Guía del profesor: Ecuación del porcentaje

Resuelve cualquier problema de porcentajes con una sola ecuación: parte = tasa × total. Halla la parte, el total o el porcentaje, incluso por encima del 100 % y por debajo del 1 %.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Porcentajes. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Traducir frases con porcentajes a ecuaciones, con "es" como = y "de" como ×
Usar parte = tasa × total con la tasa escrita como número decimal
Hallar el total y la tasa, y escribir la tasa como porcentaje
Trabajar con porcentajes mayores que el 100 % y menores que el 1 %
Comparar la ecuación del porcentaje con el método de la proporción

Requisitos previos

• Introducción a los porcentajes: pasar porcentajes a números decimales
• Calcular el porcentaje de un número: multiplicar un total por un porcentaje
• Resolver ecuaciones de un paso como $0{,}25x = 30$
• Proporción del porcentaje: $\frac{\text{parte}}{\text{total}} = \frac{p}{100}$ (útil para la comparación)

Iniciadores de discusión

1. En "¿30 es el 25 % de qué número?", ¿qué número es la parte y cuál falta? ¿Cómo lo sabes?
2. ¿Puede el 150 % de un número ser menor que ese número? ¿Por qué?
3. ¿Por qué el 0,4 % no es lo mismo que 0,4? ¿Qué saldría mal en un cálculo?
4. Has resuelto el mismo problema con una ecuación y con una proporción. ¿Cuál te resultó más fácil y por qué?
5. ¿En qué situaciones reales conoces la parte y el porcentaje, pero no el total?

Conceptos erróneos comunes

El número mayor es siempre el total

Remediación: Muestra "¿42 es el 150 % de qué número?": la parte 42 es mayor que el total 28. Enseña a encontrar el total por la palabra "de", no por su tamaño.

La tasa puede quedarse en la ecuación como número del porcentaje (25 en lugar de 0,25)

Remediación: Resuelve con la clase $30 = 25x$ y obtén $x = 1{,}2$ . Pregunta si 30 puede ser el 25 % de 1,2. Después resuelve $30 = 0{,}25x$ y comprueba con $0{,}25 \times 120 = 30$ .

Un porcentaje menor que el 1 % es lo mismo que un decimal menor que 1

Remediación: Escribe $40\,\%$ , $4\,\%$ , $0{,}4\,\%$ uno debajo de otro y divide cada uno entre 100: $0{,}4$ , $0{,}04$ , $0{,}004$ . Relaciónalo con el dinero: el 0,4 % de 1000 dólares son solo 4 dólares.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Da una plantilla "___ es el ___ % de ___"; el alumnado escribe dos números y marca la incógnita
• Empieza con tasas sencillas (10 %, 25 %, 50 %) antes de tasas como 35 % o 0,4 %
• Pide que comprueben cada respuesta sustituyéndola en parte = tasa × total

Para estudiantes de nivel:

• Mezcla en una misma serie problemas que piden la parte, el total o el porcentaje
• Incluye problemas sobre señales, notas e intereses
• Resuelve dos problemas con la ecuación y con la proporción y compara

Para estudiantes avanzados:

• Trabaja con tasas como 0,25 % y 260 % y explica qué significan
• Escribe un problema propio de porcentajes para cada cantidad desconocida
• Halla el total cuando la parte es un precio después de una subida, por ejemplo 72 es el 120 % del precio del año pasado

Alineación con estándares

7.RP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.RP.A.3)
Usar relaciones de proporcionalidad para resolver problemas de razones y porcentajes de varios pasos
6.RP.A.3c (CCSS.MATH.CONTENT.6.RP.A.3.C)
Hallar el porcentaje de una cantidad como tasa por cada 100; hallar el total a partir de una parte y del porcentaje
7.EE.B.4a (CCSS.MATH.CONTENT.7.EE.B.4.A)
Resolver problemas que llevan a ecuaciones de la forma px + q = r y p(x + q) = r

Recursos de la lección

visualResolución de ecuaciones paso a paso
El alumnado resuelve ecuaciones de porcentaje como $0{,}25x = 30$ paso a paso
visualDiagrama de cinta del porcentaje
Una cinta dividida en 25 % y 75 % muestra cómo una parte de 30 corresponde a un total de 120
activityTraduce la frase
Tarjetas con frases de porcentajes; el alumnado rodea "es" y "de" y escribe la ecuación correspondiente
worksheetEncuentra la pieza que falta
Una tabla de parte, tasa y total con un valor que falta en cada fila, incluidas tasas mayores que el 100 % y menores que el 1 %

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

La ecuación del porcentaje relaciona tres cantidades con una sola multiplicación:

\text{parte} = \text{tasa} \times \text{total}

El total es la cantidad completa de la que tomas un porcentaje (el 100 %).
La tasa es el tanto por ciento escrito como número decimal (el tanto por uno): $25\,\% = 0{,}25$ , $150\,\% = 1{,}5$ , $0{,}4\,\% = 0{,}004$ .
La parte es la cantidad que describe el porcentaje.

Traducir las palabras a la ecuación:

"es" se convierte en $=$
"de" se convierte en $\times$
"qué número" o "qué porcentaje" se convierte en la incógnita $x$

Así, "30 es el 25 % de qué número" se convierte en

30 = 0{,}25x

Si conoces dos de las tres cantidades, siempre puedes hallar la tercera:

parte: multiplica, $\text{parte} = \text{tasa} \times \text{total}$
total: divide, $\text{total} = \text{parte} \div \text{tasa}$
tasa: divide, $\text{tasa} = \text{parte} \div \text{total}$ , y después multiplica por 100 para obtener el porcentaje

Ejemplos resueltos

¿Qué número es el 35 % de 80?

Traduce las palabras

"Qué número" es $x$ , "es" es $=$ , "de" es $\times$ → $x = 35\,\% \times 80$

Escribe la tasa como número decimal

$35\,\% = 35 \div 100 = 0{,}35$ → $x = 0{,}35 \times 80$

Multiplica

$0{,}35 \times 80 = 28$ → $x = 28$

Respuesta: 28 es el 35 % de 80.

Errores comunes

Usar el número del porcentaje en lugar del decimal: escribir $30 = 25x$ y obtener $x = 1{,}2$

Por qué está mal: En la ecuación, la tasa tiene que ser un número decimal. El 25 % significa 25 de cada cien, es decir, $0{,}25$ , no $25$ .

Correcto: Divide primero el porcentaje entre 100: $30 = 0{,}25x$ , así que $x = 120$ .

Confundir la parte y el total: para "¿30 es el 25 % de qué número?" calcular $0{,}25 \times 30 = 7{,}5$

Por qué está mal: El número que va después de "de" es el total. Aquí el total es la incógnita y 30 es la parte, así que 30 va a la izquierda del signo igual.

Correcto: Traduce palabra por palabra: $30 = 0{,}25 \times x$ , así que $x = 120$ .

Olvidar multiplicar por 100 al hallar la tasa: responder "0,4 %" a "¿qué porcentaje de 45 es 18?"

Por qué está mal: La parte dividida entre el total da la tasa como decimal ( $0{,}4$ ). El porcentaje es ese decimal por 100.

Correcto: $18 \div 45 = 0{,}4$ y $0{,}4 \times 100 = 40$ , así que la respuesta es $40\,\%$ .

Escribir un porcentaje pequeño con el decimal equivocado: $0{,}4\,\% = 0{,}04$ o $0{,}4\,\% = 0{,}4$

Por qué está mal: Todos los porcentajes se dividen entre 100, también los pequeños. Mueve la coma dos lugares a la izquierda: $0{,}4 \to 0{,}004$ .

Correcto: $0{,}4\,\% = 0{,}004$ , así que el 0,4 % de 500 es $0{,}004 \times 500 = 2$ .

Por qué es importante

En la lección "Calcular el porcentaje de un número" siempre conocías el total y el porcentaje. Los problemas reales a menudo esconden otra incógnita:

Compras: pagas una señal de 45 dólares, que es el 15 % del precio. ¿Cuál es el precio completo? (falta el total)
Notas: sacas 34 de 40 puntos. ¿Qué porcentaje es? (falta la tasa)
Ahorro: una cuenta paga un 0,8 % de interés al año. ¿Cuánto tienes que ahorrar para ganar 36 dólares? (una tasa menor que el 1 %)
Crecimiento: una ciudad tiene hoy el 260 % de su antigua población. (una tasa mayor que el 100 %)

La ecuación del porcentaje resuelve todos estos casos con la misma línea corta,

\text{parte} = \text{tasa} \times \text{total}

, y la resolución de ecuaciones que ya conoces.

Aplicaciones del mundo real

Pagar una señal

Las tiendas suelen pedir una señal que es un porcentaje del precio completo. La señal es la parte, y el precio completo es el total que a veces tienes que hallar.

Ejemplo:

Una señal de 60 dólares que es el 20 % del precio da $60 = 0{,}2x$ , así que el precio es $60 \div 0{,}2 = 300$ dólares.

1Inténtalo tú mismo

Mia paga una señal de 45 dólares por una bicicleta. La señal es el 15 % del precio completo.

¿Cuál es el precio completo de la bicicleta en dólares?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Divide la parte entre la tasa:

Notas y tiros libres

Profesores y entrenadores convierten "tantos de tantos" en un porcentaje. Aquí la incógnita es la tasa.

Ejemplo:

Una jugadora de baloncesto mete 34 de 40 tiros libres: $34 = r \times 40$ , $r = 0{,}85$ , así que acierta el $85\,\%$ de sus tiros.

2Inténtalo tú mismo

En un examen de 80 puntos, Leo saca 68 puntos.

¿Qué porcentaje de los puntos consiguió Leo? Escribe el número sin el signo %.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Divide la parte entre el total y multiplica por 100:

Intereses de ahorro por debajo del 1 %

Las cuentas de ahorro suelen pagar menos del 1 % de interés al año. Los intereses son la parte y el dinero de la cuenta es el total.

Ejemplo:

Al 0,5 % de interés, 2400 dólares producen $0{,}005 \times 2400 = 12$ dólares en un año.

3Inténtalo tú mismo

Una cuenta de ahorro paga un 0,8 % de interés al año. Al cabo de un año, Sara ha ganado 36 dólares de intereses.

¿Cuántos dólares había en la cuenta de Sara?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Divide los intereses entre la tasa en forma decimal:

Puntos clave

1La ecuación del porcentaje es $\text{parte} = \text{tasa} \times \text{total}$ , con la tasa escrita como número decimal
2Traduce palabra por palabra: "es" se convierte en $=$ , "de" en $\times$ , "qué número" en la incógnita
3Para hallar el total, divide: $\text{total} = \text{parte} \div \text{tasa}$
4Para hallar el porcentaje, divide la parte entre el total y multiplica por 100
5Por encima del 100 % la tasa es mayor que 1 ( $150\,\% = 1{,}5$ ) y la parte es mayor que el total; por debajo del 1 % la tasa empieza por $0{,}00$ ( $0{,}4\,\% = 0{,}004$ )
6La ecuación y la proporción $\frac{\text{parte}}{\text{total}} = \frac{p}{100}$ siempre dan la misma respuesta

Preguntas frecuentes

¿Uso la ecuación del porcentaje o la proporción?

Las dos dan siempre la misma respuesta. La ecuación

\text{parte} = \text{tasa} \times \text{total}

es más corta cuando puedes pasar el porcentaje a decimal con facilidad. La proporción

\frac{\text{parte}}{\text{total}} = \frac{p}{100}

(lección "Proporción del porcentaje") deja el porcentaje como número entero y puede resultar más segura con decimales difíciles. Elige la que te resulte más clara.

¿Puede la parte ser mayor que el total?

Sí, cuando el porcentaje es mayor que el 100 %. Por ejemplo, el 150 % de 28 es 42, que es mayor que 28. Pasa a menudo con el crecimiento, los precios y la población.

¿Cómo sé qué número es el total?

Busca la palabra "de": el total suele ir justo después. En "qué porcentaje de 45 es 18", el total es 45. El número que va junto a "es" suele ser la parte.

¿Por qué multiplico por 100 al final cuando busco un porcentaje?

La parte dividida entre el total da la tasa como decimal, por ejemplo

0{,}4

. Por ciento significa "de cada cien", así que

0{,}4 = \frac{40}{100} = 40\,\%

Glosario

Ecuación del porcentaje: La ecuación $\text{parte} = \text{tasa} \times \text{total}$ que relaciona un porcentaje con dos cantidades.
Total: La cantidad completa de la que tomas un porcentaje; equivale al 100 %. Suele ir después de la palabra "de".
Parte: La cantidad que es igual a un porcentaje del total.
Tasa (tanto por uno): El tanto por ciento escrito como número decimal, por ejemplo $35\,\% = 0{,}35$ .
Incógnita: La cantidad que falta en la ecuación, escrita con una letra como $x$ o $r$ .

Tarjeta de fórmulas

Ecuación del porcentaje

\text{parte} = \text{tasa} \times \text{total}

Sirve para hallar la parte: multiplica la tasa (en forma decimal) por el total.

Hallar el total

\text{total} = \text{parte} \div \text{tasa}

Divide la parte entre la tasa en forma decimal, por ejemplo $30 \div 0{,}25 = 120$.

Hallar el porcentaje

\text{tasa} = \text{parte} \div \text{total}

Divide la parte entre el total y después multiplica por 100 para obtener el porcentaje.

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Para profesores

Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Pagar una señal

Notas y tiros libres

Intereses de ahorro por debajo del 1 %

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Ecuación del porcentaje

Hallar el total

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