Standaardnormale verdeling

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welk gemiddelde en welke standaarddeviatie heeft de standaardnormale verdeling $N(0, 1)$ ?
1. a) $\mu = 1$ , $\sigma = 0$
2. b) $\mu = 0$ , $\sigma = 1$
3. c) $\mu = 1$ , $\sigma = 1$
4. d) $\mu = 0$ , $\sigma = 0$
Antwoord: $\mu = 0$ , $\sigma = 1$
De standaardnormale verdeling heeft haar midden bij $\mu = 0$ en spreiding $\sigma = 1$ . Daarom is een waarde van $Z$ direct een aantal standaarddeviaties vanaf het gemiddelde.
2.
De z-tabel geeft $\Phi(0{,}5) = 0{,}6915$ . Bepaal $P(Z > 0{,}5)$ .
Antwoord: 0.3085
$P(Z > 0{,}5) = 1 - \Phi(0{,}5) = 1 - 0{,}6915 = 0{,}3085$ .
3.
Lees $P(Z \le 1{,}28)$ af in de z-tabel. Fragment: rij $1{,}2$ heeft $0{,}8980$ in kolom $0{,}07$ , $0{,}8997$ in kolom $0{,}08$ en $0{,}9015$ in kolom $0{,}09$ .
Antwoord: 0.8997
1. Welke rij gebruik je (z met één decimaal)? 1.2
2. Welke kolom gebruik je (de tweede decimaal)? 0.08
3. Welke waarde lees je af? 0.8997
4.
De z-tabel toont $0{,}8413$ bij $z = 1$ . Wat betekent dit getal?
1. a)De hoogte van de kromme bij $z = 1$
2. b)De oppervlakte links van $z = 1$
3. c)De oppervlakte tussen $-1$ en $1$
4. d)De oppervlakte rechts van $z = 1$
Antwoord: De oppervlakte links van $z = 1$
De tabel geeft de cumulatieve oppervlakte links: $\Phi(1) = P(Z \le 1) = 0{,}8413$ . De oppervlakte rechts van $z = 1$ is $1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$ .
5.
Bepaal $P(Z < 0)$ voor de standaardnormaal verdeelde variabele $Z$ . Geef een decimaal getal.
Antwoord: 0.5
De kromme is symmetrisch rond het gemiddelde 0, dus precies de helft van de oppervlakte ligt links: $\Phi(0) = 0{,}5$ .
6.
Bepaal $P(Z > 2)$ . De z-tabel geeft $\Phi(2) = 0{,}9772$ .
Antwoord: 0.0228
1. Hoe groot is de oppervlakte links van $z = 2$ ? 0.9772
2. Hoeveel is $1 - 0{,}9772$ ? 0.0228
7.
De tabel geeft $\Phi(1{,}2) = 0{,}8849$ . Welke uitdrukking is gelijk aan $P(Z < -1{,}2)$ ?
1. a) $-0{,}8849$
2. b) $1 - 0{,}8849$
3. c) $0{,}8849 - 0{,}5$
4. d) $0{,}8849$
Antwoord: $1 - 0{,}8849$
Door symmetrie is $\Phi(-1{,}2) = 1 - \Phi(1{,}2) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151$ . Een oppervlakte kan niet negatief zijn, en $0{,}8849$ zou meer dan de halve kromme links van een negatieve $z$ zijn.
8.
Bepaal $P(Z < -0{,}25)$ met symmetrie. De tabel geeft $\Phi(0{,}25) = 0{,}5987$ .
Antwoord: 0.4013
1. Door symmetrie is $P(Z < -0{,}25) = P(Z > 0{,}25)$ . Hoeveel is $\Phi(0{,}25)$ ? 0.5987
2. Hoeveel is $1 - 0{,}5987$ ? 0.4013
9.
De tabel geeft $\Phi(1{,}75) = 0{,}9599$ . Bepaal $P(Z < -1{,}75)$ .
Antwoord: 0.0401
$\Phi(-1{,}75) = 1 - \Phi(1{,}75) = 1 - 0{,}9599 = 0{,}0401$ .
10.
Bepaal $P(0{,}5 < Z < 1{,}5)$ . Tabel: $\Phi(0{,}5) = 0{,}6915$ , $\Phi(1{,}5) = 0{,}9332$ .
Antwoord: 0.2417
1. Hoe groot is de oppervlakte links tot de bovengrens, $\Phi(1{,}5)$ ? 0.9332
2. Hoe groot is de oppervlakte links tot de ondergrens, $\Phi(0{,}5)$ ? 0.6915
3. Hoeveel is $0{,}9332 - 0{,}6915$ ? 0.2417
11.
Een klasgenoot heeft $P(-2 < Z < 2)$ met de z-tabel berekend. Welke uitkomst doorstaat de 68-95-99,7-controle?
1. a) $0{,}4772$
2. b) $0{,}9974$
3. c) $0{,}9544$
4. d) $0{,}6826$
Antwoord: $0{,}9544$
Binnen $\pm 2$ standaarddeviaties ligt ongeveer 95%. De tabel geeft $\Phi(2) - \Phi(-2) = 0{,}9772 - 0{,}0228 = 0{,}9544$ . $0{,}6826$ hoort bij $\pm 1$ , $0{,}9974$ bij $\pm 3$ , en $0{,}4772$ is alleen de helft van 0 tot 2.
12.
Bepaal $P(-1 < Z < 1)$ met de tabelwaarde $\Phi(1) = 0{,}8413$ en vergelijk daarna met de 68-95-99,7-regel.
Antwoord: 0.6826
1. Hoeveel is $\Phi(-1) = 1 - 0{,}8413$ ? 0.1587
2. Hoeveel is $0{,}8413 - 0{,}1587$ ? 0.6826
3. Rond je uitkomst af op een heel percentage. Hoeveel procent is het? 68
13.
$X$ is normaal verdeeld met $\mu = 40$ en $\sigma = 4$ . Standaardiseer $x = 47$ : hoeveel is $z$ ?
Antwoord: 1.75
$z = \frac{47 - 40}{4} = \frac{7}{4} = 1{,}75$ . De waarde 47 ligt 1,75 standaarddeviaties boven het gemiddelde.
14.
$X$ is normaal verdeeld met $\mu = 100$ en $\sigma = 15$ . Bepaal $P(X < 118)$ . Tabel: $\Phi(1{,}2) = 0{,}8849$ , $\Phi(1{,}8) = 0{,}9641$ .
Antwoord: 0.8849
1. Hoeveel is $x - \mu = 118 - 100$ ? 18
2. Hoeveel is $z = 18 / 15$ ? 1.2
3. Hoeveel is $P(Z < 1{,}2)$ ? 0.8849
15.
$X$ is normaal verdeeld met $\mu = 70$ en $\sigma = 5$ . De tabel geeft $\Phi(1{,}6) = 0{,}9452$ . Welke regel is juist voor $P(X > 78)$ ?
1. a) $z = 8$ , oppervlakte $0$
2. b) $z = -1{,}6$ , oppervlakte $0{,}0548$
3. c) $z = 1{,}6$ , oppervlakte $0{,}0548$
4. d) $z = 1{,}6$ , oppervlakte $0{,}9452$
Antwoord: $z = 1{,}6$ , oppervlakte $0{,}0548$
$z = \frac{78 - 70}{5} = 1{,}6$ . Er wordt een oppervlakte rechts gevraagd: $1 - 0{,}9452 = 0{,}0548$ . $0{,}9452$ is de oppervlakte links, $z = -1{,}6$ heeft het verkeerde teken, en bij $z = 8$ is niet gedeeld door $\sigma$ .
16.
$X$ is normaal verdeeld met $\mu = 20$ en $\sigma = 2$ . Bepaal $P(19 < X < 24)$ . Tabel: $\Phi(0{,}5) = 0{,}6915$ , $\Phi(2) = 0{,}9772$ .
Antwoord: 0.6687
1. Standaardiseer de ondergrens: $z_1 = (19 - 20) / 2$ ? -0.5
2. Standaardiseer de bovengrens: $z_2 = (24 - 20) / 2$ ? 2
3. Hoeveel is $\Phi(-0{,}5) = 1 - 0{,}6915$ ? 0.3085
4. Hoeveel is $0{,}9772 - 0{,}3085$ ? 0.6687
17.
De tabel geeft $\Phi(1{,}96) = 0{,}975$ . Bepaal $P(-1{,}96 < Z < 1{,}96)$ .
Antwoord: 0.95
$\Phi(-1{,}96) = 1 - 0{,}975 = 0{,}025$ , dus $P(-1{,}96 < Z < 1{,}96) = 0{,}975 - 0{,}025 = 0{,}95$ . Daarom komt $\pm 1{,}96$ voor in 95%-betrouwbaarheidsintervallen.
18.
Bepaal de oppervlakte buiten $\pm 1{,}1$ : $P(Z < -1{,}1 \text{ of } Z > 1{,}1)$ . Tabel: $\Phi(1{,}1) = 0{,}8643$ .
Antwoord: 0.2714
1. Hoeveel is de rechterstaart $P(Z > 1{,}1) = 1 - 0{,}8643$ ? 0.1357
2. Hoeveel is door symmetrie de linkerstaart $P(Z < -1{,}1)$ ? 0.1357
3. Hoeveel is de totale oppervlakte buiten? 0.2714