de draagkracht
Voedsel en ruimte op het eiland zijn beperkt. Als de populatie de draagkracht nadert, remt de groei af en vlakt de kromme af (logistische groei). Exponentiële functies met $b > 1$ hebben geen maximum, dus het afremmen komt door de omgeving, niet door de wiskunde.
5.
Stad A en stad B hebben vandaag allebei $10000$ inwoners. Stad A groeit met $500$ mensen per jaar; stad B groeit met $5\%$ per jaar. Welke uitspraak over de inwoneraantallen over 20 jaar klopt? (Gebruik $1{,}05^{20} \approx 2{,}6533$ .)
1. a)Stad B is ongeveer 6533 groter
2. b)Beide steden hebben 20000 inwoners
3. c)Stad B is precies 500 groter
4. d)Stad A is ongeveer 6533 groter
Antwoord: Stad B is ongeveer 6533 groter
Stad A: $10000 + 500 \cdot 20 = 20000$ . Stad B: $10000 \cdot 1{,}05^{20} \approx 26533$ . In het eerste jaar groeien beide met $500$ , maar de exponentieel groeiende stad loopt ongeveer $26533 - 20000 = 6533$ mensen uit.
6.
Een kolonie van $1500$ konijnen groeit met $10\%$ per jaar. Hoeveel konijnen zijn er na 1 jaar?
Antwoord: 1650
$P(1) = 1500 \cdot 1{,}1 = 1650$ konijnen.
7.
Een stad met $4000$ inwoners verdubbelt elke $8$ jaar. Hoeveel inwoners heeft ze na $24$ jaar?
Antwoord: 32000
$\frac{24}{8} = 3$ verdubbelingen, dus $P(24) = 4000 \cdot 2^3 = 4000 \cdot 8 = 32000$ .
8.
Een vispopulatie groeit met $7\%$ per jaar. Schat met de regel van 70 de verdubbelingstijd in jaren.
Antwoord: 10
$d \approx \frac{70}{7} = 10$ jaar. Dit is een schatting: de exacte verdubbelingstijd is ongeveer $10{,}2$ jaar.
9.
Een dorp had $2500$ inwoners in 2023 en $2600$ in 2024. Wat is het jaarlijkse groeipercentage? (Schrijf alleen het getal, bijvoorbeeld 5.)
Antwoord: 4
$\frac{2600}{2500} = 1{,}04$ , dus $r = 1{,}04 - 1 = 0{,}04 = 4\%$ per jaar.
10.
Een kweek van $200$ bacteriën verdubbelt elke $25$ minuten. Na hoeveel minuten zijn er $12800$ bacteriën?
Antwoord: 150
$\frac{12800}{200} = 64 = 2^6$ , dus er zijn 6 verdubbelingen nodig: $6 \cdot 25 = 150$ minuten.
11.
Een stad met $30000$ inwoners groeit met $2\%$ per jaar. Hoeveel inwoners heeft ze na 2 jaar?
Antwoord: 31212
1. Wat is de groeifactor $1 + r$ ? 1.02
2. Hoeveel is $1{,}02^2$ ? 1.0404
3. Vermenigvuldig met $30000$ . Hoeveel inwoners zijn er na 2 jaar? 31212
12.
Een monster van $50$ bacteriën verdubbelt elke $10$ minuten. Hoeveel bacteriën zijn er na 1 uur?
Antwoord: 3200
1. Hoeveel verdubbelingen zijn er in 60 minuten? 6
2. Hoeveel is $2^6$ ? 64
3. Hoeveel bacteriën zijn er na 1 uur? 3200
13.
Een meer had vorig jaar $800$ vissen en dit jaar $880$ . Hoeveel vissen zijn er 2 jaar na de telling van 800, als het jaarlijkse groeipercentage gelijk blijft?
Antwoord: 968
1. Wat is de groeifactor $\frac{880}{800}$ ? 1.1
2. Wat is het jaarlijkse groeipercentage? (Schrijf alleen het getal.) 10
3. Bereken $P(2) = 800 \cdot 1{,}1^2$ . 968
14.
Een land met $5$ miljoen inwoners groeit met $1{,}4\%$ per jaar. Schat met de regel van 70 het aantal inwoners over 100 jaar (in miljoenen).
Antwoord: 20
1. Schat de verdubbelingstijd in jaren met de regel van 70. 50
2. Hoeveel verdubbelingen zijn er in 100 jaar? 2
3. Schat het aantal inwoners over 100 jaar, in miljoenen. 20
15.
Een populatie van $1000$ herten verdubbelt elke $10$ jaar. Schat de populatie na $5$ jaar. (Rond $2^{0{,}5}$ af op 3 decimalen.)
Antwoord: 1414
1. Wat is de exponent $\frac{t}{d}$ ? 0.5
2. Hoeveel is $2^{0{,}5}$ , afgerond op 3 decimalen? 1.414
3. Schat de populatie na 5 jaar. 1414
16.
Een stad had $40000$ inwoners in 2020 en $44000$ in 2021. Maak een prognose voor 2023 met een lineair en met een exponentieel model. Hoeveel groter is de exponentiële prognose?
Antwoord: 1240
1. Lineair model: hoeveel inwoners komen er per jaar bij? 4000
2. Wat is de lineaire prognose voor 2023? 52000
3. Exponentieel model: wat is de groeifactor? 1.1
4. Wat is de exponentiële prognose voor 2023? 53240
5. Hoeveel groter is de exponentiële prognose? 1240
17.
Een stad had $5000$ inwoners in 2018 en $7200$ in 2020. Voorspel het aantal inwoners in 2022, als het jaarlijkse groeipercentage gelijk blijft.
Antwoord: 10368
1. Wat is de groeifactor over 2 jaar, $\frac{7200}{5000}$ ? 1.44
2. Wat is de jaarlijkse groeifactor $b$ ? 1.2
3. Wat is het jaarlijkse groeipercentage? (Schrijf alleen het getal.) 20
4. Voorspel het aantal inwoners in 2022. 10368
18.
Een populatie van $10000$ groeit met $5\%$ per jaar. Schat de verdubbelingstijd met de regel van 70 en controleer dan de schatting: hoe groot is de populatie na dat aantal jaar?
Antwoord: 19800
1. Schat de verdubbelingstijd in jaren met de regel van 70. 14
2. Bereken $1{,}05^{14}$ met de rekenmachine, afgerond op 2 decimalen. 1.98
3. Met $1{,}98$ : hoeveel is de populatie na 14 jaar? 19800