Formule voor verandering van grondtal

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welke uitdrukking is gelijk aan $\log_5 20$ ?
1. a) $\log 20 \cdot \log 5$
2. b) $\log \dfrac{20}{5}$
3. c) $\dfrac{\log 20}{\log 5}$
4. d) $\dfrac{\log 5}{\log 20}$
Antwoord: $\dfrac{\log 20}{\log 5}$
Volgens de formule voor verandering van grondtal is $\log_5 20 = \dfrac{\log 20}{\log 5} \approx 1{,}86$ . De omgekeerde breuk is fout, en $\log \dfrac{20}{5} = \log 20 - \log 5 = \log 4$ is een ander getal.
2.
Bereken $\log_2 10$ met de formule voor verandering van grondtal. Rond af op 2 decimalen.
Antwoord: 3.32
$\log_2 10 = \dfrac{\log 10}{\log 2} = \dfrac{1}{0{,}30103} \approx 3{,}32193 \approx 3{,}32$ . Controle: $2^3 = 8$ en $2^4 = 16$ , dus het antwoord ligt tussen 3 en 4.
3.
Welke logaritme is gelijk aan $\dfrac{\ln 7}{\ln 2}$ ?
1. a) $\ln 5$
2. b) $\log_7 2$
3. c) $\log_2 14$
4. d) $\log_2 7$
Antwoord: $\log_2 7$
De formule achterstevoren gelezen: $\dfrac{\ln 7}{\ln 2} = \log_2 7 \approx 2{,}81$ . Het grondtal 2 staat in de noemer en het argument 7 boven. $\log_7 2$ is de omgekeerde versie, en $\ln 5$ komt van het foutief aftrekken $7 - 2$ .
4.
Bereken $\log_3 20$ met de log- of ln-toets. Rond af op 2 decimalen.
Antwoord: 2.73
$\log_3 20 = \dfrac{\log 20}{\log 3} \approx \dfrac{1{,}30103}{0{,}47712} \approx 2{,}72683 \approx 2{,}73$ . Met ln: $\dfrac{2{,}99573}{1{,}09861}$ geeft hetzelfde antwoord.
5.
Bereken $\log_6 100$ met briggse logaritmen. Rond af op 2 decimalen.
Antwoord: 2.57
1. Wat is $\log 100$ ? 2
2. Wat is $\log 6$ ? Rond af op 4 decimalen. 0.7782
3. Deel $\log 100$ door $\log 6$ . Rond af op 2 decimalen. 2.57
6.
Bereken $\log_2 30$ met natuurlijke logaritmen. Rond af op 2 decimalen.
Antwoord: 4.91
1. Wat is $\ln 30$ ? Rond af op 4 decimalen. 3.4012
2. Wat is $\ln 2$ ? Rond af op 4 decimalen. 0.6931
3. Deel $\ln 30$ door $\ln 2$ . Rond af op 2 decimalen. 4.91
7.
Wat is de exacte waarde van $\log_9 27$ ? (Tip: kies grondtal 3.)
1. a) $\dfrac{3}{2}$
2. b) $\dfrac{1}{3}$
3. c) $\dfrac{2}{3}$
4. d) $3$
Antwoord: $\dfrac{3}{2}$
$\log_9 27 = \dfrac{\log_3 27}{\log_3 9} = \dfrac{3}{2}$ . Controle: $9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$ .
8.
Gebruik grondtal 2 om de exacte waarde van $\log_8 32$ te vinden. Schrijf het als breuk, bijvoorbeeld 7/4.
Antwoord: 5/3
$\log_8 32 = \dfrac{\log_2 32}{\log_2 8} = \dfrac{5}{3}$ . Controle: $8^{5/3} = (\sqrt[3]{8})^5 = 2^5 = 32$ .
9.
Gegeven is $\log_3 7 \approx 1{,}7712$ . Gebruik de regel van het omgekeerde om $\log_7 3$ te vinden. Rond af op 4 decimalen.
Antwoord: 0.5646
Grondtal en argument verwisselen geeft het omgekeerde: $\log_7 3 = \dfrac{1}{1{,}7712} \approx 0{,}56459 \approx 0{,}5646$ . Dat klopt: $3 < 7$ , dus $\log_7 3$ is kleiner dan 1.
10.
Los $2^x = 50$ op. De oplossing is $x = \log_2 50$ ; bereken die met briggse logaritmen. Rond af op 2 decimalen.
Antwoord: 5.64
1. Wat is $\log 50$ ? Rond af op 4 decimalen. 1.6990
2. Wat is $\log 2$ ? Rond af op 4 decimalen. 0.3010
3. Deel om $x$ te vinden. Rond af op 2 decimalen. 5.64
11.
Wat is groter: $\log_2 12$ of $\log_3 30$ ?
Antwoord: $\log_2 12$
1. Bereken $\log_2 12$ . Rond af op 2 decimalen. 3.58
2. Bereken $\log_3 30$ . Rond af op 2 decimalen. 3.10
3. Welke logaritme is groter? $\log_2 12$
12.
Voor positieve getallen $a \neq 1$ en $b \neq 1$ : wat is $\log_b a \cdot \log_a b$ ?
1. a) $1$
2. b) $\log(ab)$
3. c) $0$
4. d) $\dfrac{a}{b}$
Antwoord: $1$
$\log_b a \cdot \log_a b = \dfrac{\log a}{\log b} \cdot \dfrac{\log b}{\log a} = 1$ . De twee logaritmen zijn elkaars omgekeerde, bijvoorbeeld $\log_2 8 \cdot \log_8 2 = 3 \cdot \dfrac{1}{3} = 1$ .
13.
Bepaal de exacte waarde van $\log_{25} 125$ door over te stappen op grondtal 5. Geef het antwoord als decimaal getal.
Antwoord: 1.5
1. Wat is $\log_5 125$ ? 3
2. Wat is $\log_5 25$ ? 2
3. Deel de eerste uitkomst door de tweede. Wat is $\log_{25} 125$ als decimaal getal? 1.5
14.
Welke uitdrukking is NIET gelijk aan $\log_2 9$ ?
1. a) $\dfrac{\log 2}{\log 9}$
2. b) $\dfrac{1}{\log_9 2}$
3. c) $\dfrac{\log 9}{\log 2}$
4. d) $\dfrac{\ln 9}{\ln 2}$
Antwoord: $\dfrac{\log 2}{\log 9}$
$\dfrac{\log 9}{\log 2}$ en $\dfrac{\ln 9}{\ln 2}$ zijn de formule voor verandering van grondtal ( $\approx 3{,}17$ ), en $\dfrac{1}{\log_9 2}$ is de regel van het omgekeerde. $\dfrac{\log 2}{\log 9} = \log_9 2 \approx 0{,}32$ is de omgekeerde breuk.
15.
Bereken $\log_{1{,}5} 10$ . Rond af op 2 decimalen.
Antwoord: 5.68
$\log_{1{,}5} 10 = \dfrac{1}{\log 1{,}5} \approx \dfrac{1}{0{,}17609} \approx 5{,}67887 \approx 5{,}68$ . Een grondtal dicht bij 1 groeit langzaam, dus is er een grote exponent nodig om 10 te halen: $1{,}5^{5{,}68} \approx 10$ .
16.
Een belegging groeit met 7 % per jaar (jaarlijkse samengestelde rente). Na hoeveel hele jaren is ze minstens verdubbeld?
Antwoord: 11
1. Wat is de jaarlijkse groeifactor (het grondtal van de logaritme)? 1.07
2. Bereken $\dfrac{\log 2}{\log 1{,}07}$ . Rond af op 2 decimalen. 10.24
3. De rente wordt één keer per jaar bijgeschreven. Na hoeveel hele jaren is de belegging minstens verdubbeld? 11
17.
Vereenvoudig $\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 8$ zonder rekenmachine.
Antwoord: 3
1. Na het wegdelen staat in de teller $\ln$ van welk getal? 8
2. En in de noemer staat $\ln$ van welk getal? 2
3. Wat is de waarde van het hele product? 3
18.
Bereken $\log_4 60$ met natuurlijke logaritmen. Rond af op 3 decimalen.
Antwoord: 2.953
1. Wat is $\ln 60$ ? Rond af op 4 decimalen. 4.0943
2. Wat is $\ln 4$ ? Rond af op 4 decimalen. 1.3863
3. Deel $\ln 60$ door $\ln 4$ . Rond af op 3 decimalen. 2.953