Trouver le PPCM des expressions rationnelles

Apprends comment trouver le plus petit dénominateur commun (PPDC) des expressions rationnelles pour les additionner et les soustraire.

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Définition

Le Plus Petit Dénominateur Commun (PPDC) des expressions rationnelles est la plus petite expression par laquelle tous les dénominateurs se divisent exactement.
Pour trouver le PPDC :
  1. 1.Factorise chaque dénominateur complètement
  2. 2.Liste tous les facteurs uniques
  3. 3.Utilise chaque facteur le nombre maximal de fois qu'il apparaît dans un seul dénominateur
PPDC=Produit de tous les facteurs uniques aux puissances les plus eˊleveˊes\text{PPDC} = \text{Produit de tous les facteurs uniques aux puissances les plus élevées}
Exemple : Pour 1x2\frac{1}{x^2} et 1x3\frac{1}{x^3} :
  • Facteurs : x2=x⋅xx^2 = x \cdot x et x3=x⋅x⋅xx^3 = x \cdot x \cdot x
  • PPDC =x3= x^3 (utiliser xx trois fois, le maximum)

Essaie tout de suite

Quel est le PPDC de 34\frac{3}{4} et 56\frac{5}{6} ?

Exemples résolus

Trouve le PPDC de 56x2\frac{5}{6x^2} et 79x3\frac{7}{9x^3}
1

Factorise chaque dénominateur

6x2=2⋅3⋅x26x^2 = 2 \cdot 3 \cdot x^2 et 9x3=32⋅x39x^3 = 3^2 \cdot x^3 → Décompositions en facteurs premiers trouvées
2

Liste les facteurs uniques

Facteurs : 22, 33 et xx → Trois facteurs uniques
3

Prends la plus haute puissance de chacun

212^1 (de 6x26x^2), 323^2 (de 9x39x^3), x3x^3 (de 9x39x^3) → Plus hautes puissances identifiées
4

Multiplie ensemble

PPDC=2⋅32⋅x3=2⋅9⋅x3\text{PPDC} = 2 \cdot 3^2 \cdot x^3 = 2 \cdot 9 \cdot x^3 → 18x318x^3

Erreurs courantes

Multiplier les dénominateurs sans factoriser d'abord

Pourquoi c'est faux: Cela donne un dénominateur commun, mais pas le PLUS PETIT. Pour 1x+2\frac{1}{x+2} et 1x2−4\frac{1}{x^2-4}, multiplier donne (x+2)(x2−4)(x+2)(x^2-4), mais le PPDC est juste x2−4x^2-4.

Correct: Toujours factoriser d'abord, puis identifier les facteurs minimaux nécessaires.

Oublier d'utiliser la plus haute puissance des facteurs répétés

Pourquoi c'est faux: Avec (x−1)2(x-1)^2 et (x−1)(x-1), utiliser (x−1)(x-1) seulement une fois ne fonctionnera pas pour la première expression.

Correct: Utilise chaque facteur le nombre MAXIMUM de fois qu'il apparaît dans N'IMPORTE quel dénominateur.

Ne pas reconnaître les schémas de factorisation

Pourquoi c'est faux: Des expressions comme x2−9x^2-9 semblent non factorisables mais sont (x+3)(x−3)(x+3)(x-3).

Correct: Cherche les différences de carrés, les trinômes carrés parfaits et autres schémas.

Traiter (x−3)(x-3) et (3−x)(3-x) comme des facteurs différents

Pourquoi c'est faux: (3−x)=−(x−3)(3-x) = -(x-3), donc ce sont le même facteur (avec une différence de signe).

Correct: Factorise −1-1 : 13−x=−1x−3\frac{1}{3-x} = \frac{-1}{x-3}

Visuel interactif

Arbre de facteurs

Nombre:
Composé
Premier

Entre un nombre pour voir son arbre de facteurs et sa décomposition en facteurs premiers.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

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Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Quel est le PPDC de 34\frac{3}{4} et 56\frac{5}{6} ?

Pourquoi c'est important

Trouver le PPDC est essentiel pour :
  • Additionner/Soustraire des expressions rationnelles : On ne peut pas additionner 2x\frac{2}{x} et 3x+1\frac{3}{x+1} directement car ils ont des dénominateurs différents
  • Résoudre des équations rationnelles : Multiplier les deux côtés par le PPDC élimine toutes les fractions
  • Simplifier des fractions complexes : Le PPDC aide à éliminer les fractions imbriquées
  • Applications réelles : Les calculs d'ingénierie, les formules de physique et les modèles financiers nécessitent souvent de combiner des fractions avec des dénominateurs polynomiaux
Sans le PPDC, travailler avec des expressions rationnelles serait presque impossible !

Applications dans le monde réel

Problèmes de travail combiné

Quand deux machines ou travailleurs accomplissent une tâche à des rythmes différents, on additionne leurs taux de travail, qui sont des fractions.

Exemple:

La machine A accomplit une tâche en xx heures (taux : 1x\frac{1}{x}), la machine B en x+2x+2 heures (taux : 1x+2\frac{1}{x+2}). Taux combiné : 1x+1x+2\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2}. PPDC : x(x+2)x(x+2).

1Essaie par toi-même

Tu dois additionner 1x\frac{1}{x} et 1x+2\frac{1}{x+2} pour trouver le taux combiné.

Quel est le PPDC ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve le PPDC de xx et (x+2)(x+2) :

Circuits électriques

Les résistances en parallèle se combinent avec la formule $\frac{1}{R_T} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$, nécessitant le PPDC pour résoudre.

Exemple:

Avec des résistances de xx ohms et (x+5)(x+5) ohms : 1RT=1x+1x+5\frac{1}{R_T} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}. PPDC : x(x+5)x(x+5).

2Essaie par toi-même

Deux résistances ont des résistances de xx et 2x2x ohms.

De quel PPDC as-tu besoin pour additionner 1x+12x\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve le PPDC de xx et 2x2x :

Points clés

  • 1Le PPDC des expressions rationnelles est la plus petite expression qui contient tous les dénominateurs comme facteurs
  • 2Étape 1 : Factorise chaque dénominateur complètement
  • 3Étape 2 : Identifie tous les facteurs uniques dans tous les dénominateurs
  • 4Étape 3 : Utilise chaque facteur le nombre maximum de fois qu'il apparaît dans un seul dénominateur
  • 5Les paires de facteurs comme (x−a)(x-a) et (a−x)(a-x) ne diffèrent que par −1-1
  • 6Le PPDC est essentiel pour additionner, soustraire et résoudre les expressions rationnelles

Questions fréquentes

C'est le même concept ! Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) s'applique aux nombres, tandis que le PPDC (Plus Petit Dénominateur Commun) est spécifiquement utilisé pour les fractions. Le PPDC des fractions EST le PPCM de leurs dénominateurs.
C'est le même concept ! Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) s'applique aux nombres, tandis que le PPDC (Plus Petit Dénominateur Commun) est spécifiquement utilisé pour les fractions. Le PPDC des fractions EST le PPCM de leurs dénominateurs.
Oui, cela donne UN dénominateur commun, mais pas toujours le PLUS PETIT. Utiliser le PPDC garde les nombres plus petits et facilite la simplification. Pour 14\frac{1}{4} et 16\frac{1}{6}, multiplier donne 24, mais le PPDC est 12.
Alors le PPDC est simplement le produit de tous les dénominateurs. Pour 1x−1\frac{1}{x-1} et 1x+3\frac{1}{x+3}, le PPDC est (x−1)(x+3)(x-1)(x+3).

Glossaire

PPDC
Plus Petit Dénominateur Commun - la plus petite expression par laquelle tous les dénominateurs se divisent exactement
PPCM
Plus Petit Commun Multiple - le plus petit nombre/expression qui est un multiple de toutes les valeurs données
Facteur
Une expression qui divise exactement une autre expression
Facteur premier
Un facteur qui ne peut pas être décomposé davantage (pour les polynômes : facteurs linéaires)
Défi du jourUn problème, trois essais

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