Faseverschuiving

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Hoe is de grafiek van $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ verschoven ten opzichte van $y = \sin(x)$ ?
1. a) $\frac{\pi}{6}$ omhoog
2. b) $\frac{\pi}{6}$ naar rechts
3. c) $\frac{\pi}{6}$ naar links
4. d) $6$ naar rechts
Antwoord: $\frac{\pi}{6}$ naar rechts
$y = \sin(x - C)$ met $C = \frac{\pi}{6} > 0$ schuift de grafiek $\frac{\pi}{6}$ naar rechts. Het getal $6$ is niet de verschuiving, en een verschuiving omhoog zou een getal zijn dat buiten de sinus wordt opgeteld.
2.
Welke vergelijking is $y = \cos(x)$ , $\frac{\pi}{4}$ naar links geschoven?
1. a) $y = \cos(x) - \frac{\pi}{4}$
2. b) $y = \cos(x) + \frac{\pi}{4}$
3. c) $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$
4. d) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$
Antwoord: $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$
Links betekent $C = -\frac{\pi}{4}$ , dus $\cos\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ . Als je $\frac{\pi}{4}$ buiten de cosinus optelt of aftrekt, schuift de grafiek juist omhoog of omlaag.
3.
Wat is de faseverschuiving van $y = \sin(3x - \pi)$ ?
1. a) $\frac{\pi}{3}$ naar links
2. b) $\pi$ naar rechts
3. c) $3\pi$ naar rechts
4. d) $\frac{\pi}{3}$ naar rechts
Antwoord: $\frac{\pi}{3}$ naar rechts
$3x - \pi = 3\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ , dus $C = \frac{\pi}{3}$ : de grafiek schuift $\frac{\pi}{3}$ naar rechts. De verschuiving is $\frac{c}{B} = \frac{\pi}{3}$ , niet $\pi$ .
4.
Welke vergelijking heeft precies dezelfde grafiek als $y = \cos(x)$ ?
1. a) $y = \sin(x + \pi)$
2. b) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$
3. c) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$
4. d) $y = \sin(x - \pi)$
Antwoord: $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$
De cosinus is de sinus, $\frac{\pi}{2}$ naar links geschoven: $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(x)$ . Bij $x = 0$ geven de andere keuzes $-1$ , $0$ en $0$ .
5.
Een sinusgrafiek heeft periode $\pi$ en begint een periode (stijgend door de middellijn) bij $x = \frac{\pi}{3}$ . Welke vergelijking past?
1. a) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$
2. b) $y = \sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$
3. c) $y = \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$
4. d) $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$
Antwoord: $y = \sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$
Periode $\pi$ geeft $B = \frac{2\pi}{\pi} = 2$ , en het begin geeft $C = \frac{\pi}{3}$ . Dus $y = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\right) = \sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$ . De keuze $\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ begint pas bij $\frac{\pi}{6}$ .
6.
Wat is in $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{5}\right)$ de faseverschuiving $C$ ? (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld 3pi/4.)
Antwoord: pi/5
$x - \frac{\pi}{5}$ is $x - C$ met $C = \frac{\pi}{5}$ : een verschuiving van $\frac{\pi}{5}$ naar rechts.
7.
Wat is in $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ de faseverschuiving $C$ ? Geef een negatief getal voor een verschuiving naar links. (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld -3pi/4.)
Antwoord: -pi/2
$x + \frac{\pi}{2} = x - \left(-\frac{\pi}{2}\right)$ , dus $C = -\frac{\pi}{2}$ : de cosinus schuift $\frac{\pi}{2}$ naar links.
8.
Wat is de faseverschuiving $C$ van $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ ? (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld 3pi/4.)
Antwoord: pi/6
$2x - \frac{\pi}{3} = 2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ , dus $C = \frac{\pi}{6}$ naar rechts, niet $\frac{\pi}{3}$ .
9.
Wat is de faseverschuiving $C$ van $y = \cos(4x + \pi)$ ? Geef een negatief getal voor een verschuiving naar links. (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld -3pi/4.)
Antwoord: -pi/4
$4x + \pi = 4\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 4\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$ , dus $C = -\frac{\pi}{4}$ : $\frac{\pi}{4}$ naar links.
10.
Wat is de faseverschuiving $C$ van $y = \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$ ? (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld 3pi/4.)
Antwoord: pi/2
$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ , dus $C = \frac{\pi/4}{1/2} = \frac{\pi}{2}$ naar rechts. Hier is de verschuiving groter dan $c$ omdat $B < 1$ .
11.
Bepaal voor $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ waar de eerste periode begint en waar het maximum ligt. (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld 3pi/4.)
Antwoord: 5pi/6
1. Wat is de faseverschuiving $C$ ? pi/3
2. Bij welke $x$ begint de eerste periode? pi/3
3. $\sin(x)$ heeft zijn maximum bij $\frac{\pi}{2}$ . Bij welke $x$ ligt het nieuwe maximum? 5pi/6
12.
Bepaal voor $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ de faseverschuiving en de nieuwe plaats van het maximum dat $\cos(x)$ bij $x = 0$ heeft. (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld -3pi/4.)
Antwoord: -pi/6
1. Schrijf $x + \frac{\pi}{6}$ als $x - C$ . Wat is $C$ ? -pi/6
2. Bij welke $x$ ligt het nieuwe maximum? -pi/6
3. Wat is de maximale waarde $y$ ? 1
13.
Bepaal voor $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$ de faseverschuiving, de periode en waar de eerste periode eindigt. (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld 3pi/4.)
Antwoord: 5pi/4
1. Wat is $B$ ? 2
2. Haal buiten haakjes: $2x - \frac{\pi}{2} = 2(x - C)$ . Wat is $C$ ? pi/4
3. Wat is de periode? pi
4. De periode begint bij $x = C$ . Bij welke $x$ eindigt ze? 5pi/4
14.
Bepaal voor $y = \cos\left(3x + \frac{\pi}{2}\right)$ de faseverschuiving en de periode. (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld -3pi/4.)
Antwoord: 2pi/3
1. Wat is $B$ ? 3
2. Deel: hoeveel is $\frac{\pi}{2} \div 3$ ? pi/6
3. Wat is de faseverschuiving $C$ ? (Negatief voor links.) -pi/6
4. Wat is de periode? 2pi/3
15.
Zoek $c$ zodat $y = \sin(2x - c)$ de grafiek is van $y = \sin(2x)$ , $\frac{\pi}{6}$ naar rechts geschoven. (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld 3pi/4.)
Antwoord: pi/3
1. Wat is de faseverschuiving $C$ ? pi/6
2. Wat is $B$ ? 2
3. $\sin(2(x - C)) = \sin(2x - 2C)$ . Wat is $c = 2C$ ? pi/3
16.
Zoek $C$ met $-\pi \le C \le \pi$ zodat $\sin(x - C) = \cos(x)$ voor elke $x$ . (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld -3pi/4.)
Antwoord: -pi/2
1. Bij welke $x$ heeft $\cos(x)$ een maximum (het dichtst bij $0$ )? 0
2. Bij welke $x$ heeft $\sin(x)$ zijn eerste positieve maximum? pi/2
3. De top van de sinus moet van $\frac{\pi}{2}$ naar $0$ . Wat is $C$ ? (Negatief voor links.) -pi/2
4. Controle: wat is $\sin\left(0 - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$ ? 1
17.
De hoogte van een reuzenradbakje boven de as is $h(t) = 10\sin\left(\frac{\pi}{15}(t - 5)\right)$ meter, met $t$ in seconden. Op welk tijdstip $t$ bereikt het bakje na $t = 0$ voor het eerst zijn hoogste punt?
Antwoord: 12.5
1. Wat is de faseverschuiving $C$ in seconden? 5
2. Wat is de periode in seconden? 30
3. Hoeveel is een kwart van de periode? 7.5
4. Op welk tijdstip $t$ is het bakje bovenaan? 12.5
18.
Laat zien dat $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ en $y = \sin\left(x + \frac{7\pi}{4}\right)$ dezelfde grafiek hebben: hoeveel hele perioden verschillen hun verschuivingen? (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld -3pi/4.)
Antwoord: 1
1. Wat is de verschuiving $C_1$ van $\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ ? pi/4
2. Wat is de verschuiving $C_2$ van $\sin\left(x + \frac{7\pi}{4}\right)$ ? -7pi/4
3. Wat is $C_1 - C_2$ ? 2pi
4. De periode van $\sin(x)$ is $2\pi$ . Hoeveel hele perioden is dat? 1