Guide de l'enseignant: Équation du pourcentage

Résous tout problème de pourcentage avec une seule équation : partie = taux × tout. Trouve la partie, le tout ou le pourcentage, même au-dessus de 100 % et sous 1 %.

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Quiz de classe

10 questions sur Pourcentages. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Traduire des phrases avec des pourcentages en équations, avec "est" pour = et "de" pour ×
Utiliser partie = taux × tout avec le taux sous forme décimale
Trouver le tout et le taux, et écrire le taux en pourcentage
Calculer avec des pourcentages supérieurs à 100 % et inférieurs à 1 %
Comparer l'équation du pourcentage avec la méthode de la proportion

Prérequis

• Introduction aux pourcentages : transformer un pourcentage en nombre décimal
• Calculer le pourcentage d'un nombre : multiplier un tout par un pourcentage
• Résoudre des équations à une étape comme $0{,}25x = 30$
• Proportion et pourcentage : $\frac{\text{partie}}{\text{tout}} = \frac{p}{100}$ (utile pour la comparaison)

Amorces de discussion

1. Dans "30 est 25 % de quel nombre ?", quel nombre est la partie et lequel manque ? Comment le sais-tu ?
2. 150 % d'un nombre peuvent-ils être plus petits que ce nombre ? Pourquoi ?
3. Pourquoi 0,4 % n'est-il pas égal à 0,4 ? Qu'est-ce qui irait de travers dans un calcul ?
4. Tu as résolu le même problème avec une équation et avec une proportion. Laquelle était la plus facile, et pourquoi ?
5. Dans la vie réelle, quand connais-tu la partie et le pourcentage mais pas le tout ?

Idées reçues courantes

Le plus grand nombre est toujours le tout

Remédiation: Montre "42 est 150 % de quel nombre ?" : la partie 42 est plus grande que le tout 28. Apprends aux élèves à repérer le tout grâce au mot "de", pas grâce à sa taille.

Dans l'équation, le taux peut rester sous forme de pourcentage (25 au lieu de 0,25)

Remédiation: Résous avec la classe $30 = 25x$ pour obtenir $x = 1{,}2$ . Demande si 30 peut vraiment être 25 % de 1,2. Résous ensuite $30 = 0{,}25x$ et vérifie avec $0{,}25 \times 120 = 30$ .

Un pourcentage sous 1 % est la même chose qu'un décimal inférieur à 1

Remédiation: Écris $40\,\%$ , $4\,\%$ , $0{,}4\,\%$ les uns sous les autres et divise chacun par 100 : $0{,}4$ , $0{,}04$ , $0{,}004$ . Relie cela à l'argent : 0,4 % de 1000 € ne font que 4 €.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Donne un modèle "___ est ___ % de ___" ; les élèves écrivent deux nombres et marquent l'inconnue
• Commence par des taux simples (10 %, 25 %, 50 %) avant des taux comme 35 % ou 0,4 %
• Fais vérifier chaque réponse en la remplaçant dans partie = taux × tout

Pour les élèves au niveau:

• Mélange dans une même série des problèmes qui demandent la partie, le tout ou le pourcentage
• Ajoute des problèmes sur des acomptes, des notes et des intérêts
• Résous deux problèmes avec l'équation et avec la proportion, puis compare

Pour les élèves avancés:

• Travaille avec des taux comme 0,25 % et 260 % et explique leur sens
• Invente un problème de pourcentage pour chaque quantité inconnue
• Trouve le tout quand la partie est un prix après une hausse, par exemple 72 est 120 % du prix de l'année dernière

Alignement aux standards

7.RP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.RP.A.3)
Utiliser la proportionnalité pour résoudre des problèmes de rapports et de pourcentages en plusieurs étapes
6.RP.A.3c (CCSS.MATH.CONTENT.6.RP.A.3.C)
Calculer un pourcentage d'une quantité comme un taux pour 100 ; retrouver le tout à partir d'une partie et du pourcentage
7.EE.B.4a (CCSS.MATH.CONTENT.7.EE.B.4.A)
Résoudre des problèmes menant à des équations de la forme px + q = r et p(x + q) = r

Ressources de la leçon

visualRésolveur d'équations pas à pas
Les élèves résolvent des équations du pourcentage comme $0{,}25x = 30$ étape par étape
visualBande de pourcentage
Une bande partagée en 25 % et 75 % montre comment une partie de 30 correspond à un tout de 120
activityTraduis la phrase
Des cartes avec des phrases de pourcentage ; les élèves entourent "est" et "de" et écrivent l'équation correspondante
worksheetTrouve la pièce manquante
Un tableau partie, taux, tout avec une valeur manquante par ligne, y compris des taux au-dessus de 100 % et sous 1 %

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

L'équation du pourcentage relie trois quantités par une seule multiplication :

\text{partie} = \text{taux} \times \text{tout}

Le tout (valeur de référence) est la quantité totale dont tu prends un pourcentage (100 %).
Le taux est le pourcentage écrit sous forme décimale : $25\,\% = 0{,}25$ , $150\,\% = 1{,}5$ , $0{,}4\,\% = 0{,}004$ .
La partie est la quantité que décrit le pourcentage.

Traduire les mots en équation :

"est" devient $=$
"de" devient $\times$
"quel nombre" ou "quel pourcentage" devient l'inconnue $x$

Ainsi, "30 est 25 % de quel nombre ?" devient

30 = 0{,}25x

Si tu connais deux des trois quantités, tu peux toujours trouver la troisième :

partie : multiplie, $\text{partie} = \text{taux} \times \text{tout}$
tout : divise, $\text{tout} = \text{partie} \div \text{taux}$
taux : divise, $\text{taux} = \text{partie} \div \text{tout}$ , puis multiplie par 100 pour obtenir le pourcentage

Exemples résolus

Quel nombre est 35 % de 80 ?

Traduis les mots

"Quel nombre" est $x$ , "est" est $=$ , "de" est $\times$ → $x = 35\,\% \times 80$

Écris le taux sous forme décimale

$35\,\% = 35 \div 100 = 0{,}35$ → $x = 0{,}35 \times 80$

Multiplie

$0{,}35 \times 80 = 28$ → $x = 28$

Réponse: 28 est 35 % de 80.

Erreurs courantes

Utiliser le nombre du pourcentage au lieu du décimal : écrire $30 = 25x$ et trouver $x = 1{,}2$

Pourquoi c'est faux: Dans l'équation, le taux doit être un nombre décimal. 25 % signifie 25 pour cent, c'est-à-dire $0{,}25$ , pas $25$ .

Correct: Divise d'abord le pourcentage par 100 : $30 = 0{,}25x$ , donc $x = 120$ .

Confondre la partie et le tout : pour "30 est 25 % de quel nombre ?", calculer $0{,}25 \times 30 = 7{,}5$

Pourquoi c'est faux: Le nombre après "de" est le tout. Ici, le tout est l'inconnue et 30 est la partie, donc 30 se place à gauche du signe égal.

Correct: Traduis mot à mot : $30 = 0{,}25 \times x$ , donc $x = 120$ .

Oublier de multiplier par 100 pour trouver le taux : répondre "0,4 %" à "18 est quel pourcentage de 45 ?"

Pourquoi c'est faux: La partie divisée par le tout donne le taux sous forme décimale ( $0{,}4$ ). Le pourcentage est ce décimal multiplié par 100.

Correct: $18 \div 45 = 0{,}4$ et $0{,}4 \times 100 = 40$ , la réponse est donc $40\,\%$ .

Écrire un petit pourcentage avec le mauvais décimal : $0{,}4\,\% = 0{,}04$ ou $0{,}4\,\% = 0{,}4$

Pourquoi c'est faux: Chaque pourcentage se divise par 100, même les petits. Décale la virgule de deux rangs vers la gauche : $0{,}4 \to 0{,}004$ .

Correct: $0{,}4\,\% = 0{,}004$ , donc 0,4 % de 500 est $0{,}004 \times 500 = 2$ .

Pourquoi c'est important

Dans la leçon "Calculer le pourcentage d'un nombre", tu connaissais toujours le tout et le pourcentage. Les vrais problèmes cachent souvent une autre inconnue :

Achats : tu verses un acompte de 45 €, soit 15 % du prix. Quel est le prix total ? (le tout manque)
Notes : tu as 34 points sur 40. Quel pourcentage cela fait-il ? (le taux manque)
Épargne : un compte rapporte 0,8 % d'intérêts par an. Combien dois-tu placer pour gagner 36 € ? (un taux sous 1 %)
Croissance : une ville compte aujourd'hui 260 % de son ancienne population. (un taux au-dessus de 100 %)

L'équation du pourcentage règle tous ces cas avec la même courte ligne,

\text{partie} = \text{taux} \times \text{tout}

, et la résolution d'équations que tu connais déjà.

Applications dans le monde réel

Verser un acompte

Les magasins demandent souvent un acompte égal à un pourcentage du prix total. L'acompte est la partie, et le prix total est le tout que tu dois parfois retrouver.

Exemple:

Un acompte de 60 € qui représente 20 % du prix donne $60 = 0{,}2x$ , le prix est donc $60 \div 0{,}2 = 300$ €.

1Essaie par toi-même

Mia verse un acompte de 45 € pour un vélo. L'acompte représente 15 % du prix total.

Quel est le prix total du vélo en euros ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Divise la partie par le taux :

Notes et lancers francs

Les professeurs et les entraîneurs transforment "tant sur tant" en pourcentage. Ici, c'est le taux qui est inconnu.

Exemple:

Une basketteuse réussit 34 lancers francs sur 40 : $34 = r \times 40$ , $r = 0{,}85$ , elle réussit donc $85\,\%$ de ses tirs.

2Essaie par toi-même

À un contrôle noté sur 80 points, Léo obtient 68 points.

Quel pourcentage des points Léo a-t-il obtenu ? Donne le nombre sans le signe %.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Divise la partie par le tout et multiplie par 100 :

Intérêts d'épargne sous 1 %

Les livrets d'épargne rapportent souvent moins de 1 % d'intérêts par an. Les intérêts sont la partie, l'argent placé est le tout.

Exemple:

À 0,5 % d'intérêts, 2400 € rapportent $0{,}005 \times 2400 = 12$ € en un an.

3Essaie par toi-même

Un livret d'épargne rapporte 0,8 % d'intérêts par an. Au bout d'un an, Sara a gagné 36 € d'intérêts.

Combien d'euros y avait-il sur le livret de Sara ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Divise les intérêts par le taux sous forme décimale :

Points clés

1L'équation du pourcentage est $\text{partie} = \text{taux} \times \text{tout}$ , avec le taux sous forme décimale
2Traduis mot à mot : "est" devient $=$ , "de" devient $\times$ , "quel nombre" devient l'inconnue
3Pour trouver le tout, divise : $\text{tout} = \text{partie} \div \text{taux}$
4Pour trouver le pourcentage, divise la partie par le tout et multiplie par 100
5Au-dessus de 100 %, le taux est plus grand que 1 ( $150\,\% = 1{,}5$ ) et la partie dépasse le tout ; sous 1 %, le taux commence par $0{,}00$ ( $0{,}4\,\% = 0{,}004$ )
6L'équation et la proportion $\frac{\text{partie}}{\text{tout}} = \frac{p}{100}$ donnent toujours la même réponse

Questions fréquentes

Dois-je utiliser l'équation du pourcentage ou la proportion ?

Les deux donnent toujours la même réponse. L'équation

\text{partie} = \text{taux} \times \text{tout}

est plus courte quand tu transformes facilement le pourcentage en décimal. La proportion

\frac{\text{partie}}{\text{tout}} = \frac{p}{100}

(leçon "Proportion et pourcentage") garde le pourcentage en nombre entier et paraît plus sûre avec des décimaux difficiles. Choisis celle qui te semble la plus claire.

La partie peut-elle être plus grande que le tout ?

Oui, quand le pourcentage dépasse 100 %. Par exemple, 150 % de 28 font 42, ce qui est plus grand que 28. Cela arrive souvent avec la croissance, les prix et les populations.

Comment savoir quel nombre est le tout ?

Cherche le mot "de" : le tout vient en général juste après. Dans "18 est quel pourcentage de 45", le tout est 45. Le nombre à côté de "est" est en général la partie.

Pourquoi multiplier par 100 à la fin quand je cherche un pourcentage ?

La partie divisée par le tout donne le taux sous forme décimale, par exemple

0{,}4

. Pour cent signifie "sur cent", donc

0{,}4 = \frac{40}{100} = 40\,\%

Glossaire

Équation du pourcentage: L'équation $\text{partie} = \text{taux} \times \text{tout}$ qui relie un pourcentage à deux quantités.
Tout (valeur de référence): La quantité totale dont tu prends un pourcentage ; elle correspond à 100 %. En général, elle vient après le mot "de".
Partie: La quantité égale à un certain pourcentage du tout.
Taux: Le pourcentage écrit sous forme décimale, par exemple $35\,\% = 0{,}35$ .
Inconnue: La quantité qui manque dans l'équation, notée par une lettre comme $x$ ou $r$ .

Carte des formules

Équation du pourcentage

\text{partie} = \text{taux} \times \text{tout}

Pour trouver la partie : multiplie le taux (sous forme décimale) par le tout.

Trouver le tout

\text{tout} = \text{partie} \div \text{taux}

Divise la partie par le taux sous forme décimale, par exemple $30 \div 0{,}25 = 120$.

Trouver le pourcentage

\text{taux} = \text{partie} \div \text{tout}

Divise la partie par le tout, puis multiplie par 100 pour obtenir le pourcentage.

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Pour les élèves au niveau:

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Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Verser un acompte

Notes et lancers francs

Intérêts d'épargne sous 1 %

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Équation du pourcentage

Trouver le tout

Trouver le pourcentage

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