Guía del profesor: Margen de beneficio y rebajas

Aprende cómo una tienda fija sus precios con un margen sobre el precio de coste y los baja con una rebaja, y cómo hallar el porcentaje, el precio original y el resultado de descuentos sucesivos.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Porcentajes. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Calcular un precio de venta a partir del precio de coste y un porcentaje de margen
Calcular un precio rebajado a partir del precio original y un porcentaje de rebaja
Hallar el porcentaje de margen o de rebaja a partir de dos precios, usando la base correcta
Hallar el precio original cuando se conocen el precio rebajado y el descuento
Explicar por qué los descuentos sucesivos, o un margen seguido de una rebaja, no se suman sin más

Requisitos previos

• Calcular el porcentaje de un número
• Aumento y disminución porcentual (multiplicadores 1 + p y 1 - d)
• Multiplicar y dividir números decimales

Iniciadores de discusión

1. Una tienda anuncia un 20 % de descuento más un 10 % extra. ¿Es lo mismo que un 30 %? ¿Cómo convencerías a un amigo?
2. ¿Por qué las tiendas añaden un margen? ¿Qué gastos tiene que cubrir?
3. Un artículo sube un 25 % y luego se rebaja un 25 %. ¿Vuelve la tienda al precio inicial?
4. Una etiqueta muestra solo el precio rebajado y -30 %. ¿Cómo puedes hallar el precio original?
5. ¿Qué prefieres: un 15 % de descuento y luego otro 15 %, o un 30 % de una vez? ¿Por qué?

Conceptos erróneos comunes

Los descuentos sucesivos se pueden sumar (20 % + 10 % = 30 %)

Remediación: Usa un precio de 100: después del 20 % de descuento queda en 80, y el 10 % de 80 es solo 8, así que el precio es 72. El diagrama de barras con 200, 160, 144 y 140 muestra la diferencia.

El precio original es el precio rebajado más el porcentaje de descuento del precio rebajado

Remediación: Pide al alumnado que compruebe su respuesta: 63 + 30 % de 63 = 81,90, pero un 30 % de descuento sobre 81,90 da 57,33, no 63. Después muestra la ecuación Original × 0,70 = 63.

Una rebaja del mismo porcentaje anula un margen

Remediación: Dibuja dos diagramas de cinta de distinta longitud: el 25 % del precio de venta, más largo, es un trozo mayor que el 25 % del precio de coste.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con precios de 100 para que el porcentaje y la cantidad sean el mismo número
• Usar diagramas de cinta con 10 casillas iguales para mostrar pasos del 10 %
• Practicar márgenes y rebajas por separado antes de mezclarlos

Para estudiantes de nivel:

• Hallar el porcentaje de margen o de rebaja a partir de dos precios
• Calcular hacia atrás desde un precio rebajado hasta el precio original
• Comparar dos descuentos sucesivos con un único descuento

Para estudiantes avanzados:

• Hallar la rebaja que deshace exactamente un margen dado (subir un 25 % necesita bajar un 20 %)
• Comparar el margen sobre el coste con el margen sobre el precio de venta
• Hallar el descuento único equivalente a tres descuentos sucesivos

Alineación con estándares

7.RP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.RP.A.3)
Usar relaciones de proporcionalidad para resolver problemas de razones y porcentajes de varios pasos, como márgenes, rebajas, impuestos y comisiones
7.EE.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.EE.B.3)
Resolver problemas matemáticos y de la vida real de varios pasos con números racionales positivos y negativos en cualquier forma

Recursos de la lección

visualDiagramas de cinta para coste, margen y descuento
Muestra el precio de coste como 100 % con el margen añadido, y el precio original como 100 % con el descuento quitado
activityPoner precios en una tienda de clase
Los grupos compran artículos a un precio de coste, eligen un margen, planifican unas rebajas de fin de temporada y comprueban si todavía obtienen beneficio
worksheet¿Qué oferta es mejor?
Comparar cupones acumulados con descuentos únicos y hallar el descuento total real

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Una tienda compra un artículo a su precio de coste y lo vende a un precio de venta más alto. La cantidad que añade es el margen de beneficio; en esta lección siempre se calcula sobre el precio de coste. Más tarde, la tienda puede bajar el precio: esa bajada es una rebaja (también llamada descuento), y el nuevo precio es el precio rebajado.

Ambos se calculan con un multiplicador:

\text{Precio de venta} = \text{Coste} \times (1 + p)

\text{Precio rebajado} = \text{Precio original} \times (1 - d)

Aquí

p

es el porcentaje de margen y

d

el porcentaje de descuento, escritos como decimales (25 % =

0{,}25

¿Qué precio es la base?

Un margen en porcentaje es siempre un porcentaje del precio de coste.
Una rebaja en porcentaje es siempre un porcentaje del precio original (el precio antes de las rebajas).

Dos cambios seguidos se multiplican: un 20 % y luego un 10 % de descuento dan

0{,}80 \times 0{,}90 = 0{,}72

, así que pagas el 72 % y ahorras el 28 %, no el 30 %.

Ejemplos resueltos

Una tienda de deportes compra una mochila por 40 dólares y le aplica un margen del 35 %. ¿Cuál es el precio de venta?

Calcula el margen (un porcentaje del coste)

$40 \times 0{,}35 = 14$ dólares → Margen = 14 dólares

Súmalo al precio de coste

$40 + 14 = 54$ dólares

Comprueba con el multiplicador

$40 \times 1{,}35 = 54$ → Mismo resultado

Respuesta: La mochila se vende por 54 dólares.

Errores comunes

Sumar dos descuentos: un 20 % y luego un 10 % = un 30 % de descuento

Por qué está mal: El segundo descuento se calcula sobre el precio ya rebajado, que es menor que el precio original, así que ahorra menos.

Correcto: Multiplica los multiplicadores: $0{,}80 \times 0{,}90 = 0{,}72$ . Pagas el 72 %, así que el descuento total es del 28 %.

Hallar el precio original sumando el porcentaje al precio rebajado ( $63 + 30\,\%$ de $63 = 81{,}90$ )

Por qué está mal: El 30 % era un porcentaje del precio original, no del precio rebajado. Usar el precio rebajado como base da un número demasiado pequeño.

Correcto: Divide entre el multiplicador: $63 \div 0{,}70 = 90$ . Comprobación: $90 \times 0{,}70 = 63$ .

Dividir el margen entre el precio de venta ( $\frac{90}{340} \approx 26\,\%$ )

Por qué está mal: El porcentaje de margen se mide siempre respecto al precio de coste, el precio que pagó la tienda.

Correcto: Porcentaje de margen $= \frac{\text{margen}}{\text{coste}} \times 100\,\%$ , aquí $\frac{90}{250} = 36\,\%$ .

Pensar que una rebaja del 25 % deshace un margen del 25 %

Por qué está mal: La rebaja se calcula sobre el precio de venta, que es mayor, así que quita más de lo que añadió el margen: $80 \times 1{,}25 = 100$ , y luego $100 \times 0{,}75 = 75$ .

Correcto: El precio acaba 5 por debajo del coste de 80. Para volver de 100 a 80 necesitas una rebaja del 20 %: $100 \times 0{,}80 = 80$ .

Por qué es importante

En la lección Aumento y disminución porcentual aprendiste los multiplicadores

1 + p

1 - d

. El margen y las rebajas son el lugar donde esos multiplicadores se encuentran con dinero real:

Las tiendas añaden un margen para pagar el alquiler, el personal y su beneficio antes de poner un artículo en la estantería.
Las rebajas como un 40 % de descuento se calculan sobre el precio original.
Los cupones acumulados (un 15 % extra en caja) son descuentos sucesivos, y siempre ahorran menos que la suma de los dos porcentajes.
Las etiquetas muchas veces muestran solo el precio rebajado, así que saber hallar el precio original es una buena comprobación.
Los pequeños negocios necesitan saber si un precio rebajado sigue estando por encima del precio de coste.

Con estas destrezas puedes comprobar cualquier etiqueta y ver qué oferta es de verdad la mejor.

Aplicaciones del mundo real

Precios en una tienda de ropa

Las tiendas de moda suelen poner un margen alto a las prendas nuevas y rebajarlas al final de la temporada. La pregunta es si el precio rebajado todavía cubre el coste.

Ejemplo:

Una camisa comprada por 20 dólares con un margen del 100 % se vende por $20 \times 2 = 40$ dólares. A mitad de precio después cuesta 20 dólares: ningún beneficio.

1Inténtalo tú mismo

Una tienda compra un vestido por 60 dólares y le aplica un margen del 50 %. Al final de la temporada el vestido se rebaja un 30 %.

¿Cuál es el precio rebajado final en dólares?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Aplica primero el margen y después la rebaja:

Cupones acumulados en días de ofertas

En los grandes días de ofertas las tiendas suelen dar un descuento y además un cupón en caja. El cupón se calcula sobre el precio ya rebajado.

Ejemplo:

Un 50 % de descuento y luego otro 50 % no es gratis: $0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25$ , así que todavía pagas el 25 % del precio.

2Inténtalo tú mismo

Un televisor cuesta 500 dólares. Tiene un 20 % de descuento, y un cupón quita otro 15 % del precio rebajado.

¿Cuál es el descuento total en porcentaje? (Escribe solo el número.)

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Compara el precio final con el precio original:

Leer una etiqueta de rebajas

Las tiendas outlet suelen mostrar solo el precio rebajado y el descuento. Si calculas hacia atrás, sabes el precio original y cuánto ahorras de verdad.

Ejemplo:

Una etiqueta dice -25 %, ahora 30 dólares. El precio original era $30 \div 0{,}75 = 40$ dólares.

3Inténtalo tú mismo

Unas zapatillas tienen esta etiqueta: -40 %, ahora 48 dólares.

¿Cuál era el precio original en dólares?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Divide el precio rebajado entre el multiplicador:

Puntos clave

1Precio de venta = precio de coste × (1 + margen); el porcentaje de margen es un porcentaje del precio de coste
2Precio rebajado = precio original × (1 - descuento); el porcentaje de rebaja es un porcentaje del precio original
3Porcentaje de margen = margen ÷ coste × 100 %; porcentaje de rebaja = descuento ÷ precio original × 100 %
4Para hallar el precio original a partir del precio rebajado, divide entre el multiplicador (63 ÷ 0,70 = 90), nunca vuelvas a sumar el porcentaje
5Los descuentos sucesivos se multiplican: un 20 % y luego un 10 % dan 0,80 × 0,90 = 0,72, un descuento del 28 %, no del 30 %
6Un margen seguido de una rebaja del mismo porcentaje acaba por debajo del inicio: 1,25 × 0,75 = 0,9375

Preguntas frecuentes

¿El margen sobre el coste es lo mismo que el margen sobre la venta?

No. El margen sobre el coste es un porcentaje del precio de coste; el margen sobre la venta es un porcentaje del precio de venta. Un artículo comprado por 80 y vendido por 100 tiene un 25 % sobre el coste (20 de 80) pero un 20 % sobre la venta (20 de 100).

¿Puede un margen ser mayor que el 100 %?

Sí. Un margen del 100 % duplica el precio de coste, y con un 200 % el precio de venta es el triple del coste. Algunas tiendas usan márgenes así de grandes en artículos baratos.

¿Puede una rebaja ser mayor que el 100 %?

No. Una rebaja del 100 % ya deja el precio en 0. Una tienda no puede quitar más que el precio entero.

¿Importa el orden de dos descuentos?

No. Se puede multiplicar en cualquier orden:

0{,}80 \times 0{,}90 = 0{,}90 \times 0{,}80 = 0{,}72

. Un 20 % y luego un 10 % dan el mismo precio que un 10 % y luego un 20 %.

Glosario

Precio de coste: El precio que paga la tienda por un artículo
Precio de venta: El precio que la tienda pide a los clientes: precio de coste más margen
Margen de beneficio: La cantidad (o el porcentaje del precio de coste) que la tienda añade al precio de coste
Rebaja (descuento): La cantidad (o el porcentaje del precio original) que se quita de un precio
Precio rebajado: El precio después de una rebaja
Multiplicador: El número por el que multiplicas para aplicar un cambio porcentual, por ejemplo 1,35 para un margen del 35 % o 0,60 para un 40 % de descuento

Tarjeta de fórmulas

Precio de venta

\text{Precio de venta} = \text{Coste} \times (1 + p)

Aplicar un margen de porcentaje p al precio de coste

Precio rebajado

\text{Precio rebajado} = \text{Original} \times (1 - d)

Aplicar una rebaja de porcentaje d al precio original

Porcentaje de margen

\frac{\text{Precio de venta} - \text{Coste}}{\text{Coste}} \times 100\,\%

La base es el precio de coste

Porcentaje de rebaja

\frac{\text{Original} - \text{Precio rebajado}}{\text{Original}} \times 100\,\%

La base es el precio original

Precio original

\text{Original} = \frac{\text{Precio rebajado}}{1 - d}

Calcular hacia atrás desde un precio rebajado

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Por qué es importante

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Precios en una tienda de ropa

Cupones acumulados en días de ofertas

Leer una etiqueta de rebajas

Puntos clave

Preguntas frecuentes

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