Goniometrische identiteiten bewijzen

Antwoord: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ is de fundamentele Pythagorische identiteit en geldt voor elke $x$. De andere drie zijn vergelijkingen: $\sin x = \cos x$ geldt bij $45°$, $\sin x + \cos x = 1$ bij $0°$ en $90°$, $\tan x = 1$ bij $45°$, maar geen ervan geldt voor elke hoek.

Antwoord: 1

$(1 + 3) \cdot \frac{1}{4} = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$, precies het rechterlid. De controle klopt met het bewijs $(1 + \tan^2 x)\cos^2 x = \sec^2 x \cos^2 x = 1$.

Antwoord: $\tan 30° \cos 30° = \sin 30° = \frac{1}{2}$

1. Wat is het rechterlid $\sin 30°$? 1/2
2. Wat is het linkerlid $\tan 30° \cdot \cos 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$? 1/2
3. Wat is linkerlid min rechterlid? 0

Antwoord: Beide leden delen door $\cos x$

Beide leden delen door $\cos x$ behandelt de identiteit als een vergelijking die al klopt. De andere stappen veranderen maar één lid en behouden de waarde: een quotiëntidentiteit, vermenigvuldigen met een vorm van 1, een gemeenschappelijke factor wegdelen.

Antwoord: -2

Linkerlid: $\sin 180° = 0$. Rechterlid: $2\sin 90° = 2$. Het verschil $0 - 2 = -2$ is niet $0$, dus $x = 90°$ is een tegenvoorbeeld en de bewering is geen identiteit.

Antwoord: $\sin x \cot x = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x$

1. Schrijf $\cot x$ met sinus en cosinus. Welke uitdrukking is het? $\dfrac{\cos x}{\sin x}$
2. Het linkerlid is nu $\sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$. Wat blijft er over na het wegdelen? $\cos x$
3. Controle bij $x = 60°$: welke waarde moeten beide leden geven ($\cos 60°$)? 1/2

Antwoord: Teller en noemer vermenigvuldigen met $1 - \cos x$

Vermenigvuldigen met de geconjugeerde $\frac{1 - \cos x}{1 - \cos x}$ geeft $\frac{\sin x\,(1 - \cos x)}{1 - \cos^2 x} = \frac{\sin x\,(1 - \cos x)}{\sin^2 x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$. Kwadrateren of bij beide leden optellen breekt de regel van één lid.

Antwoord: 3/2

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2} = 1{,}5$. Het linkerlid geeft hetzelfde: $\sec 60° - \cos 60° = 2 - 0{,}5 = 1{,}5$.

Antwoord: $\cos x\,(\sec x - \cos x) = 1 - \cos^2 x = \sin^2 x$

1. Uitwerken geeft $\cos x \sec x - \cos^2 x$. Welk getal is $\cos x \sec x$? 1
2. Het linkerlid is dus $1 - \cos^2 x$. Aan welke uitdrukking is dit gelijk? $\sin^2 x$
3. Controle bij $x = 30°$: wat is $\sin^2 30°$? 1/4

Antwoord: $\dfrac{2}{1 - \cos^2 x} = \dfrac{2}{\sin^2 x} = 2\csc^2 x$

1. Met de gemeenschappelijke noemer is de teller $(1 + \cos x) + (1 - \cos x)$. Welk getal is dat? 2
2. Aan welke uitdrukking is de noemer $(1 - \cos x)(1 + \cos x)$ gelijk? $\sin^2 x$
3. Het linkerlid is dus $\frac{2}{\sin^2 x} = 2\csc^2 x$. Wat is de waarde bij $x = 30°$? 8

Antwoord: $45°$

Bij $0°$, $90°$ en $360°$ is de som precies 1. Bij $45°$ is ze $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1{,}414 \neq 1$, dus $45°$ is een tegenvoorbeeld.

Antwoord: 3

$\frac{1 - \sin^2 x}{1 - \cos^2 x} = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x$. Bij $30°$: $\cot 30° = \sqrt{3}$, dus $\cot^2 30° = 3$. Rechtstreeks: $\frac{1 - \frac{1}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{3/4}{1/4} = 3$.

Antwoord: $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x \cos x$

1. Bij $x = 45°$ is $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$. Wat is het linkerlid $(\sqrt{2})^2$? 2
2. Het rechterlid is 1. Wat is linkerlid min rechterlid bij $45°$? 1
3. Uitwerken geeft $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x\cos x$. Wat is $2\sin 45° \cos 45°$? 1

Antwoord: $2\tan x \sec x$

$\frac{(1 + \sin x) - (1 - \sin x)}{1 - \sin^2 x} = \frac{2\sin x}{\cos^2 x} = 2 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 2\tan x \sec x$. Controle bij $60°$: $\frac{1}{1 - 0{,}866} - \frac{1}{1{,}866} \approx 7{,}46 - 0{,}54 = 6{,}93$ en $2\tan 60° \sec 60° = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \approx 6{,}93$. De keuze $2\sec^2 x$ hoort bij de som van de twee breuken, niet bij het verschil.

Antwoord: 2

$\sec^2 x - \tan^2 x = 1$, dus het linkerlid is $\sec^2 x + \tan^2 x = (1 + \tan^2 x) + \tan^2 x = 1 + 2\tan^2 x$. Dus $A = 2$. Controle bij $45°$: $4 - 1 = 3 = 1 + 2 \cdot 1$.

Antwoord: $\dfrac{\cos x\,(1 - \sin x)}{1 - \sin^2 x} = \dfrac{\cos x\,(1 - \sin x)}{\cos^2 x} = \dfrac{1 - \sin x}{\cos x}$

1. Met welke vorm van 1 moet je het linkerlid vermenigvuldigen, zodat je de noemer met een Pythagorische identiteit kunt vereenvoudigen? $\dfrac{1 - \sin x}{1 - \sin x}$
2. Aan welke uitdrukking is de nieuwe noemer $(1 + \sin x)(1 - \sin x)$ gelijk? $\cos^2 x$
3. Het linkerlid is nu $\frac{\cos x\,(1 - \sin x)}{\cos^2 x}$. Wat krijg je na het wegdelen van één $\cos x$? $\dfrac{1 - \sin x}{\cos x}$
4. Controle bij $x = 0°$: welke waarde geven beide leden? 1

Antwoord: $\cot^2 x - \cos^2 x = \cos^2 x \cdot \dfrac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} = \cos^2 x \cdot \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x \cos^2 x$

1. Schrijf $\cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$ en haal in het linkerlid $\cos^2 x$ buiten haakjes. Welke uitdrukking krijg je? $\cos^2 x\left(\dfrac{1}{\sin^2 x} - 1\right)$
2. Met een gemeenschappelijke noemer is $\frac{1}{\sin^2 x} - 1 = \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x}$. Aan welke uitdrukking is de teller $1 - \sin^2 x$ gelijk? $\cos^2 x$
3. Het linkerlid is nu $\cos^2 x \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$. Welke uitdrukking is dat? $\cot^2 x \cos^2 x$
4. Controle bij $x = 45°$: welke waarde geven beide leden? 1/2

Antwoord: $(\sin^2 x - \cos^2 x) \cdot 1 = 1 - 2\cos^2 x$

1. Ontbind het linkerlid in factoren. Welke ontbinding is juist? $(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$
2. Welk getal is de tweede factor $\sin^2 x + \cos^2 x$? 1
3. Vervang $\sin^2 x$ door $1 - \cos^2 x$ in $\sin^2 x - \cos^2 x$. Je krijgt $1 + k\cos^2 x$. Wat is $k$? -2
4. Controle bij $x = 60°$: wat is $\sin^4 60° - \cos^4 60° = \frac{9}{16} - \frac{1}{16}$? 1/2