Terug naar les

Docentenhandleiding: Quotiëntidentiteiten

Leer waarom de tangens gelijk is aan sinus gedeeld door cosinus en de cotangens aan cosinus gedeeld door sinus, waar ze gedefinieerd zijn en hoe je ermee vereenvoudigt.

Les presenterenDelen in ClassroomStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Trigonometrische identiteiten. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen
  • tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} en cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} afleiden uit een rechthoekige driehoek en uit de eenheidscirkel
  • Aangeven waar tangens en cotangens niet gedefinieerd zijn en uitleggen waarom
  • tan⁡θ\tan\theta en cot⁡θ\cot\theta berekenen uit gegeven waarden van sin⁡θ\sin\theta en cos⁡θ\cos\theta, met de juiste tekens in elk kwadrant
  • Uitdrukkingen met tan⁡\tan, cot⁡\cot, sec⁡\sec en csc⁡\csc herschrijven in sinus en cosinus
  • Korte goniometrische uitdrukkingen vereenvoudigen met de quotiëntidentiteiten
Vereisten
  • • Sinus, cosinus en tangens in een rechthoekige driehoek (SOS-CAS-TOA)
  • • De eenheidscirkel: het punt (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) en de tekens in de vier kwadranten
  • • Reciproke identiteiten (csc⁡\csc, sec⁡\sec, cot⁡\cot)
  • • Pythagorische identiteiten, vooral sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
  • • Breuken delen en vereenvoudigen
Discussiestarters
  • 1. Waarom verdwijnt de schuine zijde als je sin⁡θ\sin\theta deelt door cos⁡θ\cos\theta?
  • 2. Wat vertelt tan⁡θ\tan\theta je op de eenheidscirkel over de straal naar het punt (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta)?
  • 3. Waarom heeft tan⁡θ\tan\theta geen waarde bij 90°90°, maar cot⁡90°\cot 90° wel?
  • 4. Als tan⁡θ\tan\theta negatief is, in welke kwadranten kan θ\theta dan liggen, en waarom?
  • 5. Waarom helpt het vaak om elke functie eerst in sinus en cosinus te herschrijven voordat je vereenvoudigt?
Veelvoorkomende misvattingen

Tangens en cotangens zijn losse functies die niets met sinus en cosinus te maken hebben

Herstel: Teken y=tan⁡xy = \tan x en y=sin⁡xcos⁡xy = \frac{\sin x}{\cos x} samen en zet ze om de beurt aan. Bereken daarna beide bij een paar hoeken met de rekenmachine, bijvoorbeeld bij 40°40°.

De identiteit geldt voor elke hoek, ook voor 90°90°

Herstel: Bereken samen sin⁡90°cos⁡90°=10\frac{\sin 90°}{\cos 90°} = \frac{1}{0} en koppel dat aan de verticale asymptoot van de tangensgrafiek. Benadruk de voorwaarden cos⁡θ≠0\cos\theta \neq 0 en sin⁡θ≠0\sin\theta \neq 0.

sin⁡acos⁡b\frac{\sin a}{\cos b} is een tangens voor willekeurige twee hoeken

Herstel: Laat leerlingen sin⁡40°cos⁡20°\frac{\sin 40°}{\cos 20°} berekenen en vergelijken met tan⁡20°\tan 20° en tan⁡40°\tan 40°; geen van beide klopt.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

  • • Begin met één 3-4-5-driehoek en bereken sin⁡\sin, cos⁡\cos, tan⁡\tan als verhoudingen van zijden voordat je de identiteit gebruikt
  • • Gebruik eerst alleen hoeken in het eerste kwadrant en positieve waarden
  • • Geef een kaart met beide quotiëntidentiteiten en de twee voorwaarden voor het domein

Voor leerlingen op niveau:

  • • tan⁡θ\tan\theta en cot⁡θ\cot\theta berekenen uit sin⁡θ\sin\theta en cos⁡θ\cos\theta in alle vier de kwadranten
  • • Producten van twee of drie factoren zoals cot⁡θsin⁡θsec⁡θ\cot\theta\sin\theta\sec\theta herschrijven en vereenvoudigen
  • • Elke vereenvoudiging bij één hoek met de rekenmachine controleren

Voor gevorderde leerlingen:

  • • sin⁡θ\sin\theta en cos⁡θ\cos\theta bepalen als alleen tan⁡θ\tan\theta en het kwadrant gegeven zijn
  • • Uitleggen waarom tan⁡θ\tan\theta de richtingscoëfficiënt van de straal is en daarmee de hoek van een lijn door de oorsprong bepalen
  • • Vooruitblik op analyse: de quotiëntregel toepassen op sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x} om de afgeleide van tan⁡x\tan x te vinden
Standaarduitlijning
  • HSF-TF.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C.8)

    De identiteit van Pythagoras bewijzen en gebruiken om sin, cos of tan te vinden uit een van de drie en het kwadrant van de hoek

  • HSF-TF.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.A.2)

    Uitleggen hoe de eenheidscirkel de goniometrische functies uitbreidt naar alle reële getallen

  • HSG-SRT.C.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.C.6)

    Begrijpen dat verhoudingen van zijden in een rechthoekige driehoek de goniometrische verhoudingen van scherpe hoeken bepalen

Lesbronnen
  • visualIdentiteiten stap voor stap bewijzen

    Zie hoe tan⁡θcos⁡θ\tan\theta\cos\theta, cot⁡θsin⁡θ\cot\theta\sin\theta en tan⁡θcot⁡θ\tan\theta\cot\theta veranderen in sin⁡θ\sin\theta, cos⁡θ\cos\theta en 11, met een live controle met getallen

  • visualTwee grafieken, één kromme

    Zet y=tan⁡xy = \tan x en y=sin⁡xcos⁡xy = \frac{\sin x}{\cos x} aan en uit en zie dat ze samenvallen, asymptoten inbegrepen

  • activityDriehoeken opmeten

    Leerlingen tekenen rechthoekige driehoeken, meten de zijden en controleren dat sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta} gelijk is aan overstaandaanliggend\frac{\text{overstaand}}{\text{aanliggend}}

  • worksheetHerschrijven in sinussen en cosinussen

    Tien korte uitdrukkingen om te herschrijven en te vereenvoudigen met de quotiënt- en reciproke identiteiten

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

De quotiëntidentiteiten schrijven tangens en cotangens als een quotiënt (een deling) van sinus en cosinus van dezelfde hoek:
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ(cos⁡θ≠0)\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \qquad (\cos\theta \neq 0)
cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ(sin⁡θ≠0)\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \qquad (\sin\theta \neq 0)

Waar ze vandaan komen: de rechthoekige driehoek

Voor een scherpe hoek θ\theta in een rechthoekige driehoek geldt sin⁡θ=overstaandschuin\sin\theta = \frac{\text{overstaand}}{\text{schuin}} en cos⁡θ=aanliggendschuin\cos\theta = \frac{\text{aanliggend}}{\text{schuin}}. Deel je ze door elkaar, dan valt de schuine zijde weg:
sin⁡θcos⁡θ=overstaand/schuinaanliggend/schuin=overstaandaanliggend=tan⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{overstaand}/\text{schuin}}{\text{aanliggend}/\text{schuin}} = \frac{\text{overstaand}}{\text{aanliggend}} = \tan\theta

Waar ze vandaan komen: de eenheidscirkel

De hoek θ\theta snijdt de eenheidscirkel in het punt P=(cos⁡θ,sin⁡θ)P = (\cos\theta, \sin\theta). De richtingscoëfficiënt van de straal OPOP is yx=sin⁡θcos⁡θ\frac{y}{x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, en die richtingscoëfficiënt is tan⁡θ\tan\theta. Dit werkt voor elke hoek, niet alleen voor scherpe hoeken, dus de tekens kloppen in alle vier de kwadranten.

Waar ze gedefinieerd zijn

  • tan⁡θ\tan\theta is niet gedefinieerd als cos⁡θ=0\cos\theta = 0: bij 90°90°, 270°270°, ... (dus θ=90°+k⋅180°\theta = 90° + k \cdot 180°).
  • cot⁡θ\cot\theta is niet gedefinieerd als sin⁡θ=0\sin\theta = 0: bij 0°0°, 180°180°, 360°360°, ... (dus θ=k⋅180°\theta = k \cdot 180°).

Verband met de reciproke identiteiten

Volgens de reciproke identiteiten is cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}. Als je sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta} omkeert, krijg je cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}, dus beide kijkwijzen kloppen met elkaar, en tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\tan\theta \cdot \cot\theta = 1 overal waar beide gedefinieerd zijn.

Uitgewerkte voorbeelden

Voor een hoek θ\theta weten we dat sin⁡θ=35\sin\theta = \frac{3}{5} en cos⁡θ=45\cos\theta = \frac{4}{5}. Bereken tan⁡θ\tan\theta en cot⁡θ\cot\theta.
1

Schrijf de quotiëntidentiteit voor de tangens op

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=3/54/5\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/5}{4/5} → De twee breuken delen
2

Deel (de vijfden vallen weg)

3/54/5=35⋅54=34\frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4} → tan⁡θ=34\tan\theta = \frac{3}{4}
3

Gebruik de quotiëntidentiteit voor de cotangens

cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=4/53/5=43\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3} → cot⁡θ=43\cot\theta = \frac{4}{3}
4

Controleer met de reciproke identiteit

tan⁡θ⋅cot⁡θ=34⋅43=1\tan\theta \cdot \cot\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1 → Klopt

Veelgemaakte fouten

tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\tan\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} schrijven

Waarom het fout is: De breuk staat op zijn kop: dat is de cotangens. Op de eenheidscirkel is de tangens de richtingscoëfficiënt yx\frac{y}{x}, en y=sin⁡θy = \sin\theta.

Correct: tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} (sinus boven, zoals yy gedeeld door xx) en cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Zeggen dat tan⁡90°=0\tan 90° = 0 of cot⁡0°=0\cot 0° = 0

Waarom het fout is: Bij 90°90° is de cosinus 00, en door 00 kun je niet delen. Bij 0°0° is de sinus 00, dus de cotangens heeft een noemer nul.

Correct: tan⁡90°=10\tan 90° = \frac{1}{0} is niet gedefinieerd, en cot⁡0°=10\cot 0° = \frac{1}{0} is niet gedefinieerd. De grafiek van tan⁡\tan heeft daar verticale asymptoten.

Twee hoeken door elkaar halen: sin⁡40°cos⁡20°=tan⁡20°\frac{\sin 40°}{\cos 20°} = \tan 20° of tan⁡40°\tan 40°

Waarom het fout is: De identiteit werkt alleen als sinus en cosinus dezelfde hoek hebben.

Correct: sin⁡40°cos⁡40°=tan⁡40°\frac{\sin 40°}{\cos 40°} = \tan 40°, maar sin⁡40°cos⁡20°≈0,684\frac{\sin 40°}{\cos 20°} \approx 0{,}684 is noch tan⁡20°≈0,364\tan 20° \approx 0{,}364 noch tan⁡40°≈0,839\tan 40° \approx 0{,}839.

Het teken kwijtraken in kwadrant II, III en IV

Waarom het fout is: Vaak wordt de positieve wortel genomen voor cos⁡θ\cos\theta of sin⁡θ\sin\theta, en dan krijg je overal tan⁡θ>0\tan\theta > 0.

Correct: Haal eerst de tekens uit het kwadrant: in kwadrant II is sin⁡>0\sin > 0 en cos⁡<0\cos < 0, dus tan⁡θ<0\tan\theta < 0; in kwadrant III zijn ze allebei negatief, dus tan⁡θ>0\tan\theta > 0.

Waarom het belangrijk is

De quotiëntidentiteiten zijn de brug waarmee je elke goniometrische uitdrukking omzet in sinussen en cosinussen:
  • Vereenvoudigen: tan⁡\tan en cot⁡\cot schrijven als breuken van sin⁡\sin en cos⁡\cos is de eerste stap van bijna elke vereenvoudiging en elk bewijs dat verderop in dit onderwerp komt
  • Exacte waarden: als je sin⁡θ\sin\theta en cos⁡θ\cos\theta kent (van de eenheidscirkel of uit een driehoek), krijg je tan⁡θ\tan\theta en cot⁡θ\cot\theta met één deling
  • Hellingen en hoeken: de helling van een lijn, een weg of een oprit is de tangens van de hellingshoek
  • Natuurkunde: een voorwerp op een hellend vlak begint te glijden als de wrijvingscoëfficiënt kleiner is dan tan⁡θ\tan\theta, en schaduwlengtes gebruiken cot⁡θ\cot\theta
  • Analyse: de afgeleide van tan⁡x\tan x vind je door hem te schrijven als sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x} en de quotiëntregel te gebruiken

Toepassingen in de echte wereld

Skipistes en hellingen van wegen

De helling van een berg (hoogteverschil gedeeld door horizontale afstand) is de tangens van de hellingshoek. Een sensor in je telefoon meet sinus en cosinus van de kanteling, en de app deelt ze.

Voorbeeld:

Een helling met sin⁡θ=0,6\sin\theta = 0{,}6 en cos⁡θ=0,8\cos\theta = 0{,}8 heeft tan⁡θ=0,75\tan\theta = 0{,}75: hij daalt 7575 m per 100100 m horizontale afstand.

1Probeer het zelf

Een hellingsensor op een skipiste meet sin⁡θ=0,6\sin\theta = 0{,}6 en cos⁡θ=0,8\cos\theta = 0{,}8. De afdaling beslaat 200200 m horizontale afstand.

Hoeveel meter hoogteverschil heeft de afdaling?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Hoogteverschil = tan⁡θ×\tan\theta \times horizontale afstand:

Wrijving op een helling

Een kist op een helling blijft liggen zolang de wrijvingscoëfficiënt $\mu$ minstens $\tan\theta$ is. Ingenieurs bepalen hiermee hoe steil transportbanden en laadhellingen mogen zijn.

Voorbeeld:

Op een helling met tan⁡θ=0,5\tan\theta = 0{,}5 blijft een kist met μ=0,6\mu = 0{,}6 liggen, maar een kist met μ=0,4\mu = 0{,}4 glijdt weg.

2Probeer het zelf

Een laadhelling heeft sin⁡θ=941\sin\theta = \frac{9}{41} en cos⁡θ=4041\cos\theta = \frac{40}{41}. Een plastic kist erop heeft wrijvingscoëfficiënt μ=0,2\mu = 0{,}2.

Wat is de kleinste wrijvingscoëfficiënt waarbij een kist op deze helling blijft liggen?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Kleinste μ\mu = tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}:

Schaduwlengtes

Als de zon onder een hoogtehoek $\theta$ staat, werpt een paal met hoogte $h$ een schaduw met lengte $h \cot\theta = h \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$. Architecten gebruiken dit om schaduw en zonlicht te plannen.

Voorbeeld:

Met de zon op 45°45° is cot⁡45°=1\cot 45° = 1, dus elk voorwerp werpt een schaduw die even lang is als het hoog is.

3Probeer het zelf

's Middags geldt voor de hoogtehoek van de zon sin⁡θ=0,96\sin\theta = 0{,}96 en cos⁡θ=0,28\cos\theta = 0{,}28. Een vlaggenmast is 1212 m hoog.

Hoe lang is de schaduw van de vlaggenmast, in meter?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schaduw = 12⋅cos⁡θsin⁡θ12 \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}:

Belangrijke punten

  • 1tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} en cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}, altijd voor dezelfde hoek θ\theta
  • 2In een rechthoekige driehoek valt de schuine zijde weg: sin⁡θcos⁡θ=overstaandaanliggend\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{overstaand}}{\text{aanliggend}}
  • 3Op de eenheidscirkel is tan⁡θ\tan\theta de richtingscoëfficiënt yx\frac{y}{x} van de straal naar (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta), dus het werkt in elk kwadrant
  • 4tan⁡θ\tan\theta is niet gedefinieerd waar cos⁡θ=0\cos\theta = 0 (90°90°, 270°270°, ...); cot⁡θ\cot\theta is niet gedefinieerd waar sin⁡θ=0\sin\theta = 0 (0°0°, 180°180°, ...)
  • 5tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\tan\theta \cdot \cot\theta = 1 overal waar beide gedefinieerd zijn
  • 6Om te vereenvoudigen herschrijf je eerst alles in sin⁡\sin en cos⁡\cos en deel je daarna gemeenschappelijke factoren weg

Veelgestelde vragen

Waarom heten ze quotiëntidentiteiten?

Een quotiënt is de uitkomst van een deling. Deze identiteiten schrijven tan⁡\tan en cot⁡\cot als de ene functie gedeeld door de andere: sin⁡θ÷cos⁡θ\sin\theta \div \cos\theta en cos⁡θ÷sin⁡θ\cos\theta \div \sin\theta.

Is cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} een quotiëntidentiteit of een reciproke identiteit?

Beide kijkwijzen komen op hetzelfde uit. De reciproke identiteit zegt cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}; vervang je tan⁡θ\tan\theta door sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta} en keer je de breuk om, dan krijg je de quotiëntvorm cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}. De quotiëntvorm werkt zelfs bij 90°90°, waar tan⁡\tan niet gedefinieerd is maar cot⁡90°=01=0\cot 90° = \frac{0}{1} = 0.

Waarom hebben y=tan⁡xy = \tan x en y=sin⁡xcos⁡xy = \frac{\sin x}{\cos x} dezelfde grafiek?

Omdat het dezelfde functie is. Allebei hebben ze verticale asymptoten waar cos⁡x=0\cos x = 0 (x=±90°,±270°,...x = \pm 90°, \pm 270°, ...) en nulpunten waar sin⁡x=0\sin x = 0. Zet de twee krommen in de grafiek hierboven aan en uit: ze liggen precies op elkaar.

Kan ik een quotiëntidentiteit controleren met de rekenmachine?

Ja. Typ in graden sin⁡(40)/cos⁡(40)\sin(40) / \cos(40) en tan⁡(40)\tan(40): allebei geven ongeveer 0,83910{,}8391. Een controle met getallen bij een paar hoeken is een goede test, maar alleen een algebraïsche redenering bewijst een identiteit voor alle hoeken.

Woordenlijst

Quotiënt
De uitkomst van een deling, bijvoorbeeld ab\frac{a}{b} is het quotiënt van aa en bb
Quotiëntidentiteiten
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} en cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}
Identiteit
Een gelijkheid die waar is voor elke waarde van de variabele waarvoor beide leden gedefinieerd zijn
Cotangens (cot⁡\cot)
De verhouding cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}, het omgekeerde van de tangens
Domein
De verzameling hoeken waarvoor een uitdrukking gedefinieerd is; voor tan⁡θ\tan\theta alle hoeken met cos⁡θ≠0\cos\theta \neq 0

Formulekaart

Tangens

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Gedefinieerd als $\cos\theta \neq 0$

Cotangens

cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Gedefinieerd als $\sin\theta \neq 0$

Product

tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\tan\theta \cdot \cot\theta = 1

Waar beide gedefinieerd zijn

Rechthoekige driehoek

tan⁡θ=overstaandaanliggend\tan\theta = \frac{\text{overstaand}}{\text{aanliggend}}

De schuine zijde valt weg in $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

Meer over dit onderwerp

Reciproke identiteiten

Gevorderd25 min

Pythagorische identiteiten

Gevorderd25 min

Even en oneven goniometrische identiteiten

Gevorderd25 min

Cofunctie-identiteiten

Gevorderd25 min