Reciproke identiteiten

Leer de reciproke goniometrische functies (cosecans, secans, cotangens) en hun relaties met sinus, cosinus en tangens.

Gevorderd25 minLes
Werkblad om te printen

Definitie

De reciproke identiteiten definiëren drie extra goniometrische functies in termen van sinus, cosinus en tangens.

De reciproke functies

csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}
cot⁡θ=1tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Waarom reciprook?

Een reciproke is datgene waarmee je een getal vermenigvuldigt om 1 te krijgen. De reciproke van xx is 1x\frac{1}{x}.
Aangezien sin⁡θ⋅csc⁡θ=1\sin\theta \cdot \csc\theta = 1, is de cosecans de reciproke van de sinus.

In een rechthoekige driehoek

Als sin⁡θ=overstaandeschuine\sin\theta = \frac{\text{overstaande}}{\text{schuine}}, dan:
csc⁡θ=schuineoverstaande\csc\theta = \frac{\text{schuine}}{\text{overstaande}}
Evenzo:
  • sec⁡θ=schuineaanliggende\sec\theta = \frac{\text{schuine}}{\text{aanliggende}}
  • cot⁡θ=aanliggendeoverstaande\cot\theta = \frac{\text{aanliggende}}{\text{overstaande}}

Probeer het meteen

Wat is de reciproke identiteit voor cosecans?

Uitgewerkte voorbeelden

Vind csc⁡30°\csc 30° en sec⁡60°\sec 60°
1

Herinner sin⁡30°\sin 30°

sin⁡30°=12\sin 30° = \frac{1}{2}
2

Pas de reciproke identiteit toe

csc⁡30°=1sin⁡30°=112\csc 30° = \frac{1}{\sin 30°} = \frac{1}{\frac{1}{2}} → csc⁡30°=2\csc 30° = 2
3

Herinner cos⁡60°\cos 60°

cos⁡60°=12\cos 60° = \frac{1}{2}
4

Pas de reciproke identiteit toe

sec⁡60°=1cos⁡60°=112\sec 60° = \frac{1}{\cos 60°} = \frac{1}{\frac{1}{2}} → sec⁡60°=2\sec 60° = 2

Veelgemaakte fouten

csc⁡θ\csc\theta verwarren met cos⁡θ\cos\theta

Waarom het fout is: De afkortingen lijken op elkaar, maar het zijn compleet verschillende functies. Cosecans is de reciproke van sinus, niet direct gerelateerd aan cosinus.

Correct: Onthoud: csc⁡\csc (co-secans) verwijst naar sin⁡\sin (zijn co-functie). Denk: csc = 1/sin

Denken dat cot⁡θ=1cos⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\cos\theta}

Waarom het fout is: Het voorvoegsel co betekent niet gerelateerd aan cosinus voor alle functies. Cotangens is specifiek de reciproke van tangens.

Correct: cot⁡θ=1tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Vergeten dat reciproke functies ongedefinieerd zijn wanneer hun tegenhangers nul zijn

Waarom het fout is: Delen door nul is ongedefinieerd. Wanneer sin⁡θ=0\sin\theta = 0, bestaat csc⁡θ\csc\theta niet.

Correct: csc⁡θ\csc\theta is ongedefinieerd bij θ=0°,180°,360°,...\theta = 0°, 180°, 360°, ... (waar sin⁡θ=0\sin\theta = 0)

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

-300-200-1000100200300-4-2024xyx = -360x = -180x = 0x = 180x = 360x = -270x = -90x = 90x = 270x = -270x = -90x = 90x = 270x = -360x = -180x = 0x = 180x = 360

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

  • sin(a) · csc(a) = 1
  • cos(a) · sec(a) = 1
  • tan(a) · cot(a) = 1
  • csc(a) = 2
  • sec(a) = 1,15
  • cot(a) = 1,73

Tik op een naam om de grafiek te tonen of te verbergen.

Asymptoot

Eenheidscirkel

Graden

0°

Radialen

0

sin(θ)

0

cos(θ)

1

tan(θ)

0

Coordinaten (cos, sin)

(1, 0)

Klik en sleep om de hoek rond de eenheidscirkel te draaien.

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

16 opgaven
Opgave 1 van 16
Makkelijk
Wat is de reciproke identiteit voor cosecans?

Waarom het belangrijk is

Reciproke identiteiten zijn essentieel voor:
  • Uitdrukkingen vereenvoudigen: Veel complexe goniometrische uitdrukkingen worden eenvoudiger wanneer herschreven met reciproken
  • Vergelijkingen oplossen: Sommige goniometrische vergelijkingen zijn makkelijker op te lossen in reciproke vorm
  • Analyse: De afgeleiden en integralen van reciproke functies komen vaak voor
  • Natuurkunde en techniek: Golfbeweging, oscillaties en signaalverwerking gebruiken deze functies
  • Identiteiten bewijzen: Het bewijzen van goniometrische identiteiten vereist vaak conversie tussen vormen

Toepassingen in de echte wereld

Elektrotechniek

Reciproke goniometrische functies verschijnen bij de analyse van wisselstroomcircuits, met name bij het berekenen van impedantie en fasehoeken in RLC-circuits.

Voorbeeld:

In circuitanalyse beschrijft de cotangensfunctie de faserelatie tussen spanning en stroom in bepaalde reactieve circuits.

Natuurkunde - Projectielbeweging

Bij het analyseren van het bereik en de baan van projectielen verschijnen secans en cosecans in formules met lanceerhoeken.

Voorbeeld:

De maximale hoogte van een projectiel kan csc⁡2θ\csc^2\theta bevatten bij het afleiden van bepaalde relaties.

Navigatie en landmeetkunde

Landmeters en navigatoren gebruiken reciproke functies bij het berekenen van afstanden en hoeken die indirect makkelijker te meten zijn.

Voorbeeld:

Bij het meten van de hoogte van een hoog gebouw kan csc⁡θ\csc\theta verschijnen bij het werken met de gemeten hoek vanaf een bekende afstand.

Belangrijke punten

  • 1csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} (cosecans is de reciproke van sinus)
  • 2sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} (secans is de reciproke van cosinus)
  • 3cot⁡θ=1tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} (cotangens is de reciproke van tangens)
  • 4Reciproke functies zijn ongedefinieerd wanneer hun tegenhangers nul zijn
  • 5Onthoud: sin-csc, cos-sec, tan-cot zijn reciproke paren

Veelgestelde vragen

Reciproke functies vereenvoudigen veel berekeningen. csc⁡θ\csc\theta schrijven is netter dan 1sin⁡θ\frac{1}{\sin\theta}, en veel formules worden eleganter. In analyse hebben de afgeleiden van deze functies verschillende patronen die de moeite waard zijn om te kennen.
Reciproke functies vereenvoudigen veel berekeningen. csc⁡θ\csc\theta schrijven is netter dan 1sin⁡θ\frac{1}{\sin\theta}, en veel formules worden eleganter. In analyse hebben de afgeleiden van deze functies verschillende patronen die de moeite waard zijn om te kennen.
Merk op dat functies zonder co gekoppeld zijn aan functies met co: sinus is gekoppeld aan co-secans, en co-sinus is gekoppeld aan secans. Tangens is gekoppeld aan co-tangens.
sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} is ongedefinieerd wanneer cos⁡θ=0\cos\theta = 0, wat voorkomt bij θ=90°,270°\theta = 90°, 270° (of π2,3π2\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} radialen).

Woordenlijst

Reciproke
De multiplicatieve inverse van een getal; voor xx is de reciproke 1x\frac{1}{x}
Cosecans (csc⁡\csc)
De reciproke van sinus: csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
Secans (sec⁡\sec)
De reciproke van cosinus: sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}
Cotangens (cot⁡\cot)
De reciproke van tangens: cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}
Identiteit
Een vergelijking die waar is voor alle geldige waarden van de variabele

Formulekaart

Cosecans

csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}

De reciproke van sinus

Secans

sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}

De reciproke van cosinus

Cotangens

cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

De reciproke van tangens

Cotangens (alt)

cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Uitgedrukt als verhouding

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Pythagorische identiteiten

Gevorderd25 min

Even en oneven goniometrische identiteiten

Gevorderd25 min

Cofunctie-identiteiten

Gevorderd25 min

Formules voor de dubbele hoek

Gevorderd30 min