Docentenhandleiding: Goniometrische identiteiten bewijzen

Leer stap voor stap een goniometrische identiteit te bewijzen: aan één kant werken, omzetten naar sinus en cosinus, breuken samenvoegen, de geconjugeerde gebruiken en onjuiste beweringen met één hoek weerleggen.

Les presenteren Delen in Classroom Studentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Trigonometrische identiteiten. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

Het verschil tussen een identiteit en een vergelijking uitleggen
Een goniometrische identiteit bewijzen door één lid in het andere om te zetten
Een strategie kiezen: omzetten naar sinus en cosinus, breuken samenvoegen, ontbinden in factoren of vermenigvuldigen met de geconjugeerde
Een beweerde identiteit weerleggen met één tegenvoorbeeld
Een identiteit numeriek en grafisch controleren en uitleggen waarom dat geen bewijs is

Vereisten

• Reciproke identiteiten ( $\sec$ , $\csc$ , $\cot$ ) en quotiëntidentiteiten
• Pythagorische identiteiten, vooral $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
• Goniometrische uitdrukkingen vereenvoudigen
• Breuken optellen met een gemeenschappelijke noemer en het verschil van twee kwadraten $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Discussiestarters

1. Waarom is één tegenvoorbeeld genoeg om een bewering te weerleggen, terwijl duizend voorbeelden niet genoeg zijn om haar te bewijzen?
2. Waarom mogen we niet kruislings vermenigvuldigen bij het bewijzen van een identiteit?
3. Hoe bepaal je bij welk lid van een identiteit je begint?
4. Waar in de wiskunde heb je al eerder met een vorm van 1 vermenigvuldigd, zoals $\frac{1 + \cos x}{1 + \cos x}$ ?

Veelvoorkomende misvattingen

Een bewijs is klaar zodra beide leden bij één hoek hetzelfde getal geven

Herstel: Laat $\sin x + \cos x = 1$ zien: waar bij $0°$ en $90°$ , onwaar bij $45°$ . Teken daarna beide leden om te zien dat ze elkaar alleen in enkele punten snijden.

Een identiteit bewijzen werkt zoals een vergelijking oplossen (termen verplaatsen, kruislings vermenigvuldigen)

Herstel: Schrijf het bewijs als een verticale keten: linkerlid $=$ ... $=$ ... $=$ rechterlid. Elke regel moet op zichzelf gelijk zijn aan de regel erboven.

Er bestaat maar één goed bewijs

Herstel: Laat groepen dezelfde identiteit op verschillende manieren bewijzen (links of rechts beginnen, geconjugeerde of gemeenschappelijke noemer) en vergelijk.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Een kaart geven met alle reciproke, quotiënt- en Pythagorische identiteiten
• Beginnen met bewijzen van één stap zoals $\tan x \cos x = \sin x$
• De volgende stap eerst uit keuzemogelijkheden laten kiezen voordat leerlingen zelf bewijzen schrijven

Voor leerlingen op niveau:

• Identiteiten bewijzen die een gemeenschappelijke noemer en een Pythagorische identiteit nodig hebben
• De geconjugeerde gebruiken bij breuken zoals $\frac{\sin x}{1 - \cos x}$
• Onjuiste beweringen weerleggen met een tegenvoorbeeld

Voor gevorderde leerlingen:

• Identiteiten bewijzen die meerdere strategieën vragen, zoals $\frac{\cos x}{1 - \sin x} = \sec x + \tan x$
• Alle hoeken vinden waarvoor een bewezen identiteit niet gedefinieerd is
• Een eigen onjuiste identiteit bedenken die bij drie hoeken klopt en klasgenoten uitdagen haar te weerleggen

Standaarduitlijning

HSF-TF.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C.8)
De Pythagorische identiteit sin²(θ) + cos²(θ) = 1 bewijzen en gebruiken om sin(θ), cos(θ) of tan(θ) te vinden
HSA-SSE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.2)
De structuur van een uitdrukking gebruiken om manieren te vinden om haar te herschrijven

Lesbronnen

visualBewijs stap voor stap
Leerlingen kiezen de volgende stap van een bewijs en zien de regel erachter, met een live numerieke controle van beide leden
activityIdentiteit of niet?
In tweetallen tekenen leerlingen beide leden van verschillende beweringen en zoeken ze een tegenvoorbeeld voordat ze een bewijs proberen
worksheetBewijsstrategieën
Tien identiteiten gesorteerd op strategie: omzetten, samenvoegen, ontbinden, geconjugeerde

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een goniometrische identiteit is een gelijkheid die waar is voor elke hoek

x

waarvoor beide leden gedefinieerd zijn. Een gewone vergelijking zoals

\sin x = \frac{1}{2}

is alleen waar voor sommige hoeken, en die *los* je *op*. Een identiteit zoals

\tan x \cos x = \sin x

is waar voor alle toegestane hoeken, en die *bewijs* je.

Wat bewijzen betekent

Om een identiteit te bewijzen, begin je bij één lid en herschrijf je het, met één toegestane stap tegelijk, tot het er precies uitziet als het andere lid:

\underbrace{\tan x \cos x}_{\text{linkerlid}} = \frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x = \underbrace{\sin x}_{\text{rechterlid}}

De spelregels

Werk aan één lid (meestal het ingewikkeldste). Het andere lid blijft zoals het is.
Breng nooit termen naar de andere kant van het isgelijkteken en vermenigvuldig of deel nooit beide leden: dan neem je al aan dat de identiteit klopt.
Elke stap moet een bekende identiteit gebruiken (reciproke, quotiënt- of Pythagorische identiteit) of correcte algebra (gemeenschappelijke noemer, ontbinden in factoren, vereenvoudigen).

De gereedschapskist

1.Begin bij het ingewikkeldste lid.
2.Zet alles om naar $\sin$ en $\cos$ ( $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ , ...).
3.Voeg breuken samen met een gemeenschappelijke noemer.
4.Ontbind in factoren (gemeenschappelijke factoren, verschil van twee kwadraten).
5.Vermenigvuldig met de geconjugeerde, bijvoorbeeld $\frac{1 + \cos x}{1 + \cos x}$ , zodat $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ ontstaat.
6.Gebruik de Pythagorische identiteiten $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ , $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ , $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$ .

Weerleggen

Eén hoek waarvoor de twee leden verschillende waarden geven (een tegenvoorbeeld) is genoeg om te laten zien dat een bewering geen identiteit is. Een paar hoeken numeriek controleren is een goede test, maar vervangt nooit een bewijs.

Uitgewerkte voorbeelden

Bewijs dat

\tan x \cos x = \sin x

Kies het lid waaraan je werkt

Het linkerlid heeft twee functies, het rechterlid maar één. Begin links. →

\tan x \cos x

Gebruik de quotiëntidentiteit

Vervang

\tan x

door

\frac{\sin x}{\cos x}

→

\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x

Deel de gemeenschappelijke factor weg

\cos x

in teller en noemer valt weg (als

\cos x \neq 0

) →

\sin x

Vergelijk met het rechterlid

Het linkerlid ziet er nu precies uit als het rechterlid →

\sin x = \sin x

✓

Antwoord: $\tan x \cos x = \sin x$ is een identiteit voor elke $x$ met $\cos x \neq 0$ .

Veelgemaakte fouten

Aan beide leden werken zoals bij een vergelijking, bijvoorbeeld kruislings vermenigvuldigen in $\frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$ om $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ te krijgen

Waarom het fout is: Kruislings vermenigvuldigen, termen naar de andere kant brengen of beide leden delen gaan allemaal uit van de bewering dat de twee leden gelijk zijn, en dat is precies wat je wilt aantonen.

Correct: Herschrijf één lid tot het het andere lid wordt. Het isgelijkteken blijft tot het allerlaatst onaangeroerd.

Eén of twee hoeken controleren en de identiteit als bewezen beschouwen

Waarom het fout is: $\sin x + \cos x = 1$ klopt bij $0°$ en $90°$ , maar niet bij $45°$ . Een paar ware voorbeelden bewijzen nooit dat iets voor elke hoek geldt.

Correct: Gebruik getallen alleen om te testen of te weerleggen. Een bewijs vraagt algebra met identiteiten die voor alle $x$ gelden.

Een breuk splitsen bij de noemer: $\frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{\sin x}{1} - \frac{\sin x}{\cos x}$

Waarom het fout is: Een som in de teller mag je splitsen, $\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$ , maar een som in de noemer nooit. Bij $x = 60°$ is het linkerlid $1{,}732$ en het rechterlid $-0{,}866$ .

Correct: Om $1 - \cos x$ uit een noemer te krijgen, vermenigvuldig je teller en noemer met de geconjugeerde $1 + \cos x$ .

$(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos x$ of $1 + \cos^2 x$ schrijven

Waarom het fout is: Het product van geconjugeerden is een verschil van twee kwadraten: beide termen worden gekwadrateerd en het teken is min.

Correct: $(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos^2 x = \sin^2 x$

Waarom het belangrijk is

Identiteiten bewijzen traint de nuttigste vaardigheid uit de algebra: een uitdrukking in een slimmere vorm schrijven zonder de waarde te veranderen.

Analyse: integralen zoals $\int \sin^2 x\,dx$ of $\int \sec x\,dx$ zijn pas op te lossen nadat een identiteit ze herschreven heeft.
Natuurkunde en techniek: formules voor golven en signalen worden met identiteiten vereenvoudigd voordat er iets berekend wordt.
Computergraphics: draaiingen behouden lengtes omdat $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ .
Logisch denken: een bewijs is een keten van onderbouwde stappen, hetzelfde soort denken als bij programmeren en in elke latere wiskundecursus.
Antwoorden controleren: als je weet dat twee verschillend uitziende antwoorden dezelfde identiteit zijn, denk je niet ten onrechte dat een van beide fout is.

Toepassingen in de echte wereld

Hoe computeralgebra identiteiten test

Wiskundesoftware controleert of twee formules gelijk zijn door veel willekeurige hoeken in te vullen voordat ze een volledig symbolisch bewijs probeert. Geeft ook maar één hoek verschillende waarden, dan zijn de formules verschillend.

Voorbeeld:

Om $\sec x - \cos x$ en $\sin x \tan x$ te vergelijken, berekent een programma beide bij hoeken zoals $17°$ , $60°$ en $133°$ en vindt telkens dezelfde waarden.

1Probeer het zelf

Een programma test de identiteit $\sec x - \cos x = \sin x \tan x$ bij $x = 60°$ , waarbij $\cos 60° = \frac{1}{2}$ , $\sec 60° = 2$ , $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ en $\tan 60° = \sqrt{3}$ .

Welke waarde geven beide leden bij $x = 60°$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken het linkerlid $\sec 60° - \cos 60°$ :

Natuurkunde: een formule voor een helling vereenvoudigen

Natuurkundige formules komen vaak in een omslachtige vorm uit een berekening. Een identiteit maakt er een kortere vorm van, die sneller te berekenen en makkelijker te begrijpen is.

Voorbeeld:

Een kracht op een helling kwam uit als $F = \dfrac{G\sin\theta}{\tan\theta}$ . Omdat $\frac{\sin\theta}{\tan\theta} = \sin\theta \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cos\theta$ , is de formule gewoon $F = G\cos\theta$ .

2Probeer het zelf

Een kist met gewicht $G = 200$ N ligt op een helling met hoek $\theta = 60°$ . De kracht is $F = \dfrac{G\sin\theta}{\tan\theta} = G\cos\theta$ .

Hoe groot is de kracht $F$ in newton?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik de vereenvoudigde formule $F = G\cos\theta$ :

Computergraphics: draaiingen behouden lengtes

Games draaien punten met $x' = x\cos\theta - y\sin\theta$ en $y' = x\sin\theta + y\cos\theta$. Door $x'^2 + y'^2$ uit te werken en $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ te gebruiken, bewijs je dat $x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2$ voor elke hoek, dus objecten vervormen nooit.

Voorbeeld:

Het punt $(3, 4)$ blijft na een draaiing over $30°$ , $90°$ of $217°$ altijd op afstand 5 van de oorsprong.

3Probeer het zelf

Een game draait het punt $(3, 4)$ over een hoek $\theta$ om de oorsprong. De identiteit $x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2$ geldt voor elke $\theta$ .

Hoe ver ligt het gedraaide punt van de oorsprong?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik $\sqrt{x^2 + y^2}$ met het oorspronkelijke punt:

Belangrijke punten

1Een identiteit is waar voor elke toegestane hoek; een vergelijking alleen voor sommige hoeken
2Je bewijst een identiteit door één lid stap voor stap te herschrijven tot het gelijk is aan het andere lid
3Breng nooit termen over het isgelijkteken en voer nooit dezelfde bewerking op beide leden uit
4Begin bij het ingewikkeldste lid en zet alles om naar $\sin$ en $\cos$
5Voeg breuken samen, ontbind in factoren, vermenigvuldig met de geconjugeerde en gebruik $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
6Eén tegenvoorbeeld weerlegt een bewering; numerieke controles testen een identiteit maar bewijzen haar niet

Veelgestelde vragen

Waarom mag ik niet gewoon aan beide kanten hetzelfde doen?

Dezelfde bewerking op beide leden gaat ervan uit dat de leden gelijk zijn, en dat wil je juist bewijzen. Sommige van die bewerkingen (kwadrateren, vermenigvuldigen met een uitdrukking die 0 kan zijn) kunnen zelfs een onjuiste bewering waar maken. Door aan één lid te werken voorkom je dat.

Bij welk lid moet ik beginnen?

Meestal bij het ingewikkeldste: het lid met meer termen, breuken of functies zoals

\sec

\csc

\tan

\cot

. Vereenvoudigen is makkelijker dan complicaties verzinnen.

Wat doe ik als ik halverwege vastloop?

Probeer een ander gereedschap: omzetten naar

\sin

\cos

, breuken samenvoegen, ontbinden in factoren of vermenigvuldigen met een geconjugeerde. Je mag ook beide leden apart vereenvoudigen tot ze dezelfde uitdrukking bereiken, zolang elk lid op zichzelf herschreven wordt.

Is naar de grafiek kijken een bewijs?

Nee. Als de grafieken van beide leden overal samenvallen, is de identiteit zeer waarschijnlijk waar, en als ze niet samenvallen, is ze onjuist. Maar een plaatje toont alleen een beperkt venster, dus een bewijs heeft toch algebraïsche stappen nodig.

Woordenlijst

Identiteit: Een gelijkheid die waar is voor elke waarde van de variabele waarvoor beide leden gedefinieerd zijn, bijvoorbeeld $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
Linkerlid / rechterlid: De uitdrukkingen links en rechts van het isgelijkteken
Geconjugeerde: De geconjugeerde van $a - b$ is $a + b$ (en omgekeerd); hun product is $a^2 - b^2$
Gemeenschappelijke noemer: Een noemer die meerdere breuken delen, zodat je ze tot één breuk kunt samenvoegen
Tegenvoorbeeld: Eén waarde waarvoor een beweerde identiteit onjuist is; dat is genoeg om de bewering te weerleggen

Formulekaart

Reciproke identiteiten

\sec x = \frac{1}{\cos x},\ \csc x = \frac{1}{\sin x},\ \cot x = \frac{1}{\tan x}

Hiermee zet je secans, cosecans en cotangens om naar sinus en cosinus

Quotiëntidentiteiten

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x},\ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}

Maken van tangens en cotangens breuken van sinus en cosinus

Pythagorische identiteiten

\sin^2 x + \cos^2 x = 1,\ 1 + \tan^2 x = \sec^2 x,\ 1 + \cot^2 x = \csc^2 x

Vervangen een som of verschil van kwadraten door één term

Producten van geconjugeerden

(1 - \cos x)(1 + \cos x) = \sin^2 x,\ (1 - \sin x)(1 + \sin x) = \cos^2 x

De reden waarom vermenigvuldigen met de geconjugeerde werkt

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Goniometrische identiteiten bewijzen

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Wat bewijzen betekent

De spelregels

De gereedschapskist

Weerleggen

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Hoe computeralgebra identiteiten test

Natuurkunde: een formule voor een helling vereenvoudigen

Computergraphics: draaiingen behouden lengtes

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Reciproke identiteiten

Quotiëntidentiteiten

Pythagorische identiteiten

Producten van geconjugeerden

Meer over dit onderwerp

Reciproke identiteiten

Pythagorische identiteiten

Even en oneven goniometrische identiteiten

Cofunctie-identiteiten