Transformaties van goniometrische grafieken

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Wat is de amplitude van $y = -4\sin(2x) + 1$ ?
1. a) $5$
2. b) $-4$
3. c) $2$
4. d) $4$
Antwoord: $4$
$A = -4$ , dus de amplitude is $|-4| = 4$ . Het minteken spiegelt de golf alleen in de middellijn.
2.
Wat is de periode van $y = 3\cos(4x) - 2$ ? (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld 3pi/4.)
Antwoord: pi/2
$B = 4$ , dus de periode is $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ . $A = 3$ en $D = -2$ veranderen de periode niet.
3.
Hoe is de grafiek van $y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ verschoven ten opzichte van $y = \cos(x)$ ?
1. a) $\frac{\pi}{3}$ omlaag
2. b) $\frac{\pi}{3}$ naar rechts
3. c) $\frac{\pi}{3}$ naar links
4. d) $\frac{\pi}{3}$ omhoog
Antwoord: $\frac{\pi}{3}$ naar links
$x + \frac{\pi}{3} = x - (-\frac{\pi}{3})$ , dus $C = -\frac{\pi}{3}$ : de grafiek schuift $\frac{\pi}{3}$ naar links. Een verschuiving binnen de haakjes is nooit verticaal.
4.
De middellijn van $y = 2\sin(x - \pi) + 5$ is de lijn $y = D$ . Wat is $D$ ?
Antwoord: 5
De verticale verschuiving is $D = 5$ , dus de middellijn is $y = 5$ en de golf loopt tussen $5 - 2 = 3$ en $5 + 2 = 7$ .
5.
Bepaal het maximum en het minimum van $y = 3\sin(x) + 2$ .
Antwoord: 5, -1
1. Wat is de amplitude $|A|$ ? 3
2. Wat is de waarde van de middellijn $D$ ? 2
3. Wat is het maximum $D + |A|$ ? 5
4. Wat is het minimum $D - |A|$ ? -1
6.
Bepaal voor $y = \sin(4x)$ de periode, de stap tussen de sleutelpunten en de x-waarde van het eerste maximum na $x = 0$ . (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld 3pi/4.)
Antwoord: pi/8
1. Wat is de periode $\frac{2\pi}{B}$ ? pi/2
2. Wat is de stap $\frac{\text{periode}}{4}$ ? pi/8
3. Bij welke x ligt het eerste maximum? pi/8
7.
Wat is de faseverschuiving van $y = \sin(2x - \frac{\pi}{2})$ ?
1. a) $\frac{\pi}{4}$ naar links
2. b) $\frac{\pi}{4}$ naar rechts
3. c) $\frac{\pi}{2}$ naar rechts
4. d) $\pi$ naar rechts
Antwoord: $\frac{\pi}{4}$ naar rechts
$2x - \frac{\pi}{2} = 2(x - \frac{\pi}{4})$ , dus $C = \frac{\pi}{4}$ : een verschuiving van $\frac{\pi}{4}$ naar rechts, niet van $\frac{\pi}{2}$ .
8.
Bepaal voor $y = -2\cos(x) + 3$ de amplitude, het maximum, het minimum en de y-waarde bij $x = 0$ .
Antwoord: 1
1. Wat is de amplitude? 2
2. Wat is het maximum $D + |A|$ ? 5
3. Wat is het minimum $D - |A|$ ? 1
4. Wat is $y$ bij $x = 0$ ? 1
9.
De sleutelpunten van $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{6}))$ beginnen bij $x = \frac{\pi}{6}$ . Wat is de x-waarde van het maximum (het tweede sleutelpunt)? (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld 3pi/4.)
Antwoord: 5pi/12
Periode $\frac{2\pi}{2} = \pi$ , stap $\frac{\pi}{4}$ . Maximum bij $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$ .
10.
Gebruik de sleutelpunten van $y = 3\sin(x - \frac{\pi}{2}) - 1$ om het eerste maximum en de kleinste waarde te vinden. (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld 3pi/4.)
Antwoord: -4
1. Waar begint de periode ( $x = C$ )? pi/2
2. Hoe groot is de stap (periode gedeeld door 4)? pi/2
3. Bij welke x ligt het eerste maximum? pi
4. Wat is de grootste waarde? 2
5. Wat is de kleinste waarde? -4
11.
Schrijf $y = \cos(3x + \pi)$ in de vorm $y = \cos(B(x - C))$ en bepaal de faseverschuiving en de periode. (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld -3pi/4.)
Antwoord: 2pi/3
1. Wat is $B$ ? 3
2. Wat is $C$ ? (een negatieve waarde betekent een verschuiving naar links) -pi/3
3. Wat is de periode? 2pi/3
12.
Welke vergelijking heeft amplitude $2$ , periode $\pi$ en middellijn $y = -1$ ?
1. a) $y = 2\sin(\frac{1}{2}x) - 1$
2. b) $y = 2\sin(\pi x) - 1$
3. c) $y = 2\sin(2x) - 1$
4. d) $y = -\sin(2x) + 2$
Antwoord: $y = 2\sin(2x) - 1$
$\frac{2\pi}{B} = \pi$ geeft $B = 2$ , met $A = 2$ en $D = -1$ : $y = 2\sin(2x) - 1$ . $\sin(\pi x)$ heeft periode $2$ en $\sin(\frac{1}{2}x)$ heeft periode $4\pi$ .
13.
Bepaal de y-waarden van de sleutelpunten van $y = -2\sin(x) + 1$ bij $x = 0$ , $\frac{\pi}{2}$ , $\pi$ en $\frac{3\pi}{2}$ .
Antwoord: 3
1. Wat is $y$ bij $x = 0$ ? 1
2. Wat is $y$ bij $x = \frac{\pi}{2}$ ? -1
3. Wat is $y$ bij $x = \pi$ ? 1
4. Wat is $y$ bij $x = \frac{3\pi}{2}$ ? 3
14.
Teken $y = 4\cos(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2})) - 1$ met sleutelpunten: bepaal de periode, de stap, de x-waarde van het minimum en de kleinste waarde. (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld 3pi/4.)
Antwoord: -5
1. Wat is de periode? 4pi
2. Hoe groot is de stap? pi
3. De periode begint bij $x = \frac{\pi}{2}$ . Bij welke x ligt het minimum (twee stappen later)? 5pi/2
4. Wat is de kleinste waarde? -5
15.
Bepaal voor $y = 3\sin(2x + \frac{\pi}{3}) + 1$ waar de periode begint, de stap en het eerste maximum. (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld -3pi/4.)
Antwoord: 4
1. Bij welke x begint de periode ( $C$ )? -pi/6
2. Hoe groot is de stap? pi/4
3. Bij welke x ligt het eerste maximum? pi/12
4. Wat is de grootste waarde? 4
16.
Wat is bij $y = -3\sin(\frac{\pi}{4}(x - 1)) + 2$ de x-waarde van het eerste minimum rechts van $x = 1$ ?
Antwoord: 3
Periode $8$ , stap $2$ , begin $x = 1$ . De sinus is gespiegeld ( $A = -3$ ), dus het patroon is middellijn, minimum, ...: het eerste minimum ligt bij $x = 1 + 2 = 3$ , waar $y = -3\sin(\frac{\pi}{2}) + 2 = -1$ .
17.
De grafiek van $y = \sin(x)$ wordt eerst $\frac{\pi}{2}$ naar rechts verschoven en DAARNA horizontaal met factor $2$ samengedrukt. Welke vergelijking ontstaat?
1. a) $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$
2. b) $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))$
3. c) $y = \sin(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2}))$
4. d) $y = \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2})$
Antwoord: $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))$
Na de verschuiving: $\sin(x - \frac{\pi}{2})$ . Samendrukken vervangt $x$ door $2x$ : $\sin(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))$ . Het samendrukken halveert ook de verschuiving.
18.
Wat is de waarde van $y = 5\cos(2(x + \frac{\pi}{8})) - 2$ bij $x = \frac{\pi}{8}$ ?
Antwoord: -2
$x = \frac{\pi}{8} = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4}$ is het tweede sleutelpunt; bij de cosinus ligt dat op de middellijn, dus $y = D = -2$ . Direct: $5\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - 2 = 5\cos(\frac{\pi}{2}) - 2 = 0 - 2 = -2$ .