Leitfaden für Lehrer: Arten von Unstetigkeitsstellen

Lerne, hebbare Unstetigkeiten (Lücken), Sprungstellen und Polstellen zu unterscheiden, am Graphen und am Funktionsterm.

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10 Fragen zu Grenzwerte. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Hebbare Unstetigkeiten, Sprungstellen und Polstellen mit einseitigen und beidseitigen Grenzwerten definieren
Die Art einer Unstetigkeit am Graphen erkennen (Loch, Sprung zwischen Teilstücken, senkrechte Asymptote)
Die Unstetigkeitsstellen gebrochenrationaler Funktionen durch Faktorisieren und Kürzen bestimmen
Die Koordinaten einer Lücke bestimmen und $f(a)$ so festlegen, dass sie verschwindet
Die Sprunghöhe einer abschnittsweise definierten Funktion berechnen

Voraussetzungen

• Stetigkeit: die drei Bedingungen für Stetigkeit an einer Stelle
• Einseitige Grenzwerte: linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert
• Uneigentliche Grenzwerte: Grenzwerte $\infty$ oder $-\infty$ und senkrechte Asymptoten
• Grenzwerte durch direktes Einsetzen und Faktorisieren bei $\frac{0}{0}$
• Quadratische Terme faktorisieren

Diskussionsstarter

1. Warum ändert der Wert $f(a)$ nichts an der Art einer Unstetigkeit?
2. Eine Freundin sagt, jede Nennernullstelle ergibt eine senkrechte Asymptote. Wie würdest du sie vom Gegenteil überzeugen?
3. Wo im Alltag springen Preise oder Mengen plötzlich, statt sich gleichmäßig zu ändern?
4. Kann eine Funktion an derselben Stelle $x$ eine Sprungstelle und eine Lücke haben? Warum (nicht)?

Häufige Missverständnisse

Jede Nennernullstelle ist eine senkrechte Asymptote

Abhilfe: Zeichne $\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ und $\frac{1}{x - 2}$ nebeneinander. Lass beide faktorisieren und den Unterschied finden. Dann die Regel festhalten: erst kürzen, dann entscheiden.

Ein ausgefüllter Punkt bei $x = a$ bedeutet, dass die Funktion dort stetig ist

Abhilfe: Zeige das Sprungbeispiel $h(1) = 6$ : Der Punkt ist ausgefüllt, aber von links nähert sich der Graph $3$ . Stetigkeit verlangt, dass der Grenzwert existiert und gleich $f(a)$ ist, nicht nur einen definierten Wert.

Die Sprunghöhe ist der Unterschied zwischen $f(a)$ und einer Seite

Abhilfe: Definiere die Sprunghöhe nur über die beiden einseitigen Grenzwerte und lass sie für eine Funktion berechnen, bei der $f(a)$ nicht definiert ist.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Nur mit Graphen beginnen: Löcher einkreisen, Sprünge zwischen Teilstücken markieren, Asymptoten gestrichelt zeichnen
• Wertetabellen nahe $x = a$ nutzen: Pendeln sich die Werte ein, teilen sie sich auf oder wachsen sie über alle Grenzen?
• Ein Entscheidungsschema geben: Grenzwert existiert? Seiten gleich? Werte unbeschränkt?

Für Schüler auf Niveau:

• Unstetigkeitsstellen gebrochenrationaler Funktionen durch Faktorisieren einordnen
• Koordinaten von Lücken und Sprunghöhen bestimmen
• Eine abschnittsweise definierte Funktion mit vorgegebener Sprunghöhe aufstellen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Einen Parameter $k$ finden, der einen Sprung in einen stetigen Übergang verwandelt
• Oszillationsstellen wie bei $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ untersuchen
• Eine gebrochenrationale Funktion mit einer Lücke bei $(1, 2)$ und einer Asymptote bei $x = -3$ konstruieren

Standardausrichtung

HSF-IF.C.7d (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.D)
Gebrochenrationale Funktionen zeichnen, Nullstellen und Asymptoten mithilfe geeigneter Faktorisierungen bestimmen und das Verhalten im Unendlichen zeigen
HSF-IF.C.7b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.B)
Wurzelfunktionen und abschnittsweise definierte Funktionen zeichnen, auch Treppenfunktionen
HSA-APR.D.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.APR.D.6)
Einfache rationale Terme in verschiedene Formen umschreiben

Lektionsressourcen

visualDrei Graphen, drei Arten
Interaktive Graphen einer Lücke, einer Sprungstelle und einer Polstelle mit Wertetabellen nahe der Stelle
activitySortierkarten Unstetigkeit
Die Lernenden ordnen 12 Graphen und Terme den Arten hebbar, Sprung und Polstelle zu
worksheetLücke oder Polstelle?
Gebrochenrationale Funktionen faktorisieren, Lücken mit Koordinaten und senkrechte Asymptoten bestimmen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Eine Funktion

f

ist an der Stelle

x = a

stetig, wenn

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

gilt. Ist das nicht erfüllt, hat

f

bei

x = a

eine Unstetigkeitsstelle. Woran es scheitert, bestimmt die Art:

1. Hebbare Unstetigkeit (Lücke) Der Grenzwert existiert und ist eine endliche Zahl

L

, aber

f(a)

fehlt oder

f(a) \neq L

. Der Graph hat ein einzelnes Loch bei

(a, L)

. Du kannst es beheben, indem du

f(a) = L

festlegst.

2. Sprungstelle Beide einseitigen Grenzwerte sind endlich, aber verschieden:

\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)

Der Graph springt von einer Höhe auf eine andere. Die Sprunghöhe ist

\left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|

. Kein einzelner Wert

f(a)

kann das reparieren.

3. Polstelle (unendliche Unstetigkeit) Mindestens ein einseitiger Grenzwert ist

\infty

oder

-\infty

. Der Graph hat eine senkrechte Asymptote

x = a

Am Funktionsterm (gebrochenrationale Funktionen): Faktorisiere Zähler und Nenner.

Ein Faktor $(x - a)$ , der sich vollständig kürzt, ergibt eine Lücke bei $x = a$ .
Ein Faktor $(x - a)$ , der im Nenner bleibt, ergibt eine senkrechte Asymptote bei $x = a$ .

Lösungsbeispiele

Bestimme die Art der Unstetigkeit von $f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ bei $x = 2$ und behebe sie.

Prüfe, wo $f$ nicht definiert ist

Der Nenner $x - 2$ ist bei $x = 2$ gleich $0$ → $f(2)$ ist nicht definiert

Faktorisiere den Zähler

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ → $f(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor

$f(x) = x + 1$ für alle $x \neq 2$ → Der Faktor $(x - 2)$ kürzt sich vollständig

Bestimme den Grenzwert

$\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 1$ → $= 3$ , ein endlicher Grenzwert

Einordnen und beheben

Der Grenzwert existiert, $f(2)$ nicht: Lücke bei $(2, 3)$ . Lege $f(2) = 3$ fest. → Hebbare Unstetigkeit

Antwort: Hebbare Unstetigkeit (Lücke) bei $(2, 3)$ . Mit $f(2) = 3$ wird $f$ stetig.

Häufige Fehler

An jeder Nennernullstelle eine senkrechte Asymptote zeichnen

Warum es falsch ist: Eine Nennernullstelle kann auch eine Lücke sein. In $\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ kürzt sich $(x - 2)$ , also gibt es bei $x = 2$ keine Asymptote.

Richtig: Erst faktorisieren und kürzen. Nur Faktoren, die im Nenner bleiben, ergeben senkrechte Asymptoten; gekürzte Faktoren ergeben Lücken.

Eine Sprungstelle hebbar nennen, weil beide einseitigen Grenzwerte existieren

Warum es falsch ist: Hebbar verlangt den beidseitigen Grenzwert, und der existiert nur, wenn beide Seiten übereinstimmen. Bei einem Sprung sind es verschiedene Zahlen.

Richtig: Gleiche einseitige Grenzwerte: hebbar (oder stetig). Verschiedene endliche einseitige Grenzwerte: Sprungstelle.

$f(a)$ als Höhe der Lücke verwenden

Warum es falsch ist: An einer Lücke fehlt $f(a)$ oder ist falsch. Die Lücke liegt auf der Höhe des Grenzwerts.

Richtig: Die $y$ -Koordinate einer Lücke erhältst du durch Einsetzen von $x = a$ in die gekürzte Funktion: Die Lücke von $\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$ liegt bei $\left(3, \frac{6}{5}\right)$ .

Glauben, ein gekürzter Faktor bedeute immer eine Lücke, auch wenn er im Nenner doppelt vorkommt

Warum es falsch ist: In $\frac{x - 1}{(x - 1)^2}$ kürzt sich nur ein Faktor; übrig bleibt $\frac{1}{x - 1}$ , das bei $x = 1$ weiterhin über alle Grenzen wächst.

Richtig: Kürze so weit wie möglich und prüfe dann: Steht $(x - a)$ noch im Nenner, ist es eine Polstelle.

Warum es wichtig ist

Die Art der Unstetigkeit sagt dir, wie gravierend die Unterbrechung ist und was du dagegen tun kannst:

Lücken sind harmlose Löcher: Die Funktion verhält sich drumherum vorhersehbar, und ein einziger neu festgelegter Punkt macht sie stetig. Computerprogramme, die bei $\frac{0}{0}$ abstürzen, werden oft genau so repariert.
Sprungstellen beschreiben plötzliche Änderungen: Parkgebühren, Portostufen, Steuerstufen und Schalter, die ein- oder ausschalten.
Polstellen warnen, dass eine Größe über alle Grenzen wächst: Bilder einer Linse, die ins Unendliche wandern, Resonanz bei Brücken oder eine Formel, die durch fast null teilt.

In der Analysis entscheidet die Art der Unstetigkeit, ob ein Grenzwert existiert, ob man über ein Intervall integrieren kann und wie ein Graph gezeichnet werden muss. Gebrochenrationale Funktionen richtig zu skizzieren (Lücken oder Polstellen) gehört zu den am häufigsten geprüften Fähigkeiten vor der Analysis.

Anwendungen im echten Leben

Parkgebühren (Sprungstellen)

Parkhäuser berechnen jede angefangene Stunde. Die Preisfunktion ist innerhalb jeder Stunde konstant und springt zu jeder vollen Stunde.

Beispiel:

Ein Parkhaus verlangt 4 € bis zu 1 Stunde und 7 € für mehr als 1 bis zu 2 Stunden. Bei $t = 1$ springt der Preis um 3 €.

1Probiere es selbst

Dasselbe Parkhaus verlangt 7 € für mehr als 1 bis zu 2 Stunden und 10 € für mehr als 2 bis zu 3 Stunden. $C(t)$ ist der Preis für $t$ Stunden.

Wie groß ist der Sprung im Preis bei $t = 2$ Stunden (in €)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Ziehe den linksseitigen vom rechtsseitigen Grenzwert ab:

Linsen und Bilder im Unendlichen

Bei einer Linse mit der Brennweite $10$ cm erzeugt ein Gegenstand im Abstand $u$ ein Bild im Abstand $v(u) = \frac{10u}{u - 10}$. Erreicht der Gegenstand den Brennpunkt, wandert das Bild ins Unendliche.

Beispiel:

Bei $u = 15$ cm liegt das Bild bei $v = \frac{150}{5} = 30$ cm. Bei $u = 10{,}1$ cm liegt es schon bei $v = \frac{101}{0{,}1} = 1010$ cm.

2Probiere es selbst

Die Bildweite ist $v(u) = \frac{10u}{u - 10}$ (in cm).

Bei welcher Gegenstandsweite $u$ (in cm) hat $v$ eine Polstelle?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Suche die Stelle, an der der Nenner null ist und der Zähler nicht:

Eine Division durch null in Software beheben

Programme berechnen oft eine mittlere Änderungsrate $\frac{f(t) - f(a)}{t - a}$. Bei $t = a$ liefert die Formel $\frac{0}{0}$ und das Programm stürzt ab, obwohl die Werte in der Nähe völlig glatt sind: eine hebbare Unstetigkeit.

Beispiel:

Für $f(t) = t^2$ und $a = 3$ lässt sich $\frac{t^2 - 9}{t - 3}$ zu $t + 3$ kürzen, also speichert die Programmiererin für $t = 3$ den Wert $6$ .

3Probiere es selbst

Ein Programm berechnet $R(t) = \frac{t^2 - 16}{t - 4}$ und stürzt bei $t = 4$ ab.

Welchen Wert sollte man $R(4)$ zuweisen, damit $R$ stetig ist?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Kürze und setze dann $t = 4$ ein:

Wichtige Erkenntnisse

1Eine Unstetigkeitsstelle bei $x = a$ bedeutet: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ gilt nicht
2Hebbar (Lücke): Der Grenzwert $L$ existiert, aber $f(a)$ fehlt oder ist anders; mit $f(a) = L$ ist sie behoben
3Sprungstelle: endliche einseitige Grenzwerte, die verschieden sind; Sprunghöhe $= \left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|$
4Polstelle: Ein einseitiger Grenzwert ist $\pm\infty$ ; der Graph hat die senkrechte Asymptote $x = a$
5Bei gebrochenrationalen Funktionen zuerst faktorisieren: Gekürzte Faktoren ergeben Lücken, Faktoren im Nenner ergeben Asymptoten
6Die $y$ -Koordinate einer Lücke kommt aus der gekürzten Funktion, nie aus $f(a)$

Häufig gestellte Fragen

Warum heißt eine Lücke hebbar?

Weil ein einziger Punkt reicht, um sie zu reparieren. Der Grenzwert

L

existiert schon, also macht die (neue) Festlegung

f(a) = L

die Gleichung

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

wahr, und die Funktion wird bei

a

stetig.

Kann man eine Sprungstelle jemals beheben?

Nein. Die linke Seite strebt gegen eine Höhe, die rechte gegen eine andere. Welchen Wert du

f(a)

auch gibst, er passt höchstens zu einer Seite, und der beidseitige Grenzwert existiert weiterhin nicht.

Ändert der Funktionswert bei $x = a$ die Art?

Nein. Die Art hängt nur von den Grenzwerten in der Nähe von

a

ab. Ein Sprung bleibt ein Sprung, egal ob

f(a)

der linke Wert, der rechte Wert oder nicht definiert ist, und eine Lücke bleibt hebbar, egal ob

f(a)

fehlt oder falsch ist.

Gibt es noch andere Arten von Unstetigkeit?

Ja, aber sie sind seltener. Zum Beispiel schwingt

\sin\left(\frac{1}{x}\right)

in der Nähe von

x = 0

immer schneller hin und her und hat dort gar keine einseitigen Grenzwerte (Oszillationsstelle). Sprungstellen, Polstellen und Oszillationsstellen sind alle nicht hebbar; als wesentliche Unstetigkeiten bezeichnet man meist nur Polstellen und Oszillationsstellen.

Glossar

Unstetigkeitsstelle: Eine Stelle $x = a$ , an der $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ nicht gilt
Hebbare Unstetigkeit (Lücke): Der Grenzwert existiert und ist endlich, aber $f(a)$ ist nicht definiert oder ungleich; behebbar durch Neufestlegung eines Punktes
Sprungstelle: Beide einseitigen Grenzwerte sind endlich, aber nicht gleich
Sprunghöhe: Der Abstand der beiden einseitigen Grenzwerte: $\left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|$
Polstelle (unendliche Unstetigkeit): Mindestens ein einseitiger Grenzwert ist $\infty$ oder $-\infty$ ; der Graph hat eine senkrechte Asymptote
Senkrechte Asymptote: Eine senkrechte Gerade $x = a$ , der sich der Graph nähert, während seine Werte über alle Grenzen wachsen

Formelkarte

Hebbar (Lücke)

\lim_{x \to a} f(x) = L

existiert,

f(a) \neq L

oder nicht definiert

Behebung mit $f(a) = L$

Sprungstelle

\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)

, beide endlich

Sprunghöhe $= \left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|$

Polstelle

\lim_{x \to a^\pm} f(x) = \pm\infty

Senkrechte Asymptote $x = a$

Test für gebrochenrationale Funktionen

\frac{(x - a)\,p(x)}{(x - a)\,q(x)} = \frac{p(x)}{q(x)}

Ein gekürzter Faktor ergibt eine Lücke bei $\left(a, \frac{p(a)}{q(a)}\right)$, falls $q(a) \neq 0$; ein Faktor, der im Nenner bleibt, ergibt eine Asymptote

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Parkgebühren (Sprungstellen)

Linsen und Bilder im Unendlichen

Eine Division durch null in Software beheben

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Hebbar (Lücke)

Sprungstelle

Polstelle

Test für gebrochenrationale Funktionen

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Grenzwerte am Graphen ablesen

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