Guía del profesor: Identificar valores atípicos

Aprende qué es un valor atípico, cómo encontrarlo con la regla de 1,5 × IQR y cómo cambia la media, la mediana y el rango.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Dispersión y Variabilidad. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Explicar qué es un valor atípico en un conjunto de datos
Calcular los límites inferior y superior con la regla de 1,5 × IQR e identificar valores atípicos
Representar correctamente los valores atípicos en un diagrama de caja
Describir cómo afecta un valor atípico a la media, la mediana, el rango y el IQR
Decidir si un valor atípico es un error que hay que corregir o un valor real que hay que conservar

Requisitos previos

• Hallar la mediana, Q1, Q3 y el IQR (Rango y rango intercuartílico)
• Leer y dibujar diagramas de caja (Diagramas de caja (Caja y bigotes))
• Calcular la media de un conjunto de datos
• Idea básica de la desviación estándar (Desviación estándar), para la nota sobre la puntuación z

Iniciadores de discusión

1. Una corredora bate el récord mundial. ¿Es ese tiempo un valor atípico? ¿Habría que quitarlo de los datos?
2. ¿Por qué crees que las noticias suelen dar el precio mediano de la vivienda en lugar del precio medio?
3. Si quitas un valor atípico de un conjunto de datos, ¿qué cambia más: la media o la mediana? ¿Por qué?
4. ¿Puede un valor ser atípico en un conjunto de datos y normal en otro? Pon un ejemplo.
5. ¿Quién debería decidir si un valor extraño es un error, y qué información necesitaría?

Conceptos erróneos comunes

Los valores atípicos son siempre errores y hay que borrarlos

Remediación: Muestra valores atípicos reales (un salto récord, los ingresos de alguien a quien le ha tocado la lotería) junto a errores claros (una estatura de 1630 cm). Pide a los estudiantes que los clasifiquen y expliquen por qué solo los errores se pueden corregir o eliminar.

Solo los valores muy grandes pueden ser atípicos

Remediación: Usa un conjunto de datos con un valor atípico bajo, como las notas $3, 12, 13, \ldots$ . Haz que calculen siempre los dos límites, no solo el superior.

El valor más grande de un conjunto de datos es automáticamente atípico

Remediación: Da un conjunto en el que el máximo esté dentro del límite superior (por ejemplo $95$ con un límite de $96{,}25$ ). Recalca que deciden los límites, no la posición en la lista.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Dar Q1 y Q3 directamente para que solo practiquen los límites
• Usar una plantilla para completar: IQR, 1,5 × IQR, límite inferior, límite superior, valores atípicos
• Mostrar los límites en una recta numérica para que vean qué puntos quedan fuera

Para estudiantes de nivel:

• Encontrar valores atípicos en datos sin procesar de 8 a 12 valores
• Dibujar diagramas de caja con los valores atípicos como puntos sueltos
• Comparar la media y la mediana con y sin un valor atípico

Para estudiantes avanzados:

• Comparar la regla de 1,5 × IQR con la regla de las 2 desviaciones estándar en los mismos datos
• Encontrar un valor que quede justo en un límite y explicar por qué no es atípico
• Investigar un conjunto de datos real (temperaturas de una ciudad, resultados deportivos) y argumentar si cada valor atípico es un error o real

Alineación con estándares

6.SP.B.5c (CCSS.MATH.CONTENT.6.SP.B.5.C)
Dar medidas de centralización (mediana y/o media) y de dispersión (rango intercuartílico y/o desviación media absoluta), y describir el patrón general y cualquier desviación llamativa de ese patrón
6.SP.B.5d (CCSS.MATH.CONTENT.6.SP.B.5.D)
Relacionar la elección de las medidas de centralización y dispersión con la forma de la distribución y el contexto en el que se recogieron los datos
HSS-ID.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.3)
Interpretar diferencias de forma, centro y dispersión en el contexto de los conjuntos de datos, teniendo en cuenta el posible efecto de los valores extremos (valores atípicos)

Recursos de la lección

visualDiagrama de caja interactivo
Los estudiantes añaden y quitan valores y ven cómo aparecen los valores atípicos como puntos sueltos
activityCaza de datos en clase
Recoger un conjunto de datos de la clase (por ejemplo, el palmo de la mano o el tiempo de trayecto), hallar los límites y buscar valores atípicos
worksheet¿Error o real?
Conjuntos cortos con valores atípicos; los estudiantes hallan los límites y deciden si cada valor atípico es un error o un valor real

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Un valor atípico es un dato que está inusualmente lejos del resto de los datos. Es mucho más pequeño o mucho más grande que los demás valores.

La regla de 1,5 × IQR

Para decidir de forma justa si un valor es atípico, construimos dos límites (también llamados vallas) a partir de los cuartiles:

\text{Límite inferior} = Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}

\text{Límite superior} = Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}

donde

\text{IQR} = Q_3 - Q_1

es el rango intercuartílico. Cualquier valor por debajo del límite inferior o por encima del límite superior es un valor atípico. Un valor que está justo en un límite no es atípico.

Cómo encontrar valores atípicos

1.Ordena los datos y halla $Q_1$ y $Q_3$ (medianas de la mitad inferior y de la mitad superior, como en Rango y rango intercuartílico)
2.Calcula $\text{IQR} = Q_3 - Q_1$
3.Multiplica: $1{,}5 \times \text{IQR}$
4.Límite inferior $= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$ , límite superior $= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$
5.Todo valor fuera de los límites es un valor atípico

Valores atípicos en un diagrama de caja

En un diagrama de caja, los valores atípicos se dibujan como puntos sueltos. Los bigotes terminan en el valor más pequeño y en el más grande que no son atípicos.

Por qué importan

Un valor atípico arrastra la media y estira el rango, pero apenas mueve la mediana o el IQR. Por eso se dice que la mediana y el IQR son medidas robustas.

También existen otros métodos: con la desviación estándar, un valor que está a más de 2 o 3 desviaciones estándar de la media se suele considerar inusual (consulta Desviación estándar).

Ejemplos resueltos

Un conjunto de datos tiene

Q_1 = 20

Q_3 = 30

. ¿Cuáles de los valores

2

18

44

50

son atípicos?

Halla el IQR

\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 30 - 20

→

\text{IQR} = 10

Multiplica el IQR por 1,5

1{,}5 \times 10

→

15

Halla el límite inferior

Q_1 - 15 = 20 - 15

→ Límite inferior

= 5

Halla el límite superior

Q_3 + 15 = 30 + 15

→ Límite superior

= 45

Compara cada valor con los límites

2 < 5

(fuera),

18

44

están entre

5

45

(dentro),

50 > 45

(fuera) → Valores atípicos:

2

50

Respuesta: Solo $2$ y $50$ son valores atípicos. Los valores $18$ y $44$ están dentro de los límites $5$ y $45$ .

Errores comunes

Usar $Q_3 + \text{IQR}$ en lugar de $Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$

Por qué está mal: Si olvidas el factor $1{,}5$ , los límites quedan demasiado cerca de la caja y se marcan como atípicos valores normales.

Correcto: Multiplica siempre primero: $1{,}5 \times \text{IQR}$ , y después réstalo a $Q_1$ y súmalo a $Q_3$ .

Construir los límites desde la mediana, el mínimo o el máximo

Por qué está mal: La regla mide la distancia a la caja, y la caja termina en $Q_1$ y $Q_3$ .

Correcto: Límite inferior $= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$ , límite superior $= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$ . Nunca empieces desde la mediana ni desde los extremos.

Dibujar el bigote hasta el valor atípico

Por qué está mal: Así el valor atípico parece parte de la dispersión normal y el diagrama de caja lo esconde.

Correcto: El bigote termina en el valor más grande (o más pequeño) que no es atípico. Dibuja cada valor atípico como un punto suelto.

Borrar automáticamente todos los valores atípicos

Por qué está mal: Un valor atípico puede ser real e importante, como un tiempo récord o un pedido muy grande.

Correcto: Elimina o corrige un valor solo si es un error (fallo al teclear, instrumento roto, unidad equivocada). Conserva los valores atípicos reales y menciónalos, o usa la mediana y el IQR.

Por qué es importante

Los valores atípicos aparecen en cualquier sitio donde se recogen datos:

Bancos: un pago con tarjeta muy por encima de tus compras habituales se marca como posible fraude
Fábricas: una botella con mucho menos zumo que las demás es un valor atípico que el control de calidad retira de la línea
Ciencia: un termómetro que marca $52°C$ en un día templado probablemente tiene el sensor roto, no es una ola de calor
Deporte: un récord mundial es un valor atípico real, y es el valor más interesante de todos
Salarios: un solo salario muy alto hace que el salario medio parezca mucho mayor de lo que gana la mayoría de la gente

Encontrar valores atípicos te ayuda a descubrir errores, a fijarte en algo especial y a elegir la medida adecuada (media o mediana) para describir tus datos con honestidad.

Aplicaciones del mundo real

Detectar fraude con tarjeta

Los bancos comparan cada pago nuevo con tarjeta con los pagos habituales del cliente. Un pago por encima del límite superior puede activar una comprobación de seguridad.

Ejemplo:

Los pagos de una clienta tienen $Q_1 = 20$ dólares y $Q_3 = 60$ dólares. Un pago de 450 dólares está muy por encima del límite superior, así que el banco envía un SMS para confirmarlo.

1Inténtalo tú mismo

Los pagos habituales con tarjeta de una clienta tienen $Q_1 = 20$ dólares y $Q_3 = 60$ dólares. De repente aparece un pago de 450 dólares.

¿Cuál es el límite superior de los pagos de esta clienta (en dólares)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$ :

Control de calidad en una fábrica

Todas las botellas de zumo deberían contener más o menos la misma cantidad. Las botellas por debajo del límite inferior se retiran de la línea y se revisan.

Ejemplo:

Si la mayoría de las botellas contienen entre 498 mL y 502 mL, una botella con 480 mL está claramente poco llena, y puede que la máquina necesite una reparación.

2Inténtalo tú mismo

Los volúmenes de llenado de las botellas de zumo tienen $Q_1 = 498$ mL y $Q_3 = 502$ mL.

¿Cuál es el límite inferior (en mL)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$ :

Informar de un salario típico

Las noticias suelen dar el salario mediano en lugar de la media, porque unos pocos salarios muy altos tiran de la media hacia arriba.

Ejemplo:

En una empresa pequeña, cinco empleados ganan entre 30 y 38 mil dólares al año y la dueña gana 160 mil dólares. Su salario es un valor atípico.

3Inténtalo tú mismo

Salarios anuales en miles de dólares: $30, 32, 34, 36, 38, 160$ .

¿Cuál es el salario medio (en miles de dólares)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Suma los seis salarios y divide entre 6:

Puntos clave

1Un valor atípico es un valor inusualmente lejos del resto de los datos, ya sea muy pequeño o muy grande
2Regla de 1,5 × IQR: límite inferior $= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$ , límite superior $= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$
3Los valores por debajo del límite inferior o por encima del superior son atípicos; un valor justo en un límite no lo es
4En un diagrama de caja, los valores atípicos son puntos sueltos y los bigotes terminan en los últimos valores dentro de los límites
5Los valores atípicos arrastran la media y estiran el rango, mientras que la mediana y el IQR apenas cambian
6Corrige o elimina un valor atípico solo si es un error; conserva los valores atípicos reales y menciónalos

Preguntas frecuentes

¿Por qué 1,5 y no 1 o 2?

El factor

1{,}5

lo eligió el estadístico John Tukey porque funciona bien en la práctica: señala valores realmente inusuales sin marcar demasiados valores normales. Algunos libros también usan

3 \times \text{IQR}

para los valores atípicos "extremos".

¿Puede un conjunto de datos no tener valores atípicos, o tener más de uno?

Sí, las dos cosas. Muchos conjuntos de datos no tienen ningún valor atípico y otros tienen varios, a un lado o a ambos lados (como las temperaturas

2

52

de los ejemplos).

¿El mínimo o el máximo es siempre un valor atípico?

No. El mínimo y el máximo son solo el valor más pequeño y el más grande. Solo son atípicos si están fuera de los límites. Por ejemplo, en

60, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 95

el límite superior es

96{,}25

, así que el máximo

95

no es atípico.

¿Hay otra forma de encontrar valores atípicos?

Sí. Con la desviación estándar puedes medir a cuántas desviaciones estándar de la media está un valor (su puntuación z). Los valores a más de 2 o 3 desviaciones estándar se suelen considerar inusuales. La regla de 1,5 × IQR se usa en los diagramas de caja porque no depende de la media, que los valores atípicos distorsionan.

Glosario

Valor atípico: Un dato inusualmente alejado de los demás valores; según la regla de 1,5 × IQR, un valor por debajo del límite inferior o por encima del límite superior
Límite inferior (valla inferior): La frontera $Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$ ; los valores por debajo son atípicos
Límite superior (valla superior): La frontera $Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$ ; los valores por encima son atípicos
Regla de 1,5 × IQR: Un método para encontrar valores atípicos: colocar límites a 1,5 IQR por debajo de $Q_1$ y a 1,5 IQR por encima de $Q_3$
Medida robusta: Una medida que cambia muy poco cuando se añade un valor atípico, como la mediana y el IQR

Tarjeta de fórmulas

Rango intercuartílico

\text{IQR} = Q_3 - Q_1

La dispersión del 50 % central de los datos

Límite inferior

Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}

Los valores por debajo del límite inferior son atípicos

Límite superior

Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}

Los valores por encima del límite superior son atípicos

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Para profesores

Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

La regla de 1,5 × IQR

Cómo encontrar valores atípicos

Valores atípicos en un diagrama de caja

Por qué importan

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Detectar fraude con tarjeta

Control de calidad en una fábrica

Informar de un salario típico

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Rango intercuartílico

Límite inferior

Límite superior

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