Kreise in allgemeiner Form

Lerne die Umwandlung zwischen allgemeiner und Mittelpunktsform von Kreisgleichungen und bestimme Mittelpunkt und Radius.

Fortgeschritten25 MinLektion
Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Die allgemeine Form einer Kreisgleichung ist:
x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
wobei DD, EE und FF Konstanten sind.
Die Mittelpunktsform (Standardform) eines Kreises ist:
(x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
wobei (h,k)(h, k) der Mittelpunkt und rr der Radius ist.
Wichtige Beziehung:
  • Mittelpunkt: (−D2,−E2)\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)
  • Radius: r=D24+E24−Fr = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}
Um von der allgemeinen in die Mittelpunktsform umzuwandeln, verwende die quadratische Ergänzung für beide xx- und yy-Terme.

Probier es gleich aus

Welche Gleichung ist in allgemeiner Form?

Lösungsbeispiele

Wandle x2+y2−6x+4y−12=0x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 in die Mittelpunktsform um und finde Mittelpunkt und Radius.
1

Gruppiere xx- und yy-Terme

(x2−6x)+(y2+4y)=12(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12 → Konstante auf die rechte Seite
2

Quadratische Ergänzung für xx

Die Hälfte von −6-6 ist −3-3, und (−3)2=9(-3)^2 = 9 → Addiere 9 auf beiden Seiten
3

Quadratische Ergänzung für yy

Die Hälfte von 44 ist 22, und (2)2=4(2)^2 = 4 → Addiere 4 auf beiden Seiten
4

Schreibe als vollständige Quadrate

(x−3)2+(y+2)2=12+9+4(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 12 + 9 + 4 → (x−3)2+(y+2)2=25(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25
5

Bestimme Mittelpunkt und Radius

Mittelpunkt: (3,−2)(3, -2), Radius: 25=5\sqrt{25} = 5 → Kreis mit Mittelpunkt (3,−2)(3, -2) und Radius 55

Häufige Fehler

Vergessen, den ergänzten Wert auf BEIDE Seiten zu addieren

Warum es falsch ist: Bei der quadratischen Ergänzung addierst du auf der linken Seite. Um die Gleichung ausgeglichen zu halten, musst du denselben Wert auf der rechten Seite addieren.

Richtig: Wenn du 9 addierst, um (x−3)2(x-3)^2 links zu vervollständigen, addiere auch 9 auf der rechten Seite.

Falsche Vorzeichen für die Mittelpunktkoordinaten

Warum es falsch ist: Die Mittelpunktsform (x−h)2+(y−k)2=r2(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 hat SUBTRAKTION, also bedeutet (x+4)2(x+4)^2, dass h=−4h = -4, nicht 44.

Richtig: Wenn du (x+4)2(x + 4)^2 siehst, denke an (x−(−4))2(x - (-4))^2, also ist h=−4h = -4.

Vergessen, die Quadratwurzel zu ziehen, um den Radius zu finden

Warum es falsch ist: Die rechte Seite der Mittelpunktsform ist gleich r2r^2, nicht rr.

Richtig: Wenn (x−h)2+(y−k)2=25(x-h)^2 + (y-k)^2 = 25, dann ist r=25=5r = \sqrt{25} = 5, nicht r=25r = 25.

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

-10-50510-10-50510xyC(3 | -2)
  • h = −D/2 = 3
  • k = −E/2 = -2
  • r² = h² + k² − F = 25
  • r = 5
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
  • Mittelpunkt: (3 | -2)

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

-10-50510-10-50510xy

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

y = -2 + sqrt(25 - (x - 3)^2)

y = -2 - sqrt(25 - (x - 3)^2)

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

16 Aufgaben
Aufgabe 1 von 16
Einfach
Welche Gleichung ist in allgemeiner Form?

Warum es wichtig ist

Die allgemeine Form von Kreisen erscheint häufig in praktischen Anwendungen:
  • GPS und Navigation: Kreisgleichungen modellieren die Signalreichweite von Satelliten und Mobilfunkmasten
  • Ingenieurwesen: Das Design von kreisförmigen Bauteilen, Zahnrädern und Rädern erfordert die Umwandlung zwischen Formen
  • Physik: Wellenausbreitung und Interferenzmuster nutzen Kreisgleichungen
  • Computergrafik: Kollisionserkennung und Treffererkennung verwenden Kreisgleichungen in verschiedenen Formen
Das Beherrschen beider Formen ermöglicht es dir, nützliche Informationen (Mittelpunkt, Radius) aus jeder Kreisgleichung zu extrahieren.

Anwendungen im echten Leben

Mobilfunkmast-Abdeckung

Mobilfunkmasten senden Signale in kreisförmigen Mustern. Ingenieure nutzen Kreisgleichungen zur Bestimmung der Abdeckungsbereiche.

Beispiel:

Ein Mast an den Koordinaten (−2,3)(-2, 3) km hat eine Reichweite von 8 km. Seine Abdeckung wird modelliert durch (x+2)2+(y−3)2=64(x+2)^2 + (y-3)^2 = 64.

1Probiere es selbst

Die Abdeckung eines Mobilfunkmastes ist gegeben durch x2+y2+4x−6y−51=0x^2 + y^2 + 4x - 6y - 51 = 0 (Einheiten in km).

Finde den Standort des Mastes und seine maximale Reichweite.

Schritt 1: Wähle die richtige Antwort

Identifiziere zuerst DD, EE, FF, um Mittelpunkt und Radius zu finden:

Erdbebenerkennung

Seismographen erkennen Erdbebenwellen, die sich in kreisförmigen Mustern vom Epizentrum ausbreiten.

Beispiel:

Wenn drei Stationen Wellen zu verschiedenen Zeiten erkennen, lokalisiert die Schnittmenge ihrer Kreise das Epizentrum.

2Probiere es selbst

Seismische Daten ergeben die Gleichung x2+y2−10x+2y−23=0x^2 + y^2 - 10x + 2y - 23 = 0.

Wo ist das Epizentrum?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Finde den Mittelpunkt dieses Kreises:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Allgemeine Form: x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
  • 2Mittelpunktsform: (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 mit Mittelpunkt (h,k)(h, k) und Radius rr
  • 3Umwandlung durch quadratische Ergänzung: Hälfte des Koeffizienten, quadrieren, auf beiden Seiten addieren
  • 4Schnelle Formeln: Mittelpunkt =(−D/2,−E/2)= (-D/2, -E/2), Radius =D2/4+E2/4−F= \sqrt{D^2/4 + E^2/4 - F}
  • 5Immer prüfen: wenn D2/4+E2/4−F<0D^2/4 + E^2/4 - F < 0, existiert kein reeller Kreis

Häufig gestellte Fragen

Wenn D24+E24−F<0\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F < 0, wäre der Radius die Quadratwurzel einer negativen Zahl, was nicht reell ist. Das bedeutet, die Gleichung stellt keinen reellen Kreis dar (einen imaginären Kreis).
Wenn D24+E24−F<0\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F < 0, wäre der Radius die Quadratwurzel einer negativen Zahl, was nicht reell ist. Das bedeutet, die Gleichung stellt keinen reellen Kreis dar (einen imaginären Kreis).
Wenn D24+E24−F=0\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F = 0, ist der Radius null. Dies stellt einen einzelnen Punkt (einen entarteten Kreis) am Mittelpunkt (−D/2,−E/2)(-D/2, -E/2) dar.
Ja! Die quadratische Ergänzung ist wesentlich, um jeden Kegelschnitt (Kreise, Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln) von der allgemeinen in die Standardform umzuwandeln.

Glossar

Allgemeine Form
Die Gleichung x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0, bei der alle Terme expandiert sind
Mittelpunktsform
Die Gleichung (x−h)2+(y−k)2=r2(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2, die Mittelpunkt und Radius direkt zeigt
Quadratische Ergänzung
Eine Technik, um einen quadratischen Ausdruck als vollständiges Quadrat plus Konstante umzuschreiben
Entarteter Kreis
Ein Kreis mit Radius null, der einen einzelnen Punkt darstellt

Formelkarte

Allgemeine Form

x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

Expandierte Form einer Kreisgleichung

Mittelpunktsform

(x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Zeigt Mittelpunkt $(h, k)$ und Radius $r$ direkt

Mittelpunkt aus allgemeiner Form

(−D2,−E2)\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)

Finde Mittelpunkt ohne quadratische Ergänzung

Radius aus allgemeiner Form

r=D24+E24−Fr = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}

Finde Radius aus den Koeffizienten

Quadratische Ergänzung

x2+bx+(b2)2=(x+b2)2x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2

Schlüsseltechnik zur Umwandlung von Formen

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

Mehr zu diesem Thema

Einführung in Kegelschnitte

Fortgeschritten25 Min

Einführung in Ellipsen

Fortgeschritten25 Min

Parabeln in Scheitelpunktform

Fortgeschritten25 Min

Kreise in Normalform

Fortgeschritten25 Min