Docentenhandleiding: Machtsregel voor logaritmen

Leer hoe de machtsregel een exponent voor de logaritme zet, hoe wortels machten met een breuk als exponent worden en hoe je logaritmen met alle drie de regels uitschrijft en samenvoegt.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Logaritmen. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

De machtsregel $\log_b(M^p) = p \log_b M$ formuleren en uitleggen waarom die volgt uit de rekenregels voor machten
Logaritmen van wortels herschrijven met gebroken exponenten
Logaritmische uitdrukkingen uitschrijven met de product-, quotiënt- en machtsregel samen
Sommen en verschillen van logaritmen samenvoegen tot één logaritme
$\log(M^p)$ onderscheiden van $(\log M)^p$

Vereisten

• Definitie van een logaritme
• Productregel voor logaritmen
• Quotiëntregel voor logaritmen
• Rekenregels voor machten, waaronder $(b^x)^p = b^{px}$ en $\sqrt[n]{M} = M^{1/n}$

Discussiestarters

1. Als een logaritme een exponent is, wat gebeurt er dan mee als je het argument tot de derde macht verheft?
2. Waarom is $\log \sqrt{x}$ de helft van $\log x$ en niet het dubbele?
3. Hoe kun je weten hoeveel cijfers $2^{100}$ heeft zonder het uit te rekenen?
4. De rekenmachine geeft $\log(100^3) = 6$ maar $(\log 100)^3 = 8$ . Welke volgt de machtsregel, en waarom?

Veelvoorkomende misvattingen

Denken dat $(\log x)^2 = 2 \log x$

Herstel: Test met $x = 1000$ : $(\log 1000)^2 = 9$ , maar $2 \log 1000 = 6$ . Laat daarna de drie krommen in de grafiek zien en laat leerlingen ontdekken waar ze verschillen.

Een exponent verplaatsen die maar bij één factor hoort ( $\log 5x^3 = 3 \log 5x$ )

Herstel: Laat leerlingen precies omcirkelen waar de exponent bij hoort voordat ze een regel toepassen. Altijd eerst de productregel, daarna de machtsregel.

Denken dat de machtsregel alleen geldt voor gehele exponenten

Herstel: Leid de regel af uit $(b^x)^p = b^{px}$ , wat voor elke reële $p$ geldt, en oefen met wortels en negatieve exponenten.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Begin met machten van het grondtal: $\log_2(2^5)$ , $\log_2(4^3)$ , $\log 10^7$
• Geef een stappenlijst: bij uitschrijven productregel, quotiëntregel, machtsregel, in die volgorde
• Controleer elke omvorming met de rekenmachine voordat je verdergaat

Voor leerlingen op niveau:

• Uitdrukkingen met drie variabelen en wortels uitschrijven en samenvoegen
• Logaritmen als $\log 72$ of $\log 48$ benaderen met $\log 2$ en $\log 3$
• Elke stap verantwoorden met de naam van de gebruikte regel

Voor gevorderde leerlingen:

• De machtsregel bewijzen uit de definitie en de rekenregels voor machten
• Met de machtsregel de cijfers van $3^{100}$ of $2^{1000}$ tellen
• Met de grafiek onderzoeken waarom $\log(x^2) = 2 \log |x|$ voor alle $x \neq 0$

Standaarduitlijning

HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Het omgekeerde verband tussen machten en logaritmen begrijpen en gebruiken om problemen op te lossen
HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
De oplossing van een exponentieel model als logaritme schrijven en met technologie berekenen
HSA-SSE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.2)
De structuur van een uitdrukking gebruiken om manieren te vinden om die te herschrijven

Lesbronnen

visualGrafiek met drie krommen
Vergelijk $y = \log(x^2)$ , $y = 2 \log x$ en $y = (\log x)^2$ en hun waardetabellen
activityControle met de rekenmachine
Leerlingen testen beweringen als $\log 8 = 3 \log 2$ en $\log(100^3) = (\log 100)^3$ in de rekenmachine
worksheetEstafette uitschrijven en samenvoegen
In tweetallen: de een schrijft een logaritme uit, de ander voegt hem weer samen

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

De machtsregel voor logaritmen zegt dat een exponent binnen een logaritme als factor naar voren mag:

\log_b(M^p) = p \cdot \log_b M

Dit geldt voor elke reële exponent

p

, zolang

M > 0

b > 0

b \neq 1

Waarom het klopt: stel

x = \log_b M

, dus

M = b^x

. Dan is

M^p = (b^x)^p = b^{px}

, en de logaritme van

b^{px}

is gewoon

px

. Dus

\log_b(M^p) = p \cdot x = p \cdot \log_b M

Ook wortels zijn machten. Omdat

\sqrt[n]{M} = M^{1/n}

geldt:

\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M

Voorbeeld:

\log_2(8^5) = 5 \cdot \log_2 8 = 5 \cdot 3 = 15

, en

\log \sqrt{1000} = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}

Samen met de productregel (

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

) en de quotiëntregel (

\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

) kun je met de machtsregel één logaritme uitschrijven in veel eenvoudige logaritmen, of meerdere logaritmen samenvoegen tot één.

Uitgewerkte voorbeelden

Bereken $\log_2(8^5)$ zonder rekenmachine.

Zet de exponent ervoor

$\log_2(8^5) = 5 \cdot \log_2 8$ → $5 \log_2 8$

Bereken de eenvoudigere logaritme

$2^3 = 8$ , dus $\log_2 8 = 3$

Vermenigvuldig

$5 \cdot 3 = 15$

Antwoord: $\log_2(8^5) = 15$ . Controle: $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$ .

Veelgemaakte fouten

$(\log M)^p$ behandelen als $p \log M$

Waarom het fout is: De machtsregel werkt alleen als de exponent op het argument staat, binnen de logaritme. Bij $(\log M)^p$ wordt de hele logaritme tot een macht verheven. Voorbeeld: $(\log 100)^3 = 2^3 = 8$ , maar $3 \log 100 = 6$ .

Correct: $\log(M^p) = p \log M$ , terwijl $(\log M)^p$ niet te vereenvoudigen is met de machtsregel. Kijk waar de exponent staat voordat je hem verplaatst.

De exponent op het hele argument toepassen: $\log(3x^2) = 2 \log(3x)$

Waarom het fout is: In $3x^2$ wordt alleen $x$ gekwadrateerd, niet de $3$ . Controleer met $x = 10$ : $\log 300 \approx 2{,}48$ , maar $2 \log 30 \approx 2{,}95$ .

Correct: Splits eerst het product: $\log(3x^2) = \log 3 + \log x^2 = \log 3 + 2 \log x$ .

Van een vierkantswortel een factor 2 maken: $\log \sqrt{x} = 2 \log x$

Waarom het fout is: Een vierkantswortel is de macht $\frac{1}{2}$ , niet de macht $2$ . De wortelexponent komt in de noemer.

Correct: $\log \sqrt{x} = \log x^{1/2} = \frac{1}{2} \log x$ , en $\log \sqrt[3]{x} = \frac{1}{3} \log x$ .

$3 \log x - \log y$ samenvoegen tot $\log \frac{3x}{y}$

Waarom het fout is: Een coëfficiënt voor een logaritme is een exponent van het argument, geen factor ervan.

Correct: Maak eerst van de coëfficiënt een exponent: $3 \log x = \log x^3$ . Dan is $3 \log x - \log y = \log \frac{x^3}{y}$ .

Waarom het belangrijk is

De machtsregel maakt logaritmen pas echt nuttig:

Exponentiële vergelijkingen oplossen: in $1{,}05^t = 2$ staat de onbekende in de exponent. Neem je de logaritme en gebruik je de machtsregel, dan krijg je $t \cdot \log 1{,}05 = \log 2$ : de exponent komt naar beneden en wordt een gewone factor.
Enorme getallen: $\log(2^{64}) = 64 \log 2 \approx 19{,}3$ vertelt je meteen dat $2^{64}$ 20 cijfers heeft, zonder het uit te rekenen.
Schalen in de wetenschap: decibel, pH en de schaal van Richter gebruiken logaritmen; de machtsregel verklaart waarom het kwadrateren van een intensiteitsverhouding de verandering in decibel verdubbelt.
Analyse: voordat je een ingewikkeld product van machten differentieert, schrijf je de logaritme ervan uit met de machtsregel.

Het is de laatste van de drie belangrijke rekenregels voor logaritmen, en vanaf nu gebruik je ze alle drie samen in bijna elke opgave met logaritmen.

Toepassingen in de echte wereld

Geluidsniveau in decibel

De verandering van het geluidsniveau is $\Delta L = 10 \log \frac{I_2}{I_1}$ decibel, waarbij $\frac{I_2}{I_1}$ aangeeft hoeveel keer de intensiteit groter wordt. De machtsregel maakt van machten van 10 een eenvoudige vermenigvuldiging.

Voorbeeld:

Als je je afstand tot een luidspreker verdubbelt, wordt de intensiteit gedeeld door $2^2 = 4$ , dus $\Delta L = 10 \log(2^{-2}) = -20 \log 2 \approx -6$ dB.

1Probeer het zelf

Je staat 2 m van een luidspreker en loopt terug tot 20 m. De geluidsintensiteit neemt af met het kwadraat van de afstand, dus wordt ze gedeeld door $\left(\frac{20}{2}\right)^2$ . Het niveau daalt met $10 \log\left(\left(\frac{20}{2}\right)^2\right)$ decibel.

Hoeveel decibel daalt het geluidsniveau?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $10 \log(10^2)$ :

Cijfers van enorme getallen tellen

Een natuurlijk getal $N$ heeft $\lfloor \log N \rfloor + 1$ cijfers. Met de machtsregel tel je de cijfers van enorme machten zonder ze uit te rekenen.

Voorbeeld:

$\log(2^{10}) = 10 \log 2 \approx 3{,}01$ , dus $2^{10} = 1024$ heeft $3 + 1 = 4$ cijfers.

2Probeer het zelf

Computers gebruiken vaak getallen van $64$ bits, en $2^{64}$ is het aantal verschillende waarden dat ze kunnen opslaan. Gebruik $\log 2 \approx 0{,}301$ .

Hoeveel cijfers heeft $2^{64}$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Aantal cijfers: $\lfloor 64 \log 2 \rfloor + 1$

Bevolkingsgroei

Een bevolking die elk jaar met een vast percentage groeit, is een exponentiële functie van de tijd. Om te weten wanneer ze een doel bereikt, haalt de machtsregel de tijd uit de exponent.

Voorbeeld:

Bij 10 % groei per jaar verdubbelt een bevolking als $1{,}1^t = 2$ : $t \log 1{,}1 = \log 2$ , dus $t = \frac{\log 2}{\log 1{,}1} \approx 7{,}3$ jaar.

3Probeer het zelf

Een stad heeft 20000 inwoners en groeit met 3 % per jaar. Na $t$ jaar heeft ze $20000 \cdot 1{,}03^t$ inwoners.

Na hoeveel volle jaren heeft de stad minstens 30000 inwoners?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Rond $t = \frac{\log 1{,}5}{\log 1{,}03}$ naar boven af op hele jaren:

Belangrijke punten

1Machtsregel: $\log_b(M^p) = p \log_b M$ voor $M > 0$ en elke reële exponent $p$
2Wortels zijn machten met een breuk als exponent: $\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M$
3Een omgekeerde is de macht $-1$ : $\log_b \frac{1}{M} = -\log_b M$
4Uitschrijven: splits eerst producten en quotiënten, zet daarna elke exponent ervoor
5Samenvoegen: maak eerst van elke coëfficiënt een exponent, voeg daarna sommen samen tot producten en verschillen tot quotiënten
6 $(\log M)^p$ is niet $p \log M$ : de exponent moet binnen de logaritme staan

Veelgestelde vragen

Waarom klopt de machtsregel?

Een logaritme is een exponent. Als

\log_b M = x

, dan is

M = b^x

M^p = b^{px}

. Verheffen tot de macht

p

vermenigvuldigt de exponent met

p

, dus ook de logaritme (de exponent) wordt met

p

vermenigvuldigd.

Moet de exponent een geheel getal zijn?

Nee. De machtsregel geldt voor elke reële exponent: negatief (

\log_b \frac{1}{M^2} = -2 \log_b M

), gebroken (

\log_b \sqrt[3]{M} = \frac{1}{3} \log_b M

) en zelfs irrationaal.

Zijn $\log(x^2)$ en $2 \log x$ echt dezelfde functie?

Alleen voor

x > 0

. De functie

\log(x^2)

bestaat ook voor negatieve

x

(bijvoorbeeld

\log((-10)^2) = \log 100 = 2

), maar

2 \log x

niet. Voor alle

x \neq 0

is de precieze uitspraak

\log(x^2) = 2 \log |x|

. De grafiek hierboven toont beide krommen.

Wanneer schrijf ik uit en wanneer voeg ik samen?

Schrijf uit als je eenvoudige stukken wilt, bijvoorbeeld om

\log 72

te benaderen met

\log 2

\log 3

. Voeg samen als je één logaritme wilt, bijvoorbeeld om een vergelijking als

2 \log x - \log 4 = 2

op te lossen (zie Logaritmische vergelijkingen oplossen).

Woordenlijst

Machtsregel: De rekenregel voor logaritmen $\log_b(M^p) = p \log_b M$
Exponent: Het getal dat aangeeft hoe vaak het grondtal als factor voorkomt, zoals in $M^p$
Gebroken exponent: Een exponent die een breuk is; $M^{1/n}$ is de $n$ -de machtswortel van $M$
Uitschrijven: Eén logaritme schrijven als som en verschil van eenvoudigere logaritmen
Samenvoegen: Meerdere logaritmen schrijven als één logaritme
Coëfficiënt: Een getal waarmee een logaritme vermenigvuldigd wordt, zoals de $3$ in $3 \log x$ ; de machtsregel maakt er een exponent van

Formulekaart

Machtsregel

\log_b(M^p) = p \log_b M

De exponent van het argument gaat naar voren

Wortelregel

\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M

Omdat $\sqrt[n]{M} = M^{1/n}$

Omgekeerde

\log_b \frac{1}{M} = -\log_b M

Omdat $\frac{1}{M} = M^{-1}$

Productregel

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Herinnering: producten worden sommen

Quotiëntregel

\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

Herinnering: quotiënten worden verschillen

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Machtsregel voor logaritmen

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Geluidsniveau in decibel

Cijfers van enorme getallen tellen

Bevolkingsgroei

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Machtsregel

Wortelregel

Omgekeerde

Productregel

Quotiëntregel

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logaritmen

Definitie van een logaritme

Briggse logaritme (grondtal 10)

Natuurlijke logaritme (ln)