Leitfaden für Lehrer: Teilbarkeit durch 4, 6 und 8

Prüfe jede ganze Zahl in Sekunden auf 4, 6 und 8: Lies die letzten zwei oder drei Ziffern oder kombiniere die Regeln für 2 und 3, und verstehe, warum das funktioniert.

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10 Fragen zu Teilbarkeit. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Mit den letzten zwei Ziffern und dem Zehnerziffer-Schnelltest prüfen, ob eine ganze Zahl durch 4 teilbar ist
Mit den letzten drei Ziffern prüfen, ob eine ganze Zahl durch 8 teilbar ist
Die Teilbarkeit durch 6 mit den Regeln für 2 und 3 prüfen und erklären, warum beide nötig sind
Die Regeln für 4 und 8 mit 100 = 4 · 25 und 1000 = 8 · 125 begründen
Die Regeln auf Schaltjahre und Verpackungsaufgaben mit Sechser- und Achtergruppen anwenden

Voraussetzungen

• Teilbarkeitsregeln: was teilbar und Rest bedeuten
• Teilbarkeit durch 2, 5 und 10: die Endziffernregeln
• Teilbarkeit durch 3 und 9: die Quersummenregel für 3
• Stellenwerte: Einer, Zehner, Hunderter, Tausender

Diskussionsstarter

1. Warum geht es bei der Regel für 4 um zwei Ziffern, bei der Regel für 8 um drei Ziffern, bei der Regel für 2 aber nur um eine Ziffer?
2. Wie könnte eine Regel für 16 aussehen? Wie viele Ziffern müsstest du prüfen?
3. Jedes Vielfache von 8 ist ein Vielfaches von 4. Warum gilt das Umgekehrte nicht?
4. Warum dürfen wir 6 mit den Regeln für 2 und 3 prüfen, aber 8 nicht mit den Regeln für 2 und 4?
5. Jemand ist am 29. Februar 2000 geboren. Wie oft hat diese Person einen echten Geburtstag?

Häufige Missverständnisse

Eine Zahl, die auf 4 oder 8 endet, ist immer durch 4 teilbar (wie 34 oder 38)

Abhilfe: Schreibt die Vielfachen von 4 bis 100 auf und schaut auf ihre Endungen: 04, 08, 12, 16, 20... Die Lernenden sehen, dass die letzte Ziffer allein nicht entscheidet, und entdecken dann das Muster der Zehnerziffer (gerade Zehner: 0, 4, 8; ungerade Zehner: 2, 6).

Teilbar durch 2 und durch 4 bedeutet teilbar durch 8, genau wie 2 und 3 die 6 ergeben

Abhilfe: Prüft 12, 20 und 28. Vergleicht dann die Faktoren: 2 und 3 haben keinen gemeinsamen Teiler, 2 und 4 haben die 2 gemeinsam. Führt das Wort teilerfremd ein.

Jedes durch 4 teilbare Jahr ist ein Schaltjahr

Abhilfe: Zeigt 1900 in einem alten Kalender: Der Februar hatte 28 Tage. Erklärt die 400er-Regel mit der mittleren Jahreslänge von 365,2425 Tagen.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Mit den Vielfachen von 4 bis 100 auf einer Hundertertafel beginnen und sie färben, um das Muster der letzten zwei Ziffern zu sehen
• Nur vierstellige Zahlen und jeweils eine Regel verwenden
• Jedes Ergebnis mit dem Taschenrechner prüfen lassen, damit Vertrauen in die Regeln entsteht

Für Schüler auf Niveau:

• Tests für 4, 6 und 8 in einer Aufgabenreihe mischen und die benutzte Regel nennen lassen
• Aufgaben mit fehlender Ziffer lösen, etwa die kleinste Ziffer, die 73_ durch 4 teilbar macht
• Die Schaltjahre in einem Jahrhundert zählen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Eine Regel für 16 finden und begründen (letzte vier Ziffern, denn 10.000 = 16 · 625)
• Den Halbierungstrick für 8 erklären und begründen, warum dreimal halbieren reicht
• Untersuchen, welche anderen Teiler sich durch zwei teilerfremde Regeln prüfen lassen

Standardausrichtung

4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)
Alle Faktorpaare einer ganzen Zahl finden. Erkennen, dass eine ganze Zahl ein Vielfaches jedes ihrer Faktoren ist.
4.NBT.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.4.NBT.B.6)
Ganzzahlige Quotienten und Reste mit Strategien auf Grundlage des Stellenwerts bestimmen.
6.NS.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.4)
Den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen bestimmen und das Distributivgesetz mit gemeinsamen Faktoren nutzen.

Lektionsressourcen

visualTeilbarkeits-Erklärer
Zeigt 45.136 = 45 · 1000 + 136 und markiert die Ziffern, die jede Regel für 2, 4 und 8 liest
gameRate 2, 3 und 6
Die Lernenden raten für jede Zahl ja oder nein bei 2, 3 und 6, decken dann die Regel auf und sammeln Punkte
activitySchaltjahr-Suche
Die Lernenden notieren die Geburtsjahre ihrer Familie und prüfen, welche davon Schaltjahre waren
worksheetVerpackungsaufgaben
Bestellungen von Eiern, Muffins und Flaschen, die in Schachteln zu 6 und Kisten zu 8 verpackt werden

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Eine Teilbarkeitsregel sagt dir, ob eine Zahl teilbar durch eine andere Zahl ist (Division mit Rest

0

), ohne dass du die ganze Division rechnest. In dieser Lektion lernst du die Regeln für

4

8

und

6

Teilbar durch 4: die letzten zwei Ziffern

Eine ganze Zahl ist durch

4

teilbar, wenn die Zahl aus ihren letzten zwei Ziffern durch

4

teilbar ist.

7316: \quad 16 = 4 \times 4 \;\Rightarrow\; 7316 \div 4 = 1829

Warum?

7316 = 73 \times 100 + 16

, und

100 = 4 \times 25

. Jede ganze Anzahl von Hundertern ist ein Vielfaches von

4

, also können nur die letzten zwei Ziffern einen Rest lassen.

Schnelltest mit der Zehnerziffer: Ist die Zehnerziffer gerade, muss die letzte Ziffer

0

4

oder

8

sein. Ist die Zehnerziffer ungerade, muss die letzte Ziffer

2

oder

6

sein.

Teilbar durch 8: die letzten drei Ziffern

Eine ganze Zahl ist durch

8

teilbar, wenn die Zahl aus ihren letzten drei Ziffern durch

8

teilbar ist, denn

1000 = 8 \times 125

45.136: \quad 136 = 8 \times 17 \;\Rightarrow\; 45.136 \div 8 = 5642

Teilbar durch 6: die Regeln für 2 und 3 zusammen

Eine ganze Zahl ist durch

6

teilbar, wenn sie durch

2

und durch

3

teilbar ist: Die letzte Ziffer ist gerade und die Quersumme ist durch

3

teilbar. Das funktioniert, weil

6 = 2 \times 3

und

2

und

3

teilerfremd sind.

5742: \quad \text{letzte Ziffer } 2 \text{ (gerade)}, \quad 5 + 7 + 4 + 2 = 18 = 3 \times 6 \;\Rightarrow\; 5742 \div 6 = 957

Eine Kette von Regeln

\text{teilbar durch } 8 \;\Rightarrow\; \text{teilbar durch } 4 \;\Rightarrow\; \text{teilbar durch } 2

Die Kette gilt nur in eine Richtung:

12

ist durch

4

teilbar, aber nicht durch

8

Lösungsbeispiele

Ist

7316

durch

4

teilbar?

Trenne die letzten zwei Ziffern ab

7316 = 73 \times 100 + 16

→ Letzte zwei Ziffern:

16

Überlege, warum die Hunderter egal sind

100 = 4 \times 25

, also ist

7300

ein Vielfaches von

4

→ Nur

16

entscheidet

Prüfe die letzten zwei Ziffern

16 = 4 \times 4

→

16

ist durch

4

teilbar

Schließe und prüfe nach

7316 \div 4 = 1829

→ Teilbar, Rest

0

Antwort: Ja. Die letzten zwei Ziffern bilden 16, und 16 ist durch 4 teilbar, also ist 7316 durch 4 teilbar (7316 : 4 = 1829).

Häufige Fehler

Für $4$ nur die letzte Ziffer prüfen: " $2134$ endet auf $4$ , also ist es durch $4$ teilbar"

Warum es falsch ist: Die Regel für $4$ liest die letzten zwei Ziffern, weil $10$ kein Vielfaches von $4$ ist. Hier ist $34 = 4 \times 8 + 2$ .

Richtig: Prüfe die letzten zwei Ziffern: $34$ lässt den Rest $2$ , also ist $2134$ nicht durch $4$ teilbar.

Für $8$ nur die letzten zwei Ziffern prüfen: " $3124$ endet auf $24 = 8 \times 3$ , also ist es durch $8$ teilbar"

Warum es falsch ist: $100$ ist kein Vielfaches von $8$ ( $100 = 8 \times 12 + 4$ ), also zählt die Hunderterziffer noch mit. Die Regel für $8$ braucht die letzten drei Ziffern.

Richtig: Prüfe $124$ : $124 = 8 \times 15 + 4$ . Also ist $3124$ nicht durch $8$ teilbar (Rest $4$ ).

Glauben, dass teilbar durch $2$ und durch $4$ auch teilbar durch $8$ bedeutet

Warum es falsch ist: $12$ ist durch $2$ und durch $4$ teilbar, aber $12 \div 8 = 1{,}5$ . Regeln kombinieren klappt nur, wenn die beiden Zahlen teilerfremd sind, wie $2$ und $3$ bei $6$ . $2$ und $4$ haben den gemeinsamen Teiler $2$ .

Richtig: Für $8$ benutzt du die eigene Regel (letzte drei Ziffern). Für $6$ darfst du $2$ und $3$ kombinieren.

Für $6$ nur einen Teil der Regel prüfen: " $27$ ist durch $3$ teilbar, also durch $6$ "

Warum es falsch ist: Für $6$ braucht man beide Tests. $27$ ist ungerade und fällt beim Test für $2$ durch. Genauso ist $26$ gerade, aber seine Quersumme $8$ fällt beim Test für $3$ durch.

Richtig: Eine Zahl ist nur dann durch $6$ teilbar, wenn sie gerade ist und ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist, zum Beispiel $5742$ .

Warum es wichtig ist

Diese drei Regeln brauchst du immer, wenn Dinge in Gruppen von 4, 6 oder 8 kommen:

Kalender: Ein Jahr ist ein Schaltjahr, wenn es durch $4$ teilbar ist, mit einer Sonderregel für volle Jahrhunderte wie $1900$ und $2000$
Verpacken: Eier und Getränke gibt es im Sechserpack, Buntstifte und Flaschen in Schachteln oder Kisten zu $8$ . Passen $1734$ Muffins genau in Schachteln zu $6$ ?
Computer: $1$ Byte sind $8$ Bit, und Speichergrößen sind Vielfache von $8$
Brüche: Wenn du in Zähler und Nenner einen Faktor $4$ , $6$ oder $8$ erkennst, kürzt du schnell, etwa $\frac{24}{32} = \frac{3}{4}$ nach dem Kürzen mit $8$
Kontrolle: Ein Blick auf die letzten Ziffern zeigt dir, ob eine Aufgabe wie $7316 \div 4$ glatt aufgeht, bevor du rechnest

Die Ideen hinter den Regeln (

100 = 4 \times 25

1000 = 8 \times 125

6 = 2 \times 3

) sind auch der erste Schritt zu den Regeln für 12, 15, 18 und mehr.

Anwendungen im echten Leben

Schaltjahre in einem Jahrhundert

Der Kalender fügt in jedem durch 4 teilbaren Jahr einen Tag (29. Februar) ein, lässt aber volle Jahrhunderte aus, die nicht durch 400 teilbar sind.

Beispiel:

$2024$ ist ein Schaltjahr ( $24 = 4 \times 6$ ), $2000$ war eines ( $2000 = 400 \times 5$ ), aber $1900$ nicht ( $1900 \div 400 = 4{,}75$ ).

1Probiere es selbst

Du zählst die Schaltjahre von 2001 bis 2100, einschließlich 2100.

Wie viele Schaltjahre gibt es in diesem Zeitraum?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Gib die Anzahl der Schaltjahre ein:

Verpacken im Sechserpack

Bäckereien, Eierhöfe und Getränkehersteller packen in Sechsern. Die Regeln für 2 und 3 verraten schon vor dem Zählen, ob nichts übrig bleibt.

Beispiel:

$4320$ Eier passen genau in Schachteln zu $6$ : $4320$ ist gerade und $4 + 3 + 2 + 0 = 9$ ist durch $3$ teilbar, also $4320 \div 6 = 720$ Schachteln.

2Probiere es selbst

Eine Bäckerei hat 1734 Muffins und packt sie in Schachteln zu 6.

Wie viele volle Schachteln kann sie füllen, ohne dass Muffins übrig bleiben?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Division, die die Anzahl der Schachteln ergibt:

Kisten zu acht

Flaschen und Dosen werden oft in Kisten zu 8 transportiert. Bei einer großen Bestellung entscheiden nur die letzten drei Ziffern, ob die Kisten genau aufgehen.

Beispiel:

$1560$ Bleistifte passen in Schachteln zu $8$ : Die letzten drei Ziffern $560 = 8 \times 70$ , also $1560 \div 8 = 195$ Schachteln.

3Probiere es selbst

Ein Lager erhält 23.512 Flaschen, die in Kisten zu 8 geladen werden.

Wie viele volle Kisten werden gefüllt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Division, die die Anzahl der Kisten ergibt:

Wichtige Erkenntnisse

1Teilbar durch $4$ : Die letzten zwei Ziffern bilden eine durch $4$ teilbare Zahl, denn $100 = 4 \times 25$
2Schnelltest für $4$ : Gerade Zehnerziffer braucht als letzte Ziffer $0$ , $4$ oder $8$ ; ungerade Zehnerziffer braucht $2$ oder $6$
3Teilbar durch $8$ : Die letzten drei Ziffern bilden eine durch $8$ teilbare Zahl, denn $1000 = 8 \times 125$
4Teilbar durch $6$ : gerade und Quersumme durch $3$ teilbar (beide Tests müssen klappen)
5Teilbar durch $8$ bedeutet teilbar durch $4$ , und das bedeutet teilbar durch $2$ , aber nicht umgekehrt ( $12$ )
6Schaltjahre: durch $4$ teilbar, volle Jahrhunderte aber nur, wenn sie durch $400$ teilbar sind ( $2000$ ja, $1900$ nein)

Häufig gestellte Fragen

Warum entscheiden die letzten zwei Ziffern über die Teilbarkeit durch 4?

Jede ganze Zahl besteht aus einer Anzahl Hunderter plus ihren letzten zwei Ziffern:

7316 = 73 \times 100 + 16

. Da

100 = 4 \times 25

, ist jede ganze Anzahl von Hundertern durch

4

teilbar. Der Rest der ganzen Zahl bei Division durch

4

ist deshalb derselbe wie der Rest der letzten zwei Ziffern. Dieselbe Idee mit

1000 = 8 \times 125

ergibt die Regel für

8

Wenn eine Zahl durch 4 teilbar ist, ist sie dann auch durch 8 teilbar?

Nicht immer.

12

20

und

28

sind durch

4

teilbar, aber nicht durch

8

. Die Kette gilt nur nach unten: Jedes Vielfache von

8

ist ein Vielfaches von

4

(weil

8 = 4 \times 2

), und jedes Vielfache von

4

ist gerade.

Kann ich andere Regeln so bauen wie 6 = 2 und 3?

Ja, aber nur mit teilerfremden Zahlen (kein gemeinsamer Teiler außer

1

6 = 2 \times 3

funktioniert, weil

2

und

3

teilerfremd sind.

8 = 2 \times 4

funktioniert nicht, weil

2

und

4

den Teiler

2

gemeinsam haben:

12

besteht beide Tests und ist trotzdem nicht durch

8

teilbar. Die Lektion Kombinierte Teilbarkeitsregeln zeigt das für

12

15

18

und

36

Warum müssen volle Jahrhunderte durch 400 teilbar sein, um Schaltjahre zu sein?

Ein Jahr dauert etwa

365{,}2422

Tage. Ein Schalttag alle

4

Jahre ergibt im Mittel

365{,}25

Tage, etwas zu lang. Lässt man alle

400

Jahre

3

Schalttage aus (

1700

1800

1900

, aber nicht

2000

), bleiben

97

Schaltjahre in

400

Jahren:

365 + \frac{97}{400} = 365{,}2425

Tage, sehr nah am echten Wert.

Glossar

Teilbarkeitsregel: Eine Abkürzung, die zeigt, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, ohne die ganze Division zu rechnen, zum Beispiel die letzten zwei Ziffern für $4$ .
Teilbar durch: Eine ganze Zahl ist durch $n$ teilbar, wenn die Division durch $n$ den Rest $0$ lässt: $7316$ ist durch $4$ teilbar.
Rest: Was übrig bleibt, wenn man so oft wie möglich ganz teilt: $34 : 4 = 8$ Rest $2$ .
Quersumme: Die Summe aller Ziffern einer Zahl: Die Quersumme von $5742$ ist $5 + 7 + 4 + 2 = 18$ .
Teilerfremd: Zwei ganze Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr einziger gemeinsamer Teiler $1$ ist, wie $2$ und $3$ . Dann bedeutet durch beide teilbar auch durch ihr Produkt teilbar.
Schaltjahr: Ein Jahr mit $366$ Tagen (mit 29. Februar): durch $4$ teilbar, ein volles Jahrhundert aber nur, wenn es durch $400$ teilbar ist.

Formelkarte

Teilbar durch 4

Letzte zwei Ziffern durch

4

teilbar

Prüfe die letzten zwei Ziffern, denn $100 = 4 \times 25$

Teilbar durch 8

Letzte drei Ziffern durch

8

teilbar

Prüfe die letzten drei Ziffern, denn $1000 = 8 \times 125$

Teilbar durch 6

Teilbar durch

2

und durch

3

Letzte Ziffer gerade und Quersumme durch 3 teilbar

Schaltjahr

Teilbar durch

4

; volle Jahrhunderte: durch

400

2024 und 2000 sind Schaltjahre, 1900 und 2100 nicht

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Leitfaden für Lehrer: Teilbarkeit durch 4, 6 und 8

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Teilbar durch 4: die letzten zwei Ziffern

Teilbar durch 8: die letzten drei Ziffern

Teilbar durch 6: die Regeln für 2 und 3 zusammen

Eine Kette von Regeln

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Schaltjahre in einem Jahrhundert

Verpacken im Sechserpack

Kisten zu acht

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Teilbar durch 4

Teilbar durch 8

Teilbar durch 6

Schaltjahr

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Teilbarkeitsregeln

Teilbarkeit durch 2, 5 und 10

Teilbarkeit durch 3 und 9

Kombinierte Teilbarkeitsregeln