Docentenhandleiding: Standaardnormale verdeling

Leer de standaardnormale verdeling N(0, 1) kennen, hoe je elke normale verdeling standaardiseert en hoe je de z-tabel afleest voor oppervlakten links, rechts en tussen twee waarden.

Les presenteren Delen in Classroom Studentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Kansverdelingen. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

De standaardnormale verdeling N(0, 1) en haar variabele Z beschrijven
Een waarde van een willekeurige normale variabele standaardiseren met z = (x - μ) / σ
Cumulatieve oppervlakten links in de z-tabel aflezen via rij en kolom
Oppervlakten rechts en tussen twee waarden bepalen met 1 - Φ(z) en Φ(b) - Φ(a)
Symmetrie gebruiken voor negatieve z en uitkomsten controleren met de 68-95-99,7-regel

Vereisten

• Introductie tot de normale verdeling: de klokkromme, het gemiddelde, de standaarddeviatie en de 68-95-99,7-regel
• Z-scores: berekenen hoeveel standaarddeviaties een waarde van het gemiddelde ligt
• Decimale getallen en decimale getallen van 1 aftrekken
• Kans als getal tussen 0 en 1

Discussiestarters

1. Waarom is het handig dat je elke normale verdeling kunt omzetten in dezelfde kromme?
2. De tabel geeft 0,9332 bij z = 1,5. Hoe groot is ongeveer de oppervlakte rechts, zonder te rekenen, en waarom?
3. Waarom moet Φ(0) precies 0,5 zijn?
4. Hoe kan de 68-95-99,7-regel je laten zien dat een uitkomst uit de tabel fout is?

Veelvoorkomende misvattingen

De tabelwaarde is altijd de gevraagde kans, welk gebied er ook gevraagd wordt

Herstel: Laat vóór elke aflezing de kromme schetsen en het gebied arceren. Vraag: ligt mijn gebied links van z? Zo niet, welke regel maakt van de oppervlakte links wat ik nodig heb?

Een negatieve z-score geeft een negatieve kans

Herstel: Laat op de interactieve kromme zien dat bij z onder 0 de gearceerde oppervlakte positief blijft, alleen kleiner dan de helft. Koppel dit aan symmetrie: de linkerstaart bij -z spiegelt de rechterstaart bij z.

De oppervlakte tussen a en b is Φ(b - a)

Herstel: Vergelijk P(1 < Z < 2) met Φ(1): het ene is een smalle strook (0,1359), het andere bijna de hele kromme (0,8413). Beide arceren maakt het verschil duidelijk.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Begin met positieve z en oppervlakten links, voeg daarna oppervlakten rechts toe
• Altijd eerst schetsen en arceren voordat je de tabel afleest
• Geef een verkorte tabel met alleen de rijen 0,0 tot en met 2,0

Voor leerlingen op niveau:

• Oppervlakten links, rechts, tussen twee waarden en negatieve z door elkaar oefenen
• Eerst eenvoudige oorspronkelijke waarden standaardiseren, dan de tabel gebruiken
• Elke uitkomst controleren met de 68-95-99,7-regel

Voor gevorderde leerlingen:

• Terugwerken: z vinden bij een gegeven oppervlakte links (bijvoorbeeld 0,975 geeft 1,96)
• De oppervlakte buiten P(|Z| > z) bepalen en vergelijken met de 68-95-99,7-regel
• Uitleggen waarom 1,96 en 2,58 zo vaak voorkomen in de statistiek

Standaarduitlijning

HSS-ID.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.4)
Gemiddelde en standaarddeviatie van een dataset gebruiken om er een normale verdeling bij te passen en percentages van de populatie te schatten; rekenmachines, spreadsheets en tabellen gebruiken om oppervlakten onder de normale kromme te schatten
HSS-IC.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.IC.B.4)
Gegevens uit een steekproef gebruiken om een populatiegemiddelde of -proportie te schatten; een foutmarge ontwikkelen met simulaties van aselecte steekproeven

Lesbronnen

visualInteractieve z-tabel
z over de kromme verslepen en zien hoe de bijbehorende rij en kolom van de tabel oplichten
activityArceer de oppervlakte
Leerlingen schetsen oppervlakten links, rechts en tussen twee waarden voordat ze de tabel aflezen en vergelijken daarna met de interactieve kromme
worksheetOefenen met de z-tabel
Opgaven over oppervlakten links, rechts, tussen twee waarden en met negatieve z, elk met een 68-95-99,7-controle

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

De standaardnormale verdeling is de normale verdeling met gemiddelde

\mu = 0

en standaarddeviatie

\sigma = 1

. Je schrijft

N(0, 1)

en noemt de variabele

Z

Standaardiseren

Elke normaal verdeelde variabele

X

met gemiddelde

\mu

en standaarddeviatie

\sigma

wordt de standaardnormale verdeling als je haar standaardiseert:

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

Daarom is één tabel genoeg voor alle normale verdelingen: eerst bereken je

z

, daarna lees je de oppervlakte af.

De z-tabel

De z-tabel (tabel van de standaardnormale verdeling) geeft de cumulatieve oppervlakte links van

z

\Phi(z) = P(Z \le z)

De rij geeft

z

met één decimaal (bijvoorbeeld

1{,}2

), de kolom geeft de tweede decimaal (bijvoorbeeld

0{,}03

). Waar ze elkaar kruisen lees je

\Phi(1{,}23) = 0{,}8907

af.

Drie regels voor elke oppervlakte

**Links van $z$ **: direct aflezen, $P(Z < z) = \Phi(z)$
**Rechts van $z$ **: de totale oppervlakte is 1, dus $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$
**Tussen $a$ en $b$ **: $P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)$

De kromme is symmetrisch rond 0, dus

\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

. Bij een continue variabele zijn

P(Z < z)

P(Z \le z)

hetzelfde getal.

Uitgewerkte voorbeelden

Bepaal

P(Z \le 1{,}23)

voor de standaardnormaal verdeelde variabele

Z

Splits $z$ in rij en kolom

1{,}23 = 1{,}2 + 0{,}03

→ Rij

1{,}2

, kolom

0{,}03

Lees de waarde af waar rij en kolom elkaar kruisen

Rij

1{,}2

, kolom

0{,}03

0{,}8907

→

\Phi(1{,}23) = 0{,}8907

Controleer of het klopt

z = 1{,}23

is iets meer dan 1, en

\Phi(1) = 0{,}8413

→ Een waarde iets boven

0{,}8413

is logisch

Antwoord: $P(Z \le 1{,}23) = 0{,}8907$ , dus ongeveer 89,07% van de oppervlakte ligt links van $z = 1{,}23$ .

Veelgemaakte fouten

De tabelwaarde als oppervlakte rechts gebruiken: $P(Z > 1{,}5) = 0{,}9332$

Waarom het fout is: De z-tabel geeft altijd de oppervlakte LINKS van $z$ . Een oppervlakte van $0{,}9332$ rechts van een positieve $z$ is onmogelijk, want dan zou meer dan de helft van de kromme rechts ervan liggen.

Correct: Voor een oppervlakte rechts trek je af van 1: $P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$ .

Denken dat een negatieve $z$ een negatieve of dezelfde oppervlakte geeft: $\Phi(-0{,}75) = -0{,}7734$ of $0{,}7734$

Waarom het fout is: Oppervlakten zijn nooit negatief. Een negatieve $z$ ligt links van het gemiddelde, dus de oppervlakte links ervan is kleiner dan $0{,}5$ .

Correct: Gebruik symmetrie: $\Phi(-0{,}75) = 1 - \Phi(0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266$ .

De z-waarden aftrekken in plaats van de oppervlakten: $P(-1 < Z < 2) = \Phi(2 - (-1)) = \Phi(3)$

Waarom het fout is: De tabel maakt van z-waarden oppervlakten. De oppervlakte tussen twee punten is het verschil van de twee oppervlakten links, niet de oppervlakte van het verschil.

Correct: $P(-1 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(-1) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$ .

De oorspronkelijke waarde opzoeken in de z-tabel: $P(X < 60)$ aflezen in rij 60

Waarom het fout is: De tabel werkt alleen voor $Z$ , met gemiddelde 0 en standaarddeviatie 1. Een oorspronkelijke waarde moet je eerst standaardiseren.

Correct: Bereken eerst $z = \frac{60 - 50}{8} = 1{,}25$ en lees dan $\Phi(1{,}25) = 0{,}8944$ af.

Waarom het belangrijk is

De standaardnormale verdeling is de ene kromme waarnaar je elk probleem met een normale verdeling omzet:

Eén tabel voor alles: lichaamslengtes, toetscijfers, reactietijden en meetfouten hebben verschillende gemiddelden en spreidingen, maar na standaardiseren gebruiken ze allemaal dezelfde z-tabel
Precieze waarden in plaats van schattingen: de 68-95-99,7-regel werkt alleen bij hele standaarddeviaties; de tabel geeft de oppervlakte bij elke $z$ , zoals $z = 1{,}23$
Statistiek en wetenschap: betrouwbaarheidsintervallen, toetsen en tolerantiegrenzen (zoals $\pm 1{,}96$ of $\pm 3$ ) lees je allemaal af bij de standaardnormale verdeling
Een ingebouwde controle: als een tabeluitkomst ver van 68%, 95% of 99,7% ligt terwijl hij er dichtbij zou moeten liggen, weet je dat er een stap fout is

Zodra je de z-tabel kunt aflezen en de drie oppervlakteregels kunt toepassen, wordt elk probleem met de normale verdeling een korte routine.

Toepassingen in de echte wereld

Kwaliteitscontrole

Fabrieken standaardiseren elke meting en keuren onderdelen af die te ver van de streefwaarde liggen, bijvoorbeeld meer dan 2 standaarddeviaties.

Voorbeeld:

Een onderdeel met $z = -2{,}3$ ligt 2,3 standaarddeviaties onder de streeflengte en wordt dus afgekeurd.

1Probeer het zelf

De fouten van een machine volgen na standaardiseren de standaardnormale verdeling. Een onderdeel wordt afgekeurd als $Z < -2$ of $Z > 2$ . Tabel: $\Phi(2) = 0{,}9772$ .

Welk deel van de onderdelen wordt afgekeurd? Geef een decimaal getal.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Twee gelijke staarten: $2 \times (1 - 0{,}9772)$

Gestandaardiseerde toetsscores

Sommige examens geven de uitslag direct als z-score, zodat elke leerling meteen ziet hoe ver hij boven of onder het gemiddelde zit.

Voorbeeld:

Een score van $z = 0$ is precies gemiddeld; $z = 1$ is één standaarddeviatie boven het gemiddelde.

2Probeer het zelf

De uitslagen van een examen worden als z-scores gegeven en volgen de standaardnormale verdeling. Tabel: $\Phi(0{,}5) = 0{,}6915$ .

Welk deel van de leerlingen heeft een z-score boven $0{,}5$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Oppervlakte rechts: $1 - \Phi(0{,}5)$

Fouten in de weersverwachting

Meteorologen controleren hoever hun temperatuurverwachtingen ernaast zitten. Bij een goed gekalibreerde verwachting kan de fout in °C de standaardnormale verdeling volgen: gemiddelde 0, standaarddeviatie 1.

Voorbeeld:

Een fout van $-1{,}2$ °C betekent dat de echte temperatuur 1,2 graden lager was dan verwacht.

3Probeer het zelf

De fouten van de verwachting voor de volgende dag (in °C) volgen de standaardnormale verdeling. Tabel: $\Phi(1{,}5) = 0{,}9332$ .

Hoe groot is de kans dat een verwachting minder dan 1,5 °C ernaast zit, dus $-1{,}5 < Z < 1{,}5$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Tussen: $\Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5)$

Belangrijke punten

1De standaardnormale verdeling $N(0, 1)$ heeft gemiddelde 0 en standaarddeviatie 1; haar variabele heet $Z$
2Standaardiseer elke normale waarde met $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ en gebruik daarna de ene z-tabel
3De z-tabel geeft de oppervlakte LINKS: $\Phi(z) = P(Z \le z)$ ; rij = eerste decimaal, kolom = tweede decimaal
4Oppervlakte rechts: $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$ ; tussen: $P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)$
5Symmetrie: $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ en $\Phi(0) = 0{,}5$
6Controleer elke uitkomst met de 68-95-99,7-regel: bijvoorbeeld $\Phi(1) - \Phi(-1) = 0{,}6826 \approx 68\%$

Veelgestelde vragen

Waarom werkt één tabel voor elke normale verdeling?

Bij standaardiseren schuift het gemiddelde naar 0 en wordt de spreiding herschaald naar 1. De vorm blijft gelijk, dus de oppervlakte links van

x

bij een normale verdeling met gemiddelde

\mu

en standaarddeviatie

\sigma

is gelijk aan de oppervlakte links van

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

bij

N(0, 1)

Mijn tabel heeft geen negatieve z-waarden. Wat doe ik?

Gebruik symmetrie:

\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

. Bijvoorbeeld

\Phi(-1{,}2) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151

. Veel boeken drukken een tweede tabel voor negatieve

z

af; beide geven dezelfde getallen.

Is er verschil tussen $P(Z < z)$ en $P(Z \le z)$ ?

Nee.

Z

is continu, dus de kans op precies één waarde is 0. Je leest beide af in hetzelfde vakje van de tabel.

Wat als mijn $z$ groter is dan de tabel, zoals $z = 4$ ?

De meeste tabellen stoppen rond

3{,}49

, waar

\Phi

0{,}9998

is. Daarboven is de oppervlakte links praktisch 1 en de rechterstaart praktisch 0.

Woordenlijst

Standaardnormale verdeling: De normale verdeling met gemiddelde 0 en standaarddeviatie 1, geschreven als $N(0, 1)$
Standaardiseren: Een waarde $x$ omrekenen naar $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ , het aantal standaarddeviaties vanaf het gemiddelde
z-tabel: Tabel van de standaardnormale verdeling met de cumulatieve oppervlakten $\Phi(z) = P(Z \le z)$ links van elke $z$
Cumulatieve oppervlakte $\Phi(z)$: De oppervlakte onder de standaardnormale kromme links van $z$ ; die is gelijk aan de kans $P(Z \le z)$
Staart: De oppervlakte aan één uiteinde van de kromme, bijvoorbeeld rechts van $z = 2$

Formulekaart

Standaardiseren

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Maakt van elke normale waarde een waarde van $Z$

Oppervlakte links

P(Z < z) = \Phi(z)

Direct aflezen in de z-tabel

Oppervlakte rechts

P(Z > z) = 1 - \Phi(z)

De totale oppervlakte onder de kromme is 1

Tussen twee waarden

P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)

Grotere oppervlakte links min kleinere oppervlakte links

Symmetrie

\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

Voor negatieve z-waarden

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Standaardnormale verdeling

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Standaardiseren

De z-tabel

Drie regels voor elke oppervlakte

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Kwaliteitscontrole

Gestandaardiseerde toetsscores

Fouten in de weersverwachting

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Standaardiseren

Oppervlakte links

Oppervlakte rechts

Tussen twee waarden

Symmetrie

Meer over dit onderwerp

Introductie tot kansverdelingen

Binomiale kans

Discrete vs continue verdelingen

Verwachtingswaarde