Docentenhandleiding: Faseverschuiving

Leer hoe een faseverschuiving sinus- en cosinusgrafieken naar links of rechts schuift, waarom een min rechts betekent en hoe je de verschuiving in sin(Bx - c) vindt.

Les presenteren Delen in Classroom Studentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Trigonometrische grafieken. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

De faseverschuiving $C$ en de richting ervan bepalen in $y = \sin(B(x - C))$ en $y = \cos(B(x - C))$
$Bx - c$ schrijven als $B\left(x - \frac{c}{B}\right)$ en de faseverschuiving $\frac{c}{B}$ vinden
Het effect van $B$ (periode) onderscheiden van het effect van $C$ (verschuiving)
Bepalen waar een periode van een verschoven grafiek begint en eindigt
De cosinus schrijven als verschoven sinus en omgekeerd

Vereisten

• De sinusfunctie $y = \sin(x)$ tekenen (les De sinusfunctie grafisch weergeven)
• De cosinusfunctie $y = \cos(x)$ tekenen (les De cosinusfunctie tekenen)
• Amplitude en periode, inclusief de periode $\frac{2\pi}{|B|}$ (les Amplitude en periode)
• Radialen en breuken van $\pi$
• Een getal buiten haakjes halen in een uitdrukking

Discussiestarters

1. Waarom schuift $\sin(x - 1)$ naar rechts, terwijl er een min staat?
2. Als twee vrienden hetzelfde hardlooprondje op verschillende tijden beginnen, hoe lijkt dat op een faseverschuiving?
3. Is $\sin(2x - \pi)$ over $\pi$ of over $\frac{\pi}{2}$ verschoven? Hoe overtuig je iemand die het er niet mee eens is?
4. Hoeveel verschillende verschuivingen maken van een sinus een cosinus? Waarom zijn het er zoveel?

Veelvoorkomende misvattingen

Het teken geeft direct de richting aan: min betekent links

Herstel: Maak een tabel voor $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ : de waarde $1$ die $\sin(x)$ bij $\frac{\pi}{2}$ heeft, komt pas bij $x = \pi$ . De grafiek komt later aan, dus is hij naar rechts geschoven.

De verschuiving van $\sin(Bx - c)$ is $c$

Herstel: Teken $\sin(2x - \pi)$ en $\sin(2(x - \pi))$ samen. Ze zijn verschillend, en alleen de ontbonden vorm laat de echte verschuiving $\frac{\pi}{2}$ zien.

Sinus en cosinus zijn totaal verschillende functies

Herstel: Gebruik de doel-activiteit: leerlingen schuiven een sinus tot hij een cosinus bedekt en ontdekken $C = -\frac{\pi}{2}$ .

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Begin alleen met $B = 1$ en verschuivingen zoals $\frac{\pi}{2}$ en $\pi$
• Volg een bijzonder punt (het begin van de periode) in plaats van de hele grafiek
• Zeg de regel hardop: min betekent rechts, plus betekent links

Voor leerlingen op niveau:

• $Bx - c$ buiten haakjes halen en de verschuiving $\frac{c}{B}$ vinden
• Begin en eind van een periode bepalen bij verschoven grafieken
• Vergelijkingen koppelen aan verschoven grafieken

Voor gevorderde leerlingen:

• Alle verschuivingen tussen $-2\pi$ en $2\pi$ vinden die $\sin(x)$ in $\cos(x)$ veranderen
• Het tijdstip van hoogwater of de warmste dag modelleren met een faseverschuiving
• Uitleggen waarom $\sin(x - \pi) = -\sin(x)$ en hoe ruisonderdrukking dat gebruikt

Standaarduitlijning

HSF-BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Het effect op de grafiek bepalen van het vervangen van f(x) door f(x + k), k f(x), f(kx) en f(x) + k voor bepaalde waarden van k
HSF-TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)
Goniometrische functies kiezen om periodieke verschijnselen met gegeven amplitude, frequentie en middellijn te modelleren
HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7e)
Goniometrische functies tekenen en daarbij periode, middellijn en amplitude laten zien

Lesbronnen

visualsin(x) en sin(x - C) vergelijken
Beweeg de schuifregelaar C en kijk hoe de tweede grafiek naar links of rechts glijdt terwijl de vorm hetzelfde blijft
gameRaak het doel
Stel B en C in tot de grafiek een gestippeld doel bedekt, waaronder een cosinus die je met een verschoven sinus raakt
visualDe c/B-valkuil
Verander c en B in sin(Bx - c) en lees de echte verschuiving c/B af
worksheetOefenen met faseverschuiving
Vergelijkingen om af te lezen, buiten haakjes te halen en te schetsen, met begin en eind van een periode

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een faseverschuiving (of horizontale verschuiving) schuift een sinus- of cosinusgrafiek naar links of naar rechts zonder de vorm te veranderen. In de vorm

y = \sin(B(x - C)) \quad \text{of} \quad y = \cos(B(x - C))

is de **faseverschuiving

C

**:

$C > 0$ : de grafiek schuift $C$ eenheden naar rechts
$C < 0$ : de grafiek schuift $|C|$ eenheden naar links

Waarom betekent een min rechts? De gewone sinus begint een periode waar het argument

0

is. Bij

\sin(x - C)

is het argument

x - C

, en dat is

0

bij

x = C

. Elk punt van de grafiek komt dus

C

eenheden later, dat wil zeggen verder naar rechts. Zo is

y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)

de grafiek van

y = \sin(x)

die

\frac{\pi}{3}

naar rechts is geschoven, en is

y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)

\frac{\pi}{4}

naar links geschoven.

Let op: haal eerst $B$ buiten haakjes

Als de vergelijking geschreven is als

y = \sin(Bx - c)

, dan is de verschuiving niet

c

. Haal

B

buiten haakjes:

\sin(Bx - c) = \sin\left(B\left(x - \frac{c}{B}\right)\right) \quad \Rightarrow \quad \text{faseverschuiving} = \frac{c}{B}

Voorbeeld:

\sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)

\frac{\pi}{4}

naar rechts geschoven, niet

\frac{\pi}{2}

Verschuiving en periode zijn twee verschillende dingen

	Wat het verandert	Formule
$B$	de breedte van een periode	periode $= \frac{2\pi}{	B	}$
$C$	waar de periode begint	verschuiving $= C$

Een periode van

y = \sin(B(x - C))

begint bij

x = C

en eindigt bij

x = C + \frac{2\pi}{B}

. Een verschuiving over een hele periode geeft weer dezelfde grafiek:

\sin(x - 2\pi) = \sin(x)

Sinus en cosinus zijn verschuivingen van elkaar

\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \qquad \sin(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)

De cosinus is een sinus die

\frac{\pi}{2}

naar links is geschoven. In de volledige vorm

y = A\sin(B(x - C)) + D

ken je

A

B

uit de les over amplitude en periode,

C

is deze les en

D

(de verticale verschuiving) komt hierna. In Nederlandse schoolboeken staat dezelfde formule vaak als

y = a + b\sin(c(x - d))

; daar is

d

de faseverschuiving. Wij houden de letters

A

B

C

D

aan.

Uitgewerkte voorbeelden

Beschrijf de grafiek van

y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)

vergeleken met

y = \sin(x)

. Waar begint de eerste periode en waar ligt het maximum?

Vergelijk met $y = \sin(B(x - C))$

x - \frac{\pi}{4}

heeft al de vorm

1 \cdot (x - C)

→

B = 1

C = \frac{\pi}{4}

Lees de richting af

C

is positief → Verschuiving van

\frac{\pi}{4}

naar rechts

Zoek het begin van de periode

Het argument is

0

als

x - \frac{\pi}{4} = 0

→ De periode begint bij

x = \frac{\pi}{4}

Verschuif het maximum

\sin(x)

heeft zijn maximum bij

\frac{\pi}{2}

, dus tel

\frac{\pi}{4}

op:

\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}

→ Maximum bij

x = \frac{3\pi}{4}

Antwoord: De grafiek is $y = \sin(x)$ , $\frac{\pi}{4}$ naar rechts geschoven. De eerste periode begint bij $x = \frac{\pi}{4}$ en het maximum $1$ ligt bij $x = \frac{3\pi}{4}$ .

Veelgemaakte fouten

$y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ lezen als een verschuiving naar links

Waarom het fout is: Het minteken lijkt naar links te wijzen, zoals op een getallenlijn. Maar de grafiek bereikt elke waarde later, namelijk als $x - \frac{\pi}{3}$ de oude waarde van $x$ heeft.

Correct: Een min binnen de haakjes betekent rechts: $\sin(x - C)$ schuift $C$ naar rechts, $\sin(x + C)$ schuift $C$ naar links.

Zeggen dat de verschuiving van $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$ gelijk is aan $\frac{\pi}{2}$

Waarom het fout is: Het getal $\frac{\pi}{2}$ wordt van $2x$ afgetrokken, niet van $x$ . De verschuiving hoort bij $x$ alleen.

Correct: Haal $B$ buiten haakjes: $\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$ . De verschuiving is $\frac{c}{B} = \frac{\pi}{4}$ naar rechts.

Denken dat een faseverschuiving de periode of de hoogte verandert

Waarom het fout is: Als je een grafiek opzij schuift, rek je hem niet uit. Alleen $B$ verandert de periode en alleen $A$ de amplitude.

Correct: Na een faseverschuiving heeft de grafiek dezelfde vorm, periode en amplitude. Alleen de plek waar elke periode begint verandert.

Denken dat $y = \sin(x - 2\pi)$ een andere grafiek is dan $y = \sin(x)$

Waarom het fout is: De sinus herhaalt zich elke $2\pi$ . Een verschuiving over een hele periode legt elke golf precies op de volgende.

Correct: Verschuivingen die een hele periode verschillen, geven dezelfde grafiek: $\sin(x - 2\pi) = \sin(x)$ en $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)$ .

Waarom het belangrijk is

Een faseverschuiving vertelt je wanneer een zich herhalend patroon plaatsvindt, niet alleen hoe groot of hoe snel het is:

Getijden: twee havens hebben getijden met dezelfde periode, maar het hoogwater komt op verschillende tijden. Het verschil is een faseverschuiving.
Elektriciteit: de drie draden van een driefasenleiding dragen dezelfde sinusvormige spanning, telkens een derde periode verschoven.
Koptelefoons met ruisonderdrukking: ze spelen het geluid nog eens af, een halve periode verschoven, zodat de twee golven elkaar opheffen.
Seizoenen: de warmste dag van het jaar komt ongeveer een maand na de langste dag. De temperatuurgrafiek is de daglichtgrafiek met een faseverschuiving.
Muziek en geluid: twee luidsprekers die dezelfde toon in tegenfase spelen, kunnen het geluid op sommige plekken zwakker maken.

Als je de faseverschuiving goed afleest (richting en grootte), kun je de volgende top voorspellen.

Toepassingen in de echte wereld

Hoogwater voorspellen

Havenmeesters beschrijven de waterstand met een verschoven sinus. De faseverschuiving vertelt hen wanneer het water door het gemiddelde niveau gaat, en daaruit vinden ze het hoogwater.

Voorbeeld:

Als de waterstand $h(t) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 2)\right)$ meter boven het gemiddelde niveau is, met $t$ in uren na middernacht, dan stijgt het water door het gemiddelde niveau bij $t = 2$ , om 2:00 uur.

1Probeer het zelf

De waterstand in een haven is $h(t) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 2)\right)$ meter boven het gemiddelde niveau, waarbij $t$ de tijd in uren na middernacht is.

Op welk tijdstip $t$ (in uren na middernacht) is het eerste hoogwater?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Begin van de periode plus een kwart periode:

Wisselstroom

Stroomnetten in Europa werken met 50 Hz. Twee spanningen met dezelfde frequentie kunnen ten opzichte van elkaar verschoven zijn, en ingenieurs meten dat verschil als een faseverschuiving in seconden.

Voorbeeld:

De spanning $V_1 = \sin(100\pi t)$ heeft periode $\frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{50}$ seconde. Een tweede spanning $V_2 = \sin\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)$ bereikt elke top iets later.

2Probeer het zelf

Twee spanningen zijn $V_1 = \sin(100\pi t)$ en $V_2 = \sin\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)$ , met $t$ in seconden.

Hoeveel seconden is $V_2$ naar rechts verschoven ten opzichte van $V_1$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Deel $c$ door $B$ :

Koptelefoons met ruisonderdrukking

Een microfoon vangt het geluid op, en de koptelefoon speelt dezelfde golf een halve periode verschoven af. Waar het geluid stijgt, daalt de kopie, en de twee heffen elkaar op.

Voorbeeld:

Voor het geluid $y = \sin(x)$ is de kopie $y = \sin(x - \pi)$ , en dat is gelijk aan $-\sin(x)$ . Hun som is overal $0$ .

3Probeer het zelf

Een geluid wordt beschreven door $y = \sin(2x)$ . De koptelefoon speelt $y = \sin(2(x - C))$ .

Welke verschuiving $C$ , tussen $0$ en een periode, maakt de kopie precies het tegengestelde van het geluid?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

De helft van de periode:

Belangrijke punten

1Bij $y = \sin(B(x - C))$ en $y = \cos(B(x - C))$ is de faseverschuiving $C$
2Een min binnen de haakjes betekent rechts, een plus betekent links: $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ schuift $\frac{\pi}{4}$ naar links
3Haal bij $\sin(Bx - c)$ eerst $B$ buiten haakjes: de verschuiving is $\frac{c}{B}$ , niet $c$
4De periode $\frac{2\pi}{|B|}$ en de amplitude veranderen niet als de grafiek verschuift
5Een periode begint bij $x = C$ en eindigt bij $x = C + \frac{2\pi}{B}$ ; een verschuiving over een hele periode geeft dezelfde grafiek
6De cosinus is een verschoven sinus: $\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Veelgestelde vragen

Waarom heet het faseverschuiving?

De fase is de plek binnen een periode (begin, top, nulpunt, dal). Een faseverschuiving verplaatst elk punt van de periode over dezelfde afstand, zodat de hele golf eerder of later begint.

Is de faseverschuiving van $\sin(2x - \pi)$ gelijk aan $\pi$ of aan $\frac{\pi}{2}$ ?

Ze is

\frac{\pi}{2}

naar rechts. Haal

2

buiten haakjes:

\sin(2x - \pi) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)

. Sommige boeken noemen

\pi

de fasehoek, maar de grafiek schuift

\frac{\pi}{2}

over de

x

-as.

Kan een grafiek meer dan een juiste faseverschuiving hebben?

Ja. Een hele periode erbij optellen of eraf halen geeft dezelfde grafiek, dus

\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)

\sin\left(x + \frac{5\pi}{3}\right)

zijn gelijk. Meestal geef je de verschuiving die het kleinst is in absolute waarde.

Maakt de volgorde van uitrekken en verschuiven uit?

Ja.

\sin(2(x - 1))

\sin(2x - 1)

zijn verschillend: de eerste is

1

naar rechts geschoven, de tweede maar

\frac{1}{2}

. Als je de functie schrijft als

\sin(B(x - C))

, voorkom je de verwarring.

Woordenlijst

Faseverschuiving: De horizontale verschuiving van een sinus- of cosinusgrafiek; gelijk aan $C$ in $y = \sin(B(x - C))$
Horizontale verschuiving: Een hele grafiek naar links of rechts schuiven zonder de vorm te veranderen
Fase: De plek binnen een periode van een golf, zoals het begin, de top of het dal
Periode: De lengte van een volledige golf; gelijk aan $\frac{2\pi}{|B|}$
Ontbonden vorm: Het argument van de functie schrijven als $B(x - C)$ , zodat je de verschuiving $C$ direct kunt aflezen

Formulekaart

Verschoven sinus en cosinus

y = \sin(B(x - C))

y = \cos(B(x - C))

Faseverschuiving $C$: naar rechts als $C > 0$, naar links als $C < 0$

Verschuiving uit de uitgewerkte vorm

\sin(Bx - c) = \sin\left(B\left(x - \frac{c}{B}\right)\right)

De faseverschuiving is $\frac{c}{B}$

Een periode

C \le x \le C + \frac{2\pi}{B}

Waar een volledige periode van de verschoven grafiek begint en eindigt

Sinus en cosinus

\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)

De cosinus is de sinus, $\frac{\pi}{2}$ naar links geschoven

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Faseverschuiving

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Let op: haal eerst BBB buiten haakjes

Verschuiving en periode zijn twee verschillende dingen

Sinus en cosinus zijn verschuivingen van elkaar

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Hoogwater voorspellen

Wisselstroom

Koptelefoons met ruisonderdrukking

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Verschoven sinus en cosinus

Verschuiving uit de uitgewerkte vorm

Een periode

Sinus en cosinus

Meer over dit onderwerp

De sinusfunctie grafisch weergeven

Grafische weergave van de cotangens

De cosinusfunctie tekenen

Amplitude en periode

Let op: haal eerst $B$ buiten haakjes