Docentenhandleiding: Formule voor verandering van grondtal

Gebruik de formule voor verandering van grondtal om een logaritme met elk grondtal te berekenen met de log- of ln-toets van je rekenmachine.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Logaritmen. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

De formule voor verandering van grondtal en de voorwaarden voor de grondtallen noemen
De formule afleiden uit de definitie van de logaritme en de machtsregel
Logaritmen met elk grondtal berekenen met de log- of ln-toets, afgerond op een gegeven aantal decimalen
Exacte waarden zoals $\log_4 8$ vinden door een handig nieuw grondtal te kiezen
De regel van het omgekeerde $\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$ gebruiken

Vereisten

• Definitie van een logaritme: $\log_b x = y$ betekent $b^y = x$
• Briggse logaritme (grondtal 10) en Natuurlijke logaritme (ln): log en ln op de rekenmachine
• Machtsregel voor logaritmen: $\log(b^y) = y \log b$
• Afronden op een gegeven aantal decimalen

Discussiestarters

1. Je rekenmachine heeft alleen log en ln. Hoe zou je toch $\log_7 100$ kunnen vinden?
2. Waarom denk je dat $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ en $\dfrac{\ln 50}{\ln 3}$ precies hetzelfde getal geven?
3. Tussen welke twee gehele getallen ligt $\log_2 30$ , nog voordat je rekent? Hoe weet je dat?
4. Als $\log_2 5 \approx 2{,}32$ , wat kun je dan zonder rekenmachine zeggen over $\log_5 2$ ?

Veelvoorkomende misvattingen

Het grondtal komt in de teller van de breuk

Herstel: Laat altijd eerst schatten: $\log_3 50$ ligt tussen 3 en 4 omdat $27 < 50 < 81$ . Een antwoord van $0{,}28$ is dan duidelijk fout. Ezelsbruggetje: het grondtal is de grond, dus het staat onderaan.

$\dfrac{\log a}{\log b}$ is hetzelfde als $\log \dfrac{a}{b}$

Herstel: Bereken beide voor $a = 100$ , $b = 10$ : $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \dfrac{2}{1} = 2$ , maar $\log 10 = 1$ . Vergelijk daarna met de quotiëntregel, die over een aftrekking gaat.

Met ln krijg je een ander antwoord dan met log

Herstel: Laat de helft van de klas dezelfde opgave met log maken en de andere helft met ln, en vergelijk. De losse logaritmen verschillen, het quotiënt niet. De grafiek met beide krommen laat dat voor elke $x$ zien.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Begin met waarden die precies uitkomen, zoals $\log_2 32 = \dfrac{\log 32}{\log 2} = 5$ , om vertrouwen in de formule op te bouwen
• Geef een sjabloon: $\log_{\square} \triangle = \dfrac{\log \triangle}{\log \square}$
• Oefen het in één keer intypen van het hele quotiënt op de rekenmachine

Voor leerlingen op niveau:

• Logaritmen met grondtal 2, 3, 5, 7 en 1,05 berekenen op 2 en 3 decimalen
• Elk antwoord controleren met een schatting via machten
• Exacte waarden zoals $\log_9 27$ en $\log_8 32$ vinden met een handig grondtal

Voor gevorderde leerlingen:

• Bewijzen dat $\log_b a \cdot \log_a b = 1$ en ketens zoals $\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 8$ vereenvoudigen
• Met verandering van grondtal laten zien dat $\log_{b^n} x^n = \log_b x$
• Uitleggen waarom de grafiek van $y = \log_b x$ een verticale vermenigvuldiging is van $y = \ln x$ met factor $\dfrac{1}{\ln b}$

Standaarduitlijning

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
De oplossing van een exponentiële vergelijking schrijven als logaritme met grondtal 2, 10 of e en die met technologie berekenen
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Het inverse verband tussen machten en logaritmen begrijpen en gebruiken om problemen op te lossen
HSN-Q.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSN.Q.A.3)
Een nauwkeurigheid kiezen die past bij de beperkingen van de meting bij het noteren van grootheden

Lesbronnen

visualTwee identieke grafieken
Teken $y = \dfrac{\log x}{\log b}$ en $y = \dfrac{\ln x}{\ln b}$ met een schuifbalk voor $b$ : de grafieken liggen precies over elkaar
activityEerst schatten, dan rekenen
Leerlingen sluiten $\log_b x$ met machten van $b$ in tussen twee gehele getallen en controleren daarna met de rekenmachine
worksheetVerdubbelingstijden en halveringen
Toepassingsopgaven over rente, binair zoeken en groei, steeds afgerond op een opgegeven aantal decimalen

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

De meeste rekenmachines hebben maar twee logaritmetoetsen: log (grondtal 10, de briggse logaritme) en ln (grondtal

e

, de natuurlijke logaritme). Met de formule voor verandering van grondtal bereken je een logaritme met elk grondtal met een van die toetsen:

\log_b x = \frac{\log_c x}{\log_c b}

Hierbij is

x > 0

b > 0

b \neq 1

, en het nieuwe grondtal

c

mag elk positief getal behalve

1

zijn. In de praktijk kies je

c = 10

c = e

\log_b x = \frac{\log x}{\log b} = \frac{\ln x}{\ln b}

Waarom het werkt: stel

y = \log_b x

. Dan is

b^y = x

. Neem aan beide kanten de briggse logaritme:

\log(b^y) = \log x

. Met de machtsregel wordt dat

y \cdot \log b = \log x

, dus

y = \dfrac{\log x}{\log b}

Voorbeeld:

\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3} \approx \dfrac{1{,}69897}{0{,}47712} \approx 3{,}56

(afgerond op 2 decimalen). Controle:

3^{3{,}56} \approx 50

Een handig speciaal geval: als je het grondtal en het argument verwisselt, krijg je het omgekeerde,

\log_b a = \frac{1}{\log_a b}

Afronden: doe de hele deling op de rekenmachine en rond alleen het eindantwoord af, op zoveel decimalen als de opgave vraagt.

Uitgewerkte voorbeelden

Bereken $\log_3 50$ . Rond af op 2 decimalen.

Schrijf de formule voor verandering van grondtal op met grondtal 10

$\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3}$

Bepaal beide briggse logaritmen met de rekenmachine

$\log 50 \approx 1{,}69897$ en $\log 3 \approx 0{,}47712$ → Houd voorlopig alle cijfers

Deel en rond pas aan het eind af

$1{,}69897 : 0{,}47712 \approx 3{,}56088$ → $\approx 3{,}56$

Controleer met de definitie

$3^3 = 27$ en $3^4 = 81$ , dus het antwoord moet tussen 3 en 4 liggen. Ook is $3^{3{,}56} \approx 50$ → Klopt

Antwoord: $\log_3 50 \approx 3{,}56$

Veelgemaakte fouten

De breuk omgekeerd opschrijven: $\log_3 50 = \dfrac{\log 3}{\log 50} \approx 0{,}28$

Waarom het fout is: Het grondtal hoort in de noemer. Een snelle schatting laat de fout zien: $3^3 = 27$ en $3^4 = 81$ , dus $\log_3 50$ moet tussen 3 en 4 liggen, niet onder 1.

Correct: Argument boven, grondtal onder: $\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3} \approx 3{,}56$

Van een quotiënt van logaritmen de logaritme van een quotiënt maken: $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \log\dfrac{50}{3} \approx 1{,}22$

Waarom het fout is: De quotiëntregel zegt $\log 50 - \log 3 = \log \dfrac{50}{3}$ . Die gaat over een verschil van logaritmen, niet over een deling.

Correct: $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ is een gewone deling van twee getallen: $1{,}69897 : 0{,}47712 \approx 3{,}56$

Het woord log wegstrepen: $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \dfrac{50}{3} \approx 16{,}67$

Waarom het fout is: log is een functie, geen factor. Je kunt het niet wegdelen zoals een gemeenschappelijk getal in een breuk.

Correct: Bereken eerst $\log 50$ en $\log 3$ en deel dan: $\approx 3{,}56$

Te vroeg afronden: $\dfrac{1{,}70}{0{,}48} \approx 3{,}54$

Waarom het fout is: Als je $\log 50$ en $\log 3$ afrondt voordat je deelt, verandert de tweede decimaal van het antwoord.

Correct: Deel met alle cijfers van de rekenmachine (of typ log(50)/log(3) in één keer in) en rond alleen het eindantwoord af: $3{,}56$

Waarom het belangrijk is

Pas met de formule voor verandering van grondtal worden logaritmen echt bruikbaar:

Elk grondtal op elke rekenmachine: $\log_2$ , $\log_3$ of $\log_{1{,}05}$ worden één deling met de log- of ln-toets.
Geld en groei: de tijd waarin spaargeld verdubbelt bij 5 % rente per jaar is $\log_{1{,}05} 2 = \dfrac{\log 2}{\log 1{,}05} \approx 14{,}21$ jaar.
Informatica: binair zoeken en bits gebruiken grondtal 2. Zoeken in 1 000 000 gesorteerde items kost ongeveer $\log_2 1000000 \approx 19{,}93$ , dus 20 halveringen.
Biologie: een populatie die elk uur verdrievoudigt, heeft $\log_3 500 \approx 5{,}66$ uur nodig om 500 keer zo groot te worden.
Vergelijkingen oplossen: elke exponentiële vergelijking zoals $2^x = 50$ heeft als oplossing $x = \log_2 50$ , en die bereken je met deze formule.

De formule verklaart ook waarom

\log

\ln

genoeg zijn: elke andere logaritme is gewoon een van die twee gedeeld door een constante.

Toepassingen in de echte wereld

Wanneer is je spaargeld verdubbeld?

Bij jaarlijkse samengestelde rente wordt het geld elk jaar met dezelfde groeifactor vermenigvuldigd. De verdubbelingstijd is een logaritme met die factor als grondtal.

Voorbeeld:

Bij 3 % per jaar is de groeifactor $1{,}03$ , dus het geld verdubbelt als $1{,}03^t = 2$ , dat is na $t = \log_{1{,}03} 2$ jaar.

1Probeer het zelf

Je zet 1000 € op een spaarrekening met 3 % rente per jaar, die één keer per jaar wordt bijgeschreven.

Na hoeveel jaar is het geld verdubbeld?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf $\log_{1{,}03} 2$ als quotiënt van twee briggse logaritmen (typ de uitdrukking in de vorm log(a)/log(b), niet de afgeronde waarde):

Binair zoeken in de informatica

Binair zoeken vindt een item in een gesorteerde lijst door de lijst steeds te halveren. Het aantal halveringen is een logaritme met grondtal 2, en computers berekenen die met verandering van grondtal.

Voorbeeld:

Een gesorteerde lijst met 1024 namen vraagt $\log_2 1024 = 10$ halveringen, want $2^{10} = 1024$ .

2Probeer het zelf

Een database bevat 1 000 000 gesorteerde records. Elke stap van binair zoeken halveert het aantal records dat overblijft.

Hoeveel halveringen zijn nodig om bij één record uit te komen?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf $\log_2 1000000$ als quotiënt van twee briggse logaritmen (typ de uitdrukking in de vorm log(a)/log(b), niet de afgeronde waarde):

Bacteriën die elk uur verdrievoudigen

Sommige bacterieculturen verdrievoudigen elk uur. De tijd tot een bepaalde grootte is een logaritme met grondtal 3.

Voorbeeld:

Na 2 uur is de cultuur $3^2 = 9$ keer zo groot, na 4 uur $3^4 = 81$ keer zo groot.

3Probeer het zelf

Een cultuur verdrievoudigt elk uur. Een lab wil dat ze 500 keer zo groot wordt als aan het begin.

Hoeveel uur duurt dat?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf $\log_3 500$ als quotiënt van twee briggse logaritmen (typ de uitdrukking in de vorm log(a)/log(b), niet de afgeronde waarde):

Belangrijke punten

1Formule voor verandering van grondtal: $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$ voor elk nieuw grondtal $c > 0$ , $c \neq 1$
2Op de rekenmachine neem je $c = 10$ of $c = e$ : $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b} = \dfrac{\ln x}{\ln b}$ , beide geven hetzelfde antwoord
3Het argument komt boven, het grondtal onder
4Het werkt omdat uit $b^y = x$ met de machtsregel $y \log b = \log x$ volgt, dus $y = \dfrac{\log x}{\log b}$
5Grondtal en argument verwisselen geeft het omgekeerde: $\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$
6Deel met alle cijfers en rond alleen het eindantwoord af, op het gevraagde aantal decimalen

Veelgestelde vragen

Gebruik ik in de formule log of ln?

Allebei is goed.

\dfrac{\log 50}{\log 3}

\dfrac{\ln 50}{\ln 3}

zijn allebei

\approx 3{,}56

. Gebruik alleen boven en onder dezelfde soort logaritme.

Mijn rekenmachine heeft een $\log_b$ -toets. Heb ik de formule dan nog nodig?

De toets geeft je het getal, maar de formule heb je nog steeds nodig voor exacte waarden zoals

\log_4 8 = \dfrac{3}{2}

, om uitdrukkingen te vereenvoudigen, om vergelijkingen met de hand op te lossen en bij toetsen waar alleen log en ln mogen. De toets zelf rekent intern met verandering van grondtal.

Op hoeveel decimalen moet ik afronden?

Op zoveel als de opgave vraagt. Staat er niets, dan zijn 2 tot 4 decimalen gebruikelijk (bijvoorbeeld

\log_3 50 \approx 3{,}56

3{,}5609

). Rond altijd maar één keer af, helemaal aan het eind.

Waarom is $\log_b a \cdot \log_a b = 1$ ?

Met verandering van grondtal is

\log_b a = \dfrac{\log a}{\log b}

\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}

. Als je de twee breuken vermenigvuldigt, valt alles tegen elkaar weg en blijft

1

over. De twee logaritmen zijn dus elkaars omgekeerde.

Woordenlijst

Formule voor verandering van grondtal: De regel $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$ die een logaritme herschrijft met een nieuw grondtal $c$
Grondtal: Het getal $b$ in $\log_b x$ , het getal dat tot een macht wordt verheven; het moet positief zijn en niet $1$
Argument: Het getal $x$ in $\log_b x$ waarvan je de logaritme neemt; het moet positief zijn
Briggse logaritme: De logaritme met grondtal 10, geschreven als $\log x$ (de log-toets)
Natuurlijke logaritme: De logaritme met grondtal $e \approx 2{,}718$ , geschreven als $\ln x$ (de ln-toets)
Omgekeerde: Het getal $\dfrac{1}{a}$ bij een getal $a \neq 0$ ; $\log_b a$ en $\log_a b$ zijn elkaars omgekeerde

Formulekaart

Verandering van grondtal (elk grondtal)

\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}

Elk nieuw grondtal $c > 0$, $c \neq 1$

Met briggse logaritmen

\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}

Met de log-toets

Met natuurlijke logaritmen

\log_b x = \dfrac{\ln x}{\ln b}

Met de ln-toets, zelfde uitkomst

Regel van het omgekeerde

\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}

Grondtal en argument verwisselen keert de waarde om

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Formule voor verandering van grondtal

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Wanneer is je spaargeld verdubbeld?

Binair zoeken in de informatica

Bacteriën die elk uur verdrievoudigen

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Verandering van grondtal (elk grondtal)

Met briggse logaritmen

Met natuurlijke logaritmen

Regel van het omgekeerde

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logaritmen

Definitie van een logaritme

Briggse logaritme (grondtal 10)

Natuurlijke logaritme (ln)