Machtsregel voor logaritmen

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welke uitdrukking is gelijk aan $\log_3(x^5)$ voor $x > 0$ ?
1. a) $5 \log_3 x$
2. b) $(\log_3 x)^5$
3. c) $\log_3(5x)$
4. d) $\log_3 5 + \log_3 x$
Antwoord: $5 \log_3 x$
Volgens de machtsregel is $\log_3(x^5) = 5 \log_3 x$ . De uitdrukking $(\log_3 x)^5$ verheft de hele logaritme tot de vijfde macht, en dat is iets anders.
2.
Bereken $\log_2(8^4)$ .
Antwoord: 12
$\log_2(8^4) = 4 \log_2 8 = 4 \cdot 3 = 12$ . Controle: $8^4 = 2^{12} = 4096$ .
3.
Bereken $\log_3(9^4)$ met de machtsregel.
Antwoord: 8
1. De machtsregel geeft $4 \log_3 9$ . Wat is $\log_3 9$ ? 2
2. Vermenigvuldig: $4 \cdot \log_3 9 = ?$ 8
4.
Welke uitdrukking is gelijk aan $\log \sqrt{x}$ voor $x > 0$ ?
1. a) $2 \log x$
2. b) $\log \frac{x}{2}$
3. c) $\sqrt{\log x}$
4. d) $\frac{1}{2} \log x$
Antwoord: $\frac{1}{2} \log x$
$\log \sqrt{x} = \log x^{1/2} = \frac{1}{2} \log x$ . Een vierkantswortel halveert de logaritme, hij verdubbelt hem niet.
5.
Bereken $\log_5(25^3)$ .
Antwoord: 6
$\log_5(25^3) = 3 \log_5 25 = 3 \cdot 2 = 6$ .
6.
Bereken $\log \sqrt{1000}$ (grondtal 10).
Antwoord: 3/2
1. Schrijf $\sqrt{1000} = 1000^k$ . Wat is $k$ ? 1/2
2. Wat is $\log 1000$ ? 3
3. Machtsregel: bereken $k \cdot \log 1000$ . 3/2
7.
Schrijf $3 \log x - 2 \log y$ als één logaritme.
1. a) $\log(x^3 - y^2)$
2. b) $\frac{\log x^3}{\log y^2}$
3. c) $\log \frac{x^3}{y^2}$
4. d) $\log \frac{3x}{2y}$
Antwoord: $\log \frac{x^3}{y^2}$
$3 \log x = \log x^3$ en $2 \log y = \log y^2$ , dus $3 \log x - 2 \log y = \log x^3 - \log y^2 = \log \frac{x^3}{y^2}$ .
8.
Bereken $\log_4 \sqrt{64}$ . Geef het antwoord als breuk of als decimaal getal.
Antwoord: 3/2
$\log_4 \sqrt{64} = \frac{1}{2} \log_4 64 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} = 1{,}5$ . Controle: $\sqrt{64} = 8$ en $4^{1{,}5} = 8$ .
9.
Schrijf $\log_2(x^3 y^5)$ uit als $a \log_2 x + b \log_2 y$ en bereken daarna de waarde voor $x = 2$ en $y = 4$ .
Antwoord: 13
1. Wat is de coëfficiënt $a$ van $\log_2 x$ ? 3
2. Wat is de coëfficiënt $b$ van $\log_2 y$ ? 5
3. Met $\log_2 2 = 1$ en $\log_2 4 = 2$ : bereken $3 \cdot 1 + 5 \cdot 2$ . 13
10.
Welke bewering is waar?
1. a) $3 \log 100 = 8$
2. b) $\log(100^3) = 6$
3. c) $\log(100^3) = 8$
4. d) $(\log 100)^3 = 6$
Antwoord: $\log(100^3) = 6$
$\log(100^3) = 3 \log 100 = 3 \cdot 2 = 6$ volgens de machtsregel. Daarentegen is $(\log 100)^3 = 2^3 = 8$ , omdat daar de hele logaritme tot de derde macht wordt verheven.
11.
Als $\log_3 x = 2{,}5$ , wat is dan $\log_3(x^4)$ ?
Antwoord: 10
$\log_3(x^4) = 4 \log_3 x = 4 \cdot 2{,}5 = 10$ . Je hoeft $x$ zelf niet eens te kennen.
12.
Schrijf $2 \log 5 + \log 4$ als één logaritme en bereken de waarde.
Antwoord: 2
1. Machtsregel omgekeerd: $2 \log 5 = \log ?$ 25
2. Productregel: $\log 25 + \log 4 = \log ?$ 100
3. Wat is $\log 100$ ? 2
13.
Schrijf $\ln \dfrac{x^4}{\sqrt{y}}$ uit als $a \ln x + c \ln y$ en bereken de waarde als $\ln x = 1$ en $\ln y = 6$ .
Antwoord: 1
1. Wat is de coëfficiënt $a$ van $\ln x$ ? 4
2. Wat is de coëfficiënt $c$ van $\ln y$ ? (Let op het teken.) -1/2
3. Bereken $4 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 6$ . 1
14.
Schrijf $\ln \dfrac{x^2 \sqrt[3]{y}}{z^4}$ uit (alle variabelen positief).
1. a) $2 \ln x + \frac{1}{3} \ln y - 4 \ln z$
2. b) $2 \ln x + \frac{1}{3} \ln y + 4 \ln z$
3. c) $2 \ln x + 3 \ln y - 4 \ln z$
4. d) $\frac{2}{3} \ln(xy) - 4 \ln z$
Antwoord: $2 \ln x + \frac{1}{3} \ln y - 4 \ln z$
Quotiëntregel, productregel en dan de machtsregel: $\ln x^2 + \ln y^{1/3} - \ln z^4 = 2 \ln x + \frac{1}{3} \ln y - 4 \ln z$ .
15.
Gebruik $\log 2 \approx 0{,}301$ en $\log 3 \approx 0{,}477$ om $\log 48$ te benaderen. Geef 3 decimalen.
Antwoord: 1.681
$\log 48 = \log(2^4 \cdot 3) = 4 \log 2 + \log 3 \approx 4 \cdot 0{,}301 + 0{,}477 = 1{,}204 + 0{,}477 = 1{,}681$ .
16.
Bereken $3 \log_2 4 - \frac{1}{2} \log_2 16$ door alles samen te voegen tot één logaritme.
Antwoord: 4
1. $3 \log_2 4 = \log_2 4^3 = \log_2 ?$ 64
2. $\frac{1}{2} \log_2 16 = \log_2 16^{1/2} = \log_2 ?$ 4
3. Quotiëntregel: $\log_2 64 - \log_2 4 = \log_2 ?$ 16
4. Wat is $\log_2 16$ ? 4
17.
Gebruik $\ln 2 \approx 0{,}693$ en $\ln 3 \approx 1{,}099$ om $\ln \sqrt{72}$ te benaderen. Reken alleen met deze waarden en rond niet af.
Antwoord: 2.1385
1. $72 = 2^a \cdot 3^2$ . Wat is $a$ ? 3
2. $\ln 72 = 3 \ln 2 + 2 \ln 3$ . Bereken $3 \cdot 0{,}693 + 2 \cdot 1{,}099$ . 4.277
3. $\ln \sqrt{72} = \frac{1}{2} \ln 72$ . Bereken de helft van $4{,}277$ . 2.1385
18.
Hoeveel cijfers heeft $3^{50}$ ? Gebruik $\log 3 \approx 0{,}477$ .
Antwoord: 24
1. Machtsregel: $\log(3^{50}) = 50 \log 3$ . Bereken $50 \cdot 0{,}477$ . 23.85
2. Wat is het gehele deel van die uitkomst? 23
3. Tel er 1 bij op. Hoeveel cijfers heeft $3^{50}$ ? 24