Guía del profesor: Hacer predicciones a partir de datos

Usa una recta de regresión para predecir valores, calcular hacia atrás hasta un objetivo y juzgar cuándo puedes fiarte de una predicción.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Regresión. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Sustituir un valor de x en una ecuación de regresión para calcular un valor predicho
Despejar x en una ecuación de regresión para hallar la entrada que da un valor objetivo
Distinguir interpolación y extrapolación y explicar por qué la extrapolación es arriesgada
Redondear predicciones con una precisión y una dirección adecuadas al contexto
Juzgar la fiabilidad de una predicción a partir de la fuerza de la correlación

Requisitos previos

• Introducción a la regresión: la recta de mejor ajuste $y = mx + b$
• Regresión lineal: pendiente y ordenada en el origen de una recta de regresión
• Coeficiente de correlación: interpretar $r$ como fuerte, moderada o débil
• Interpretar datos y hacer predicciones: tendencias generales en los datos
• Resolver ecuaciones lineales de dos pasos

Iniciadores de discusión

1. Una recta predice una nota de 112 sobre 100. ¿Qué ha fallado y cómo podrías haberlo visto antes de calcular?
2. ¿Cuándo conviene redondear una predicción hacia arriba en lugar de al entero más cercano?
3. Dos rectas dan predicciones con el mismo método. ¿Por qué podemos fiarnos mucho más de una que de la otra?
4. Las previsiones del tiempo son menos precisas para la semana que viene que para mañana. ¿En qué se parece eso a la extrapolación?

Conceptos erróneos comunes

Un valor predicho es lo que va a pasar seguro

Remediación: Muestra el diagrama de dispersión: los puntos reales quedan por encima y por debajo de la recta. Compara la predicción para 7 horas con las notas reales de 62 y 88 en los datos débiles.

Si la ecuación da un número, ese número tiene que tener sentido

Remediación: Haz que los alumnos extrapolen a propósito (12 horas de estudio, 15 horas de batería) y comparen las respuestas con la realidad: 112 puntos, -20 %.

Para hallar x para un objetivo, se pone el objetivo en lugar de x

Remediación: Pregunta primero: ¿el número dado es un valor de x o de y? Haz que escriban las unidades (horas o puntos) antes de plantear la ecuación.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con pendientes y ordenadas en el origen enteras
• Dar una tabla con el rango de los datos escrito encima de cada problema
• Practicar solo la predicción de y a partir de x antes de despejar x

Para estudiantes de nivel:

• Mezclar preguntas de predicción y de despejar x con pendientes decimales
• Clasificar cada predicción como interpolación o extrapolación
• Decidir la dirección del redondeo a partir del contexto

Para estudiantes avanzados:

• Comparar predicciones de datos fuertes y débiles y explicar la diferencia con r
• Hallar el valor de x a partir del cual un modelo da un resultado imposible (batería al 0 %, nota de 100)
• Investigar una previsión real y debatir hasta dónde extrapola

Alineación con estándares

8.SP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.SP.A.3)
Usar la ecuación de un modelo lineal para resolver problemas con datos de dos variables, interpretando la pendiente y la ordenada en el origen
HSS.ID.B.6.A (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.A)
Ajustar una función a los datos y usar las funciones ajustadas para resolver problemas en el contexto de los datos
HSS.ID.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.8)
Calcular (con tecnología) e interpretar el coeficiente de correlación de un ajuste lineal

Recursos de la lección

visualDeslizador de predicción
Los alumnos mueven x a lo largo de la recta de regresión y ven cómo cambian la predicción y la distancia al rango de los datos
activityPredice y comprueba
Los alumnos predicen valores a partir de datos de la clase y los comparan con mediciones reales en datos fuertes y débiles
worksheet¿Interpolación o extrapolación?
Práctica variada: predecir, despejar x, clasificar cada predicción y redondear según el contexto

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Cuando tienes una recta de regresión

\hat{y} = mx + b

, puedes usarla para hacer predicciones. El símbolo

\hat{y}

(se lee "y gorro") es el valor predicho: el valor que espera la recta, no un valor medido.

Hay dos tipos de preguntas:

**Predecir $y$ a partir de $x$ **: sustituye el valor de $x$ y calcula $\hat{y} = mx + b$ .
**Hallar $x$ para un objetivo $y$ **: iguala $mx + b$ al objetivo y despeja: $x = \frac{y - b}{m}$ .

Importa dónde está el valor de

x

Interpolación: $x$ está dentro del rango de los datos. La predicción suele ser razonable.
Extrapolación: $x$ está fuera del rango de los datos. El patrón puede no continuar, así que la predicción es arriesgada.

Cuánto puedes fiarte de una predicción depende de la fuerza de la correlación: cuando

r

está cerca de

1

o de

-1

, los puntos se pegan a la recta y las predicciones son fiables; cuando

r

está cerca de

0

, solo son estimaciones aproximadas.

Ejemplos resueltos

Una clase anotó las horas de estudio (

x

, de 1 a 8 horas) y las notas de un examen (

y

, sobre 100). La recta de regresión es

\hat{y} = 5x + 52

. Predice la nota de una alumna que estudia

6{,}5

horas.

Comprueba dónde está el valor de x

Los datos van de

1

8

horas, y

1 \le 6{,}5 \le 8

→ Dentro de los datos: interpolación

Sustituye x = 6,5 en la ecuación

\hat{y} = 5(6{,}5) + 52

→

\hat{y} = 5 \times 6{,}5 + 52

Multiplica

5 \times 6{,}5 = 32{,}5

Suma la ordenada en el origen

32{,}5 + 52 = 84{,}5

→

\hat{y} = 84{,}5

Respuesta: La nota predicha es $84{,}5$ , es decir, unos $85$ puntos. Como $6{,}5$ horas está dentro de los datos, es una interpolación y la predicción es razonable.

Errores comunes

Poner el valor objetivo de y en lugar de x: para una nota objetivo de $80$ , calcular $5(80) + 52 = 452$

Por qué está mal: $80$ es una nota, así que es un valor de $y$ . Sustituirlo por $x$ responde a otra pregunta (la nota tras 80 horas de estudio).

Correcto: Iguala la ecuación al objetivo y despeja $x$ : $80 = 5x + 52$ , así que $x = 5{,}6$ .

Fiarse de la extrapolación: predecir $112$ puntos para $12$ horas de estudio

Por qué está mal: El patrón solo se observó entre 1 y 8 horas. Fuera de ese rango puede cambiar, y aquí la nota ni siquiera puede pasar de 100.

Correcto: Comprueba siempre primero el rango de los datos. Marca las predicciones fuera de él como extrapolación y trátalas con cuidado.

Redondear sin pensar en la situación: dar $84{,}5$ puntos como exacto, o redondear $5{,}6$ horas a $5$

Por qué está mal: Una predicción es una estimación, y los decimales de más sugieren una precisión que no tiene. Redondear hacia abajo un objetivo puede dejarte corto (5 horas predicen solo 77 puntos).

Correcto: Redondea a la precisión de los datos, y redondea hacia arriba cuando tengas que alcanzar un objetivo o cubrir a todos (tiempo, sillas, autobuses).

Tratar todas las predicciones como igual de fiables

Por qué está mal: Siempre se puede calcular una recta, incluso con datos dispersos. Con $r \approx 0{,}21$ , los valores reales pueden estar lejos de $\hat{y}$ .

Correcto: Mira primero el diagrama de dispersión o $r$ : $|r|$ cerca de 1 significa una predicción fiable, $|r|$ cerca de 0 solo una estimación aproximada.

Por qué es importante

Las predicciones son la razón principal por la que se ajusta una recta a unos datos:

Planificación: una feria escolar predice cuántos visitantes vendrán para saber cuántas sillas colocar.
Salud: los médicos comparan la estatura de un niño con modelos de crecimiento para ver si crece con normalidad.
Apps de reparto: estiman cuánto tardará tu pedido a partir de la distancia al restaurante.
Baterías: los móviles estiman cuántas horas de batería quedan según lo rápido que se gasta.

Una predicción solo sirve si además sabes cuánto fiarte de ella. Distinguir interpolación y extrapolación, redondear con sentido y comprobar la correlación evita que te creas una nota de 112 sobre 100.

Aplicaciones del mundo real

Curvas de crecimiento infantil

Los médicos comparan la estatura de un niño con modelos de crecimiento. Un modelo sencillo para edades de 2 a 10 años es $\hat{y} = 6x + 77$, donde $x$ es la edad en años y $\hat{y}$ la estatura en cm. El modelo solo vale para esas edades: para un adulto de 40 años predeciría $317$ cm.

Ejemplo:

A los 5 años el modelo predice $6(5) + 77 = 107$ cm.

1Inténtalo tú mismo

Un modelo de crecimiento para edades de 2 a 10 años es $\hat{y} = 6x + 77$ (estatura en cm, edad $x$ en años).

¿Qué estatura predice el modelo para un niño de 8 años?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Sustituye $x = 8$ :

Estimar tiempos de entrega

Las apps de comida a domicilio ajustan rectas a pedidos anteriores para estimar los tiempos de entrega. Una app encontró $\hat{y} = 3x + 8$, donde $x$ es la distancia en km (pedidos de 1 a 12 km) e $\hat{y}$ el tiempo en minutos.

Ejemplo:

Para un restaurante a 5 km la app predice $3(5) + 8 = 23$ minutos.

2Inténtalo tú mismo

El modelo de reparto es $\hat{y} = 3x + 8$ (minutos, distancia $x$ en km, datos de 1 a 12 km). La app quiere prometer la entrega en 35 minutos.

¿Hasta qué distancia en km puede la app hacer esa promesa?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Despeja $x$ en $35 = 3x + 8$ :

Previsiones de batería del móvil

Los móviles estiman la batería que queda según lo rápido que se gasta. Las mediciones viendo vídeos dieron $\hat{y} = 100 - 8x$, donde $x$ son las horas de vídeo (datos de 0 a 10 horas) e $\hat{y}$ el nivel de batería en porcentaje.

Ejemplo:

Tras 6 horas de vídeo el modelo predice $100 - 8(6) = 52\%$ .

3Inténtalo tú mismo

El modelo de batería es $\hat{y} = 100 - 8x$ (porcentaje, $x$ en horas, datos de 0 a 10 horas). Alguien pregunta qué mostrará la batería tras 15 horas de vídeo.

¿Qué valor predice el modelo para 15 horas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Sustituye $x = 15$ :

Puntos clave

1Para predecir $y$ , sustituye $x$ en $\hat{y} = mx + b$ ; $\hat{y}$ es un valor predicho, no medido
2Para hallar la $x$ de un objetivo $y$ , iguala $mx + b$ al objetivo y despeja: $x = \frac{y - b}{m}$
3La interpolación predice dentro del rango de los datos y suele ser razonable
4La extrapolación predice fuera del rango de los datos y es arriesgada: puede dar incluso valores imposibles
5Redondea las predicciones a una precisión razonable, y hacia arriba cuando debas alcanzar un objetivo o cubrir a todos
6Las predicciones son fiables cuando $|r|$ está cerca de 1 y solo son estimaciones aproximadas cuando $r$ está cerca de 0

Preguntas frecuentes

¿Por qué escribimos $\hat{y}$ en lugar de $y$ ?

El gorro indica que el valor sale de la recta y es una predicción. El valor real, medido, es

y

. Separarlos te recuerda que un resultado real puede quedar por encima o por debajo de la predicción.

¿La extrapolación siempre está mal?

No siempre. Un poco fuera de los datos (por ejemplo

x = 0

x = 9

cuando los datos van de 1 a 8) la estimación todavía puede ser aceptable. Cuanto más te alejas, más probable es que el patrón cambie, así que di claramente que estás extrapolando.

¿Cuánto debe acercarse $r$ a 1 para una buena predicción?

Una regla práctica habitual:

|r| \ge 0{,}7

es fuerte, de

0{,}4

0{,}7

es moderada y por debajo de

0{,}4

es débil. Incluso con una correlación fuerte, una predicción concreta puede fallar por unos puntos.

¿Puedo usar la misma recta para predecir $x$ a partir de $y$ ?

Despejar

x

y = mx + b

da una buena estimación para planificar, como en el ejemplo de las horas de estudio. Quien en estadística quiera predecir solo

x

calcularía otra recta con

x

como variable respuesta, así que toma el resultado como una estimación.

Glosario

Valor predicho $\hat{y}$: El valor de $y$ que da la recta de regresión para una $x$ elegida
Rango de los datos: El intervalo desde el menor hasta el mayor valor de $x$ en los datos
Interpolación: Predicción para un valor de $x$ dentro del rango de los datos
Extrapolación: Predicción para un valor de $x$ fuera del rango de los datos; arriesgada porque el patrón puede cambiar
Variable explicativa: La variable $x$ que se usa para hacer la predicción (por ejemplo, las horas de estudio)
Variable respuesta: La variable $y$ que se predice (por ejemplo, la nota)

Tarjeta de fórmulas

Predecir y a partir de x

\hat{y} = mx + b

Sustituye el valor de x y calcula

Hallar x para un objetivo y

x = \frac{y - b}{m}

Resta la ordenada en el origen y después divide entre la pendiente

Comprobación de interpolación

x_{\min} \le x \le x_{\max}

Si x está dentro del rango de los datos, la predicción es una interpolación; si no, es una extrapolación

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Para profesores

Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Curvas de crecimiento infantil

Estimar tiempos de entrega

Previsiones de batería del móvil

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Predecir y a partir de x

Hallar x para un objetivo y

Comprobación de interpolación

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Recta de mejor ajuste