Doppelwinkelformeln

Lerne die Doppelwinkelformeln für Sinus, Kosinus und Tangens, um Ausdrücke zu vereinfachen und Gleichungen zu lösen.

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Definition

Die Doppelwinkelformeln drücken trigonometrische Funktionen von 2θ2\theta durch Funktionen von θ\theta aus.

Sinus-Doppelwinkelformel

sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta

Kosinus-Doppelwinkelformel (Drei Formen)

cos⁡(2θ)=cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta
cos⁡(2θ)=2cos⁡2θ−1\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1
cos⁡(2θ)=1−2sin⁡2θ\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta

Tangens-Doppelwinkelformel

tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}
Diese Identitäten werden aus den Additionstheoremen abgeleitet, indem beide Winkel gleich θ\theta gesetzt werden.

Probier es gleich aus

Wie lautet die Doppelwinkelformel für Sinus?

Lösungsbeispiele

Verwende das Additionstheorem sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B, um sin⁡(2θ)\sin(2\theta) herzuleiten.
1

Beginne mit dem Additionstheorem

sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B → Additionstheorem
2

Setze A=B=θA = B = \theta

sin⁡(θ+θ)=sin⁡θcos⁡θ+cos⁡θsin⁡θ\sin(\theta + \theta) = \sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta → sin⁡(2θ)=sin⁡θcos⁡θ+sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = \sin\theta\cos\theta + \sin\theta\cos\theta
3

Fasse zusammen

sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta

Häufige Fehler

Schreiben von sin⁡(2θ)=2sin⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta

Warum es falsch ist: Schüler vergessen manchmal den Kosinusfaktor. Die Sinusfunktion ist nicht linear, daher kann man das Argument nicht einfach verdoppeln, indem man den Ausgabewert verdoppelt.

Richtig: sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta: sowohl Sinus ALS AUCH Kosinus von θ\theta werden benötigt.

Verwendung der falschen Form von cos⁡(2θ)\cos(2\theta)

Warum es falsch ist: Es gibt drei äquivalente Formen. Die Wahl der falschen kann Aufgaben schwieriger machen.

Richtig: Wähle die Form, die zu deinen Daten passt: verwende 1−2sin⁡2θ1 - 2\sin^2\theta wenn du sin⁡θ\sin\theta kennst, verwende 2cos⁡2θ−12\cos^2\theta - 1 wenn du cos⁡θ\cos\theta kennst.

Vergessen des Vorzeichens im Nenner von tan⁡(2θ)\tan(2\theta)

Warum es falsch ist: Die Formel hat 1−tan⁡2θ1 - \tan^2\theta im Nenner, nicht 1+tan⁡2θ1 + \tan^2\theta.

Richtig: tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}

Interaktive Visualisierung

Einheitskreis

Grad

0°

Bogenmaß

0

sin(θ)

0

cos(θ)

1

tan(θ)

0

Koordinaten (cos, sin)

(1, 0)

Klicke und ziehe, um den Winkel im Einheitskreis zu drehen.

Funktionsgraph

-300-200-1000100200300-2-1012xy(30 | 0,87)

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

  • sin(2 · a) = 0,87
  • 2 · sin(a) · cos(a) = 0,87
  • 2 · sin(a) = 1
y = sin(2x)y = 2sin(x)

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

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Übungsaufgaben

15 Aufgaben
Aufgabe 1 von 15
Einfach
Wie lautet die Doppelwinkelformel für Sinus?

Warum es wichtig ist

Doppelwinkelformeln sind wichtige Werkzeuge in der höheren Mathematik und Physik:
  • Analysis: Vereinfache Integrale wie ∫sin⁡2x dx\int \sin^2 x \, dx mit der Identität sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}
  • Physik: Beschreibe den schrägen Wurf, bei dem die Wurfweite von sin⁡(2θ)\sin(2\theta) abhängt
  • Signalverarbeitung: Analysiere Welleninterferenz und Modulation
  • Ingenieurwesen: Entwirf rotierende Maschinen und schwingende Systeme
Ohne diese Identitäten wären viele Berechnungen in Wissenschaft und Technik viel komplexer!

Anwendungen im echten Leben

Wurfweite eines Projektils

Die Wurfweite eines Projektils, das mit Winkel $\theta$ und Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ geworfen wird, ist $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$. Die maximale Weite erreicht man bei $\sin(2\theta) = 1$, also $\theta = 45°$.

Beispiel:

Ein Fußball, der mit 20 m/s bei 30° getreten wird: R=400⋅sin⁡(60°)10=400⋅0,86610≈34,6R = \frac{400 \cdot \sin(60°)}{10} = \frac{400 \cdot 0,866}{10} \approx 34,6 Meter.

1Probiere es selbst

Ein Athlet wirft einen Speer mit 25 m/s. Er möchte die maximale Weite erreichen.

In welchem Winkel sollte er werfen, und was ist die maximale Weite?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Für maximale Weite gilt sin⁡(2θ)=1\sin(2\theta) = 1, also 2θ=90°2\theta = 90°

Elektrotechnik: Leistungsfaktor

In Wechselstromkreisen beinhalten Leistungsberechnungen oft $\cos(2\omega t)$, wobei $\omega$ die Kreisfrequenz ist. Die Doppelwinkelidentität hilft bei der Analyse der Momentanleistung.

Beispiel:

Wenn Spannung V=V0cos⁡(ωt)V = V_0\cos(\omega t) und Strom I=I0cos⁡(ωt)I = I_0\cos(\omega t), dann beinhaltet die Momentanleistung cos⁡2(ωt)=1+cos⁡(2ωt)2\cos^2(\omega t) = \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2}.

2Probiere es selbst

Ein Ingenieur muss den Mittelwert von cos⁡2(ωt)\cos^2(\omega t) über eine Periode berechnen.

Verwende die Identität cos⁡2θ=1+cos⁡(2θ)2\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}, um diesen Mittelwert zu finden.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Der Mittelwert von cos⁡(2ωt)\cos(2\omega t) über eine Periode ist 0, also...

Wichtige Erkenntnisse

  • 1sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta
  • 2cos⁡(2θ)\cos(2\theta) hat drei Formen: cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos^2\theta - \sin^2\theta, 2cos⁡2θ−12\cos^2\theta - 1 und 1−2sin⁡2θ1 - 2\sin^2\theta
  • 3tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}
  • 4Diese Identitäten stammen aus den Additionstheoremen mit A=B=θA = B = \theta
  • 5Wähle die Form von cos⁡(2θ)\cos(2\theta), die zu deinen gegebenen Informationen passt

Häufig gestellte Fragen

Alle drei sind äquivalent, aber jede ist in verschiedenen Situationen nützlich. Verwende cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos^2\theta - \sin^2\theta, wenn du beide kennst. Verwende 2cos⁡2θ−12\cos^2\theta - 1, wenn du nur Kosinus kennst. Verwende 1−2sin⁡2θ1 - 2\sin^2\theta, wenn du nur Sinus kennst. Sie werden mit sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 hergeleitet.
Alle drei sind äquivalent, aber jede ist in verschiedenen Situationen nützlich. Verwende cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos^2\theta - \sin^2\theta, wenn du beide kennst. Verwende 2cos⁡2θ−12\cos^2\theta - 1, wenn du nur Kosinus kennst. Verwende 1−2sin⁡2θ1 - 2\sin^2\theta, wenn du nur Sinus kennst. Sie werden mit sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 hergeleitet.
Ersetze θ\theta durch θ2\frac{\theta}{2} in der Doppelwinkelformel. Zum Beispiel, aus cos⁡(2α)=2cos⁡2α−1\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1, setze α=θ2\alpha = \frac{\theta}{2}: cos⁡θ=2cos⁡2(θ2)−1\cos\theta = 2\cos^2(\frac{\theta}{2}) - 1, was cos⁡(θ2)=±1+cos⁡θ2\cos(\frac{\theta}{2}) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} ergibt.
Wenn der Nenner null wird: 1−tan⁡2θ=01 - \tan^2\theta = 0, also tan⁡θ=±1\tan\theta = \pm 1, was θ=45°,135°,225°,315°\theta = 45°, 135°, 225°, 315° (oder π4,3π4,5π4,7π4\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}) bedeutet. Bei diesen Winkeln ist 2θ2\theta ein ungerades Vielfaches von 90°90°.

Glossar

Doppelwinkel
Ein Winkel, der das Doppelte eines anderen Winkels ist, geschrieben als 2θ2\theta
Identität
Eine Gleichung, die für alle gültigen Werte der Variablen wahr ist
Additionstheorem
Formeln wie sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B zur Berechnung von Winkelsummen
Pythagoreische Identität
Die grundlegende Identität sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

Formelkarte

Sinus

sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta

Doppelwinkelformel für Sinus

Kosinus (Form 1)

cos⁡(2θ)=cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta

Mit Sinus und Kosinus

Kosinus (Form 2)

cos⁡(2θ)=2cos⁡2θ−1\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1

Nur mit Kosinus

Kosinus (Form 3)

cos⁡(2θ)=1−2sin⁡2θ\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta

Nur mit Sinus

Tangens

tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}

Doppelwinkelformel für Tangens

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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