Docentenhandleiding: Transformaties van goniometrische grafieken

Teken elke sinus- of cosinusfunctie van de vorm y = A sin(B(x - C)) + D: wat elke parameter doet, de juiste volgorde van de transformaties en de methode van de vijf sleutelpunten.

Les presenteren Delen in Classroom Studentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Trigonometrische grafieken. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

Amplitude, periode, faseverschuiving en middellijn aflezen uit $y = A\sin(B(x - C)) + D$ en de cosinusvorm
$B$ buiten haakjes halen om de juiste faseverschuiving te vinden
De transformaties in de juiste volgorde uitvoeren: eerst vermenigvuldigen, dan verschuiven
Een getransformeerde sinus of cosinus tekenen met de methode van de vijf sleutelpunten, ook als $A < 0$
Het domein en het bereik van een getransformeerde sinus- of cosinusfunctie geven

Vereisten

• De sinusfunctie en de cosinusfunctie grafisch weergeven (de basisgrafieken en hun sleutelpunten)
• Amplitude en periode ( $|A|$ en $\frac{2\pi}{B}$ )
• Radialen en veelvouden van $\pi$ op de x-as
• Een getal buiten haakjes halen, zoals $2x - \pi = 2(x - \frac{\pi}{2})$

Discussiestarters

1. Waarom schuift een plusteken in $\sin(x + \frac{\pi}{3})$ de grafiek naar links?
2. Als je eerst verschuift en daarna samendrukt, wat gebeurt er dan met de grootte van de verschuiving?
3. Hoe maak je van een sinusgrafiek een cosinusgrafiek met alleen een faseverschuiving?
4. Een reuzenrad en een getijdengrafiek zijn allebei golven. Wat betekenen $A$ , $B$ , $C$ en $D$ in elk geval?

Veelvoorkomende misvattingen

De verschuiving van $\sin(Bx - k)$ direct aflezen als $k$

Herstel: Laat het deel tussen haakjes gelijk aan $0$ stellen en oplossen: $2x - \pi = 0$ geeft $x = \frac{\pi}{2}$ . Laat daarna zien dat dit overeenkomt met $B$ buiten haakjes halen.

Denken dat het maximum gelijk is aan de amplitude

Herstel: Teken $y = 2\sin(x) + 3$ : amplitude $2$ , maar het maximum is $5$ . De amplitude meet je vanaf de middellijn, niet vanaf de x-as.

Denken dat een negatieve $A$ de amplitude negatief maakt

Herstel: Vergelijk $y = 2\sin(x)$ en $y = -2\sin(x)$ in hetzelfde assenstelsel: even hoog, gespiegeld. De amplitude is een afstand, dus $|A|$ .

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Telkens maar één parameter veranderen, eerst alleen $D$ en $A$
• Een sleutelpuntentabel geven waarin de x-waarden al zijn ingevuld
• Eerst de eerste drie doelen met de schuifregelaars halen, daarna pas schetsen

Voor leerlingen op niveau:

• Vergelijkingen met alle vier de parameters tekenen, inclusief $B$ buiten haakjes halen
• Dezelfde golf schetsen als sinus en als cosinus
• Bij elke grafiek het domein en het bereik geven

Voor gevorderde leerlingen:

• $y = 2\cos(2(x - \frac{\pi}{3})) + 1$ herschrijven als sinus met een andere faseverschuiving
• Een negatieve $B$ aanpakken met de even en oneven eigenschappen
• Een model maken voor echte gegevens (getijden, daglicht) en het tekenen

Standaarduitlijning

HSF-BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Het effect op de grafiek bepalen van het vervangen van f(x) door f(x) + k, k f(x), f(kx) en f(x + k)
HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7e)
Goniometrische functies tekenen en daarbij periode, middellijn en amplitude laten zien
HSF-TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)
Goniometrische functies kiezen om periodieke verschijnselen met gegeven amplitude, frequentie en middellijn te modelleren

Lesbronnen

visualRaak het doel
Verschuif de schuifregelaars A, B, C en D tot de golf zes gestippelde doelkrommen van oplopende moeilijkheid bedekt
activitySleutelpuntenestafette
In teams vult elke leerling één stap in: parameters, periode, x-waarden, y-waarden, schets
worksheetVan vergelijking naar grafiek
Twaalf vergelijkingen om te tekenen met vijf sleutelpunten, met spiegelingen en B buiten haakjes halen

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een getransformeerde sinus- of cosinusgrafiek heeft de algemene vorm

y = A\sin(B(x - C)) + D \quad \text{of} \quad y = A\cos(B(x - C)) + D

(Nederlandse methodes schrijven vaak

y = a + b\sin(c(x - d))

; hier houden we de letters

A

B

C

D

aan.) Elk van de vier parameters verandert de basisgrafiek

y = \sin(x)

y = \cos(x)

op precies één manier (in deze les is

B > 0

Parameter	Wat hij doet	Kenmerk
$A$	verticale vermenigvuldiging; bij $A < 0$ ook spiegeling in de middellijn	amplitude $= \lvert A \rvert$
$B$	horizontale samendrukking ( $B > 1$ ) of uitrekking ( $B < 1$ )	periode $= \frac{2\pi}{B}$
$C$	horizontale verschuiving: naar rechts als $C > 0$ , naar links als $C < 0$	faseverschuiving $= C$
$D$	verticale verschuiving	middellijn $y = D$

Volgorde: eerst vermenigvuldigen, dan verschuiven

Binnen de haakjes druk je eerst samen of rek je eerst uit met

B

, daarna verschuif je met

C

. Buiten de haakjes vermenigvuldig je eerst met

A

(en spiegel je als

A < 0

), daarna verschuif je met

D

. **Haal

B

altijd eerst buiten haakjes** voordat je de verschuiving afleest:

\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))

, dus de verschuiving is

\frac{\pi}{2}

, niet

\pi

De methode van de vijf sleutelpunten

1.Eén periode begint bij $x = C$ en eindigt bij $x = C + \text{periode}$ .
2.Verdeel die in vier gelijke stappen: $\text{stap} = \frac{\text{periode}}{4}$ .
3.Vul de y-waarden in. Sinus: middellijn, maximum, middellijn, minimum, middellijn. Cosinus: maximum, middellijn, minimum, middellijn, maximum. Als $A < 0$ , wissel je maximum en minimum.
4.Maximum $= D + |A|$ , minimum $= D - |A|$ , waarde op de middellijn $= D$ .

Domein: alle reële getallen. Bereik:

[D - |A|,\ D + |A|]

Uitgewerkte voorbeelden

Bepaal voor

y = 3\sin(2(x - \frac{\pi}{6})) - 1

de amplitude, de periode, de faseverschuiving, de middellijn en het bereik.

Vergelijken met de algemene vorm

Vergelijk met

y = A\sin(B(x - C)) + D

→

A = 3,\ B = 2,\ C = \frac{\pi}{6},\ D = -1

Amplitude en periode

Amplitude

= |3| = 3

, periode

= \frac{2\pi}{2} = \pi

→ Amplitude

3

, periode

\pi

Faseverschuiving en middellijn

C = \frac{\pi}{6} > 0

, dus verschuiving naar rechts;

D = -1

→

\frac{\pi}{6}

naar rechts, middellijn

y = -1

Bereik

[D - |A|,\ D + |A|] = [-1 - 3,\ -1 + 3]

→

[-4, 2]

Antwoord: Amplitude $3$ , periode $\pi$ , faseverschuiving $\frac{\pi}{6}$ naar rechts, middellijn $y = -1$ , bereik $[-4, 2]$ .

Veelgemaakte fouten

De faseverschuiving van $y = \sin(2x - \pi)$ aflezen als $\pi$

Waarom het fout is: De verschuiving is het getal dat van $x$ zelf wordt afgetrokken, niet van $2x$ . $B$ vermenigvuldigt alles tussen de haakjes en drukt dus ook de verschuiving samen.

Correct: Haal eerst $B$ buiten haakjes: $\sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$ , dus de verschuiving is $\frac{\pi}{2}$ naar rechts.

$y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ naar rechts verschuiven

Waarom het fout is: In de algemene vorm staat $x - C$ . Hier is $x + \frac{\pi}{3} = x - (-\frac{\pi}{3})$ , dus $C = -\frac{\pi}{3}$ is negatief.

Correct: Een plusteken binnen de haakjes betekent een verschuiving naar links: $\frac{\pi}{3}$ naar links.

De sleutelpunten bij $x = 0$ laten beginnen of stappen van een hele periode nemen

Waarom het fout is: Na een faseverschuiving begint de periode niet meer bij $0$ , en de vijf punten moeten ÉÉN periode in vier gelijke delen verdelen.

Correct: Begin bij $x = C$ en neem stappen van $\frac{\text{periode}}{4}$ . Bij periode $\pi$ is de stap $\frac{\pi}{4}$ .

De gewone volgorde van maximum en minimum houden als $A < 0$

Waarom het fout is: Een negatieve $A$ spiegelt de golf in de middellijn: elk maximum wordt een minimum en omgekeerd.

Correct: Voor $y = -2\sin(x)$ is het patroon middellijn, minimum, middellijn, maximum, middellijn. De amplitude blijft $2$ .

Waarom het belangrijk is

Bijna elk zich herhalend proces in natuur en techniek wordt beschreven met een getransformeerde sinus of cosinus, en de vier parameters hebben altijd een concrete betekenis:

Reuzenrad: de straal is de amplitude, de hoogte van het middelpunt is de middellijn (evenwichtslijn), één rondje is de periode
Getijden: de waterdiepte stijgt en daalt ongeveer elke 12 uur rond een gemiddelde diepte
Daglicht: de daglengte schommelt rond 12 uur met een periode van 365 dagen
Geluid en stroom: de amplitude is het volume of de spanning, de periode bepaalt de toonhoogte of de frequentie

Als je een vergelijking in een minuut kunt omzetten in een schets, lees je de hoogste en laagste waarden en de momenten waarop ze voorkomen direct uit de formule af. Dat is precies wat ingenieurs, oceanografen en klimaatwetenschappers met deze modellen doen.

Toepassingen in de echte wereld

Hoogte in een reuzenrad

De hoogte van een bakje in een draaiend reuzenrad is een getransformeerde cosinus: het middelpunt van het rad geeft de middellijn en de straal geeft de amplitude.

Voorbeeld:

Een rad met straal 20 m, waarvan het middelpunt 22 m boven de grond ligt, draait elke 30 minuten één keer rond. Een bakje dat onderaan begint, zit na $t$ minuten op hoogte $h(t) = -20\cos(\frac{\pi}{15}t) + 22$ meter, en de periode is $\frac{2\pi}{\pi/15} = 30$ .

1Probeer het zelf

De hoogte van het bakje is $h(t) = -20\cos(\frac{\pi}{15}t) + 22$ meter, met $t$ in minuten.

Hoe hoog boven de grond is het bakje op zijn hoogste punt (in meter)?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Hoogste punt = middellijn + amplitude:

Getijden in een haven

Havenmeesters voorspellen de waterdiepte met een sinusmodel met een periode van ongeveer 12 uur, zodat schepen weten wanneer ze kunnen binnenvaren.

Voorbeeld:

De diepte $d(t) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{6}(t - 3)) + 4$ meter, $t$ uur na middernacht, heeft middellijn 4 m, amplitude 1,5 m en periode $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ uur. De diepte schommelt tussen 2,5 m en 5,5 m.

2Probeer het zelf

Een groot schip heeft hoogwater nodig. De diepte is $d(t) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{6}(t - 3)) + 4$ meter, $t$ uur na middernacht.

Op welk tijdstip $t$ (in uren na middernacht) is het eerste hoogwater na $t = 3$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Begin van de periode plus een kwart periode:

Uren daglicht

Het aantal uren daglicht volgt over het jaar een sinusgolf met een periode van 365 dagen. De middellijn ligt op 12 uur, de daglengte bij de equinoxen.

Voorbeeld:

In een stad in Noord-Europa geldt $L(t) = 4\sin(\frac{2\pi}{365}(t - 80)) + 12$ uur, waarbij $t$ de dag van het jaar is. Dag 80 (rond 21 maart) is de lente-equinox, en de daglengte schommelt tussen 8 en 16 uur.

3Probeer het zelf

De daglengte is $L(t) = 4\sin(\frac{2\pi}{365}(t - 80)) + 12$ uur, waarbij $t$ de dag van het jaar is.

Op welke dag van het jaar is het daglicht het langst? Rond af op een hele dag.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Begin van de periode plus een kwart periode, afgerond:

Belangrijke punten

1In $y = A\sin(B(x - C)) + D$ is $|A|$ de amplitude, $\frac{2\pi}{B}$ de periode, $C$ de faseverschuiving en $y = D$ de middellijn
2Eerst vermenigvuldigen, dan verschuiven: binnen de haakjes $B$ vóór $C$ , buiten de haakjes $A$ vóór $D$
3Haal $B$ altijd buiten haakjes voordat je de faseverschuiving afleest: $\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$
4 $x - C$ verschuift $C$ naar rechts, $x + C$ verschuift $C$ naar links
5Vijf sleutelpunten: begin bij $x = C$ , stap $= \frac{\text{periode}}{4}$ . Sinus: middellijn, maximum, middellijn, minimum, middellijn; cosinus: maximum, middellijn, minimum, middellijn, maximum; $A < 0$ wisselt maximum en minimum
6Het domein is alle reële getallen en het bereik is $[D - |A|,\ D + |A|]$

Veelgestelde vragen

Waarom is de faseverschuiving van $\sin(2x - \pi)$ niet $\pi$ ?

Omdat

B = 2

alles tussen de haakjes vermenigvuldigt. Haal hem buiten haakjes:

\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))

. De periode begint waar het deel tussen haakjes

0

is, bij

x = \frac{\pi}{2}

, dus de verschuiving is

\frac{\pi}{2}

Maakt de volgorde van de transformaties echt uit?

Ja, bij een verschuiving en een vermenigvuldiging in dezelfde richting. Als je

\sin(x)

\frac{\pi}{2}

naar rechts verschuift en DAARNA met factor

2

samendrukt, krijg je

\sin(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))

, een verschuiving van maar

\frac{\pi}{4}

. Horizontale en verticale veranderingen beïnvloeden elkaar niet, dus die twee groepen mag je in willekeurige volgorde doen.

Werken de sleutelpunten bij de cosinus op dezelfde manier?

Ja. Begin bij

x = C

en neem stappen van

\frac{\text{periode}}{4}

, net als bij de sinus. Alleen het patroon van de y-waarden verandert: de cosinus gaat maximum, middellijn, minimum, middellijn, maximum (of omgekeerd als

A < 0

En als $B$ negatief is?

Herschrijf de functie eerst. De sinus is oneven,

\sin(-\theta) = -\sin(\theta)

, dus

\sin(-2x) = -\sin(2x)

. De cosinus is even,

\cos(-\theta) = \cos(\theta)

, dus

\cos(-2x) = \cos(2x)

. Daarna is

B > 0

en werkt de methode zoals altijd.

Woordenlijst

Amplitude: Afstand van de middellijn tot een maximum of minimum: $|A|$
Periode: Horizontale lengte van één volledige golf: $\frac{2\pi}{B}$
Faseverschuiving: Horizontale verschuiving van de grafiek: $C$ in $x - C$ (naar rechts als hij positief is, naar links als hij negatief is)
Middellijn: De horizontale lijn $y = D$ precies tussen maximum en minimum (ook evenwichtslijn genoemd)
Sleutelpunten: De vijf punten die één periode in vier gelijke stappen verdelen: begin, kwart, helft, driekwart, eind
Spiegeling: Het omklappen van de golf in de middellijn, veroorzaakt door een negatieve $A$

Formulekaart

Algemene vorm

y = A\sin(B(x - C)) + D

Dezelfde letters voor de cosinus: $y = A\cos(B(x - C)) + D$

Amplitude

|A|

Verticale vermenigvuldiging; $A < 0$ spiegelt de golf ook

Periode

\frac{2\pi}{B}

Lengte van één golf

Faseverschuiving en middellijn

C

y = D

Naar rechts als $C > 0$, naar links als $C < 0$; omhoog als $D > 0$, omlaag als $D < 0$

Stap tussen de sleutelpunten

\frac{\text{periode}}{4}

Begin bij $x = C$ en tel de stap vier keer op

Bereik

[D - |A|,\ D + |A|]

Van het minimum tot het maximum

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Transformaties van goniometrische grafieken

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Volgorde: eerst vermenigvuldigen, dan verschuiven

De methode van de vijf sleutelpunten

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Hoogte in een reuzenrad

Getijden in een haven

Uren daglicht

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Algemene vorm

Amplitude

Periode

Faseverschuiving en middellijn

Stap tussen de sleutelpunten

Bereik

Meer over dit onderwerp

De sinusfunctie grafisch weergeven

Grafische weergave van de cotangens

De cosinusfunctie tekenen

Amplitude en periode