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Guide de l'enseignant: Majoration et réduction de prix

Apprends comment un magasin fixe ses prix avec une majoration du prix d'achat et les baisse avec une réduction, et comment trouver le taux, le prix initial et le résultat de remises successives.

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Quiz de classe

10 questions sur Pourcentages. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage
  • Calculer un prix de vente à partir d'un prix d'achat et d'un taux de majoration
  • Calculer un prix soldé à partir d'un prix initial et d'un taux de réduction
  • Trouver le taux de majoration ou de réduction à partir de deux prix, avec la bonne référence
  • Retrouver le prix initial quand le prix soldé et la réduction sont connus
  • Expliquer pourquoi des remises successives, ou une majoration suivie d'une réduction, ne s'additionnent pas simplement
Prérequis
  • • Calculer le pourcentage d'un nombre
  • • Augmentation et diminution en pourcentage (coefficients 1 + p et 1 - d)
  • • Multiplier et diviser des nombres décimaux
Amorces de discussion
  • 1. Un magasin annonce 20 % de réduction plus 10 % supplémentaires. Est-ce la même chose que 30 % ? Comment convaincrais-tu un ami ?
  • 2. Pourquoi les magasins ajoutent-ils une majoration ? Quels frais doit-elle couvrir ?
  • 3. Un article est majoré de 25 % puis réduit de 25 %. Le magasin revient-il au prix de départ ?
  • 4. Une étiquette indique seulement le prix soldé et -30 %. Comment peux-tu retrouver le prix initial ?
  • 5. Préférerais-tu 15 % de réduction puis encore 15 %, ou 30 % en une fois ? Pourquoi ?
Idées reçues courantes

Des réductions successives s'additionnent (20 % + 10 % = 30 %)

Remédiation: Prends un prix de 100 : après 20 % de réduction il vaut 80, et 10 % de 80 font seulement 8, donc le prix est 72. Le diagramme en barres avec 200, 160, 144 et 140 montre l'écart.

Le prix initial est le prix soldé plus le pourcentage de réduction du prix soldé

Remédiation: Fais vérifier la réponse aux élèves : 63 + 30 % de 63 = 81,90, mais 30 % de réduction sur 81,90 donnent 57,33, pas 63. Montre ensuite l'équation Prix initial × 0,70 = 63.

Une réduction du même pourcentage annule une majoration

Remédiation: Dessine deux schémas en barres de longueurs différentes : 25 % du prix de vente, plus long, est un morceau plus grand que 25 % du prix d'achat.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

  • • Commencer avec des prix de 100 pour que le pourcentage et le montant soient le même nombre
  • • Utiliser des schémas en barres de 10 cases égales pour montrer des étapes de 10 %
  • • Travailler majorations et réductions séparément avant de les mélanger

Pour les élèves au niveau:

  • • Trouver le taux de majoration ou de réduction à partir de deux prix
  • • Calculer à l'envers d'un prix soldé vers le prix initial
  • • Comparer deux remises successives avec une seule remise

Pour les élèves avancés:

  • • Trouver la réduction qui annule exactement une majoration donnée (25 % de hausse demande 20 % de baisse)
  • • Comparer le taux de majoration sur le prix d'achat avec le taux de marque sur le prix de vente
  • • Trouver la réduction unique équivalente à trois remises successives
Alignement aux standards
  • 7.RP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.RP.A.3)

    Utiliser la proportionnalité pour résoudre des problèmes de pourcentages en plusieurs étapes, comme les majorations, réductions, taxes et commissions

  • 7.EE.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.EE.B.3)

    Résoudre des problèmes concrets et mathématiques en plusieurs étapes avec des nombres rationnels positifs et négatifs sous toutes leurs formes

Ressources de la leçon
  • visualSchémas en barres pour prix d'achat, majoration et réduction

    Montre le prix d'achat comme 100 % avec la majoration ajoutée, et le prix initial comme 100 % avec la réduction enlevée

  • activityFixer les prix d'une boutique de classe

    Des groupes achètent des articles à un prix d'achat, choisissent une majoration, préparent des soldes de fin de saison et vérifient qu'ils font encore un bénéfice

  • worksheetQuelle offre est la meilleure ?

    Comparer des bons cumulés avec des réductions simples et trouver la vraie réduction totale

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Un magasin achète un article à son prix d'achat et le revend à un prix de vente plus élevé. Le montant ajouté est la majoration (la marge). Plus tard, le magasin peut baisser le prix : cette baisse est une réduction (aussi appelée remise), et le nouveau prix est le prix soldé.
Les deux se calculent avec un coefficient multiplicateur :
Prix de vente=Prix d’achat×(1+p)\text{Prix de vente} = \text{Prix d'achat} \times (1 + p)
Prix soldeˊ=Prix initial×(1−d)\text{Prix soldé} = \text{Prix initial} \times (1 - d)
Ici pp est le taux de majoration et dd le taux de réduction, écrits en nombres décimaux (25 % = 0,250{,}25).
Quel prix sert de référence ?
  • Un taux de majoration est toujours un pourcentage du prix d'achat.
  • Un taux de réduction est toujours un pourcentage du prix initial (le prix avant les soldes).
Deux changements successifs se multiplient : 20 % puis 10 % de réduction donnent 0,80×0,90=0,720{,}80 \times 0{,}90 = 0{,}72, donc tu paies 72 % et tu économises 28 %, pas 30 %.

Exemples résolus

Un magasin de sport achète un sac à dos 40 € et applique une majoration de 35 %. Quel est le prix de vente ?

1

Calcule la majoration (un pourcentage du prix d'achat)

40×0,35=1440 \times 0{,}35 = 14 € → Majoration = 14 €

2

Ajoute-la au prix d'achat

40+14=5440 + 14 = 54 €

3

Vérifie avec le coefficient

40×1,35=5440 \times 1{,}35 = 54 → Même résultat

Erreurs courantes

Additionner deux réductions : 20 % puis 10 % de remise = 30 % de remise

Pourquoi c'est faux: La deuxième réduction se calcule sur le prix déjà réduit, qui est plus petit que le prix initial, donc elle fait économiser moins.

Correct: Multiplie les coefficients : 0,80×0,90=0,720{,}80 \times 0{,}90 = 0{,}72. Tu paies 72 %, donc la réduction totale est de 28 %.

Retrouver le prix initial en ajoutant le pourcentage au prix soldé (63+30 %63 + 30\,\% de 63=81,9063 = 81{,}90)

Pourquoi c'est faux: Les 30 % étaient un pourcentage du prix initial, pas du prix soldé. Prendre le prix soldé comme référence donne un nombre trop petit.

Correct: Divise par le coefficient : 63÷0,70=9063 \div 0{,}70 = 90. Vérification : 90×0,70=6390 \times 0{,}70 = 63.

Diviser la majoration par le prix de vente (90340≈26 %\frac{90}{340} \approx 26\,\%)

Pourquoi c'est faux: Un taux de majoration se mesure toujours par rapport au prix d'achat, le prix que le magasin a payé.

Correct: Taux de majoration =majorationprix d’achat×100 %= \frac{\text{majoration}}{\text{prix d'achat}} \times 100\,\%, ici 90250=36 %\frac{90}{250} = 36\,\%.

Croire qu'une réduction de 25 % annule une majoration de 25 %

Pourquoi c'est faux: La réduction se calcule sur le prix de vente, plus grand, donc elle enlève plus que ce que la majoration a ajouté : 80×1,25=10080 \times 1{,}25 = 100, puis 100×0,75=75100 \times 0{,}75 = 75.

Correct: Le prix finit 5 en dessous du prix d'achat de 80. Pour revenir de 100 à 80, il faut une réduction de 20 % : 100×0,80=80100 \times 0{,}80 = 80.

Pourquoi c'est important

Dans la leçon Augmentation et diminution en pourcentage, tu as appris les coefficients 1+p1 + p et 1−d1 - d. La majoration et la réduction, c'est là que ces coefficients rencontrent l'argent réel :
  • Les magasins ajoutent une majoration pour payer le loyer, le personnel et leur bénéfice avant de mettre un article en rayon.
  • Les soldes comme 40 % de réduction sont des baisses calculées sur le prix initial.
  • Les bons cumulés (encore 15 % de remise à la caisse) sont des remises successives, et ils font toujours économiser moins que la somme des deux pourcentages.
  • Les étiquettes n'affichent souvent que le prix soldé, alors savoir retrouver le prix initial est une bonne vérification.
  • Les petits commerces doivent savoir si un prix soldé reste au-dessus du prix d'achat.
Avec ces compétences, tu peux vérifier n'importe quelle étiquette et voir quelle offre est vraiment la meilleure.

Applications dans le monde réel

Les prix dans un magasin de vêtements

Les magasins de mode majorent souvent beaucoup les nouveaux articles et les soldent en fin de saison. La question est de savoir si le prix soldé couvre encore le prix d'achat.

Exemple:

Une chemise achetée 20 € avec une majoration de 100 % est vendue 20×2=4020 \times 2 = 40 €. À moitié prix plus tard, elle coûte 20 € : aucun bénéfice.

1Essaie par toi-même

Un magasin achète une robe 60 € et la majore de 50 %. En fin de saison, la robe est réduite de 30 %.

Quel est le prix soldé final en euros ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Applique d'abord la majoration, puis la réduction :

Bons de réduction cumulés les jours de promotion

Les grands jours de promotion, les magasins proposent souvent une réduction plus un bon supplémentaire à la caisse. Le bon se calcule sur le prix déjà réduit.

Exemple:

50 % de réduction puis encore 50 %, ce n'est pas gratuit : 0,5×0,5=0,250{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25, donc tu paies encore 25 % du prix.

2Essaie par toi-même

Une télévision coûte 500 €. Elle est réduite de 20 %, et un bon enlève encore 15 % du prix réduit.

Quel est le taux de réduction total ? (Écris seulement le nombre.)

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Compare le prix final au prix initial :

Lire une étiquette de soldes

Les magasins d'usine affichent souvent seulement le prix soldé et la réduction. En calculant à l'envers, tu retrouves le prix initial et ce que tu économises vraiment.

Exemple:

Une étiquette indique -25 %, maintenant 30 €. Le prix initial était 30÷0,75=4030 \div 0{,}75 = 40 €.

3Essaie par toi-même

Une paire de baskets porte l'étiquette : -40 %, maintenant 48 €.

Quel était le prix initial en euros ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Divise le prix soldé par le coefficient :

Points clés

  • 1Prix de vente = prix d'achat × (1 + taux de majoration) ; le taux de majoration est un pourcentage du prix d'achat
  • 2Prix soldé = prix initial × (1 - taux de réduction) ; le taux de réduction est un pourcentage du prix initial
  • 3Taux de majoration = majoration ÷ prix d'achat × 100 % ; taux de réduction = réduction ÷ prix initial × 100 %
  • 4Pour retrouver le prix initial à partir du prix soldé, divise par le coefficient (63 ÷ 0,70 = 90), n'ajoute jamais le pourcentage
  • 5Les remises successives se multiplient : 20 % puis 10 % de remise donnent 0,80 × 0,90 = 0,72, soit 28 % de remise, pas 30 %
  • 6Une majoration suivie d'une réduction du même pourcentage finit en dessous du départ : 1,25 × 0,75 = 0,9375

Questions fréquentes

La majoration, est-ce la même chose que le taux de marque ?

Non. Le taux de majoration (taux de marge) est un pourcentage du prix d'achat, le taux de marque un pourcentage du prix de vente. Un article acheté 80 et vendu 100 a une majoration de 25 % (20 sur 80) mais un taux de marque de 20 % (20 sur 100).

Une majoration peut-elle dépasser 100 % ?

Oui. Une majoration de 100 % double le prix d'achat, et avec 200 % le prix de vente vaut trois fois le prix d'achat. Certains magasins utilisent des majorations aussi grandes sur les articles bon marché.

Une réduction peut-elle dépasser 100 % ?

Non. Une réduction de 100 % rend déjà le prix égal à 0. Un magasin ne peut pas enlever plus que le prix entier.

L'ordre de deux réductions a-t-il de l'importance ?

Non. On peut multiplier dans n'importe quel ordre : 0,80×0,90=0,90×0,80=0,720{,}80 \times 0{,}90 = 0{,}90 \times 0{,}80 = 0{,}72. 20 % puis 10 % de remise donnent le même prix que 10 % puis 20 %.

Glossaire

Prix d'achat
Le prix que le magasin paie pour un article
Prix de vente
Le prix demandé aux clients : prix d'achat plus majoration
Majoration
Le montant (ou le pourcentage du prix d'achat) que le magasin ajoute au prix d'achat
Réduction (remise)
Le montant (ou le pourcentage du prix initial) enlevé d'un prix
Prix soldé
Le prix après une réduction
Coefficient multiplicateur
Le nombre par lequel on multiplie pour appliquer une évolution en pourcentage, par exemple 1,35 pour une majoration de 35 % ou 0,60 pour 40 % de réduction

Carte des formules

Prix de vente

Prix de vente=Prix d’achat×(1+p)\text{Prix de vente} = \text{Prix d'achat} \times (1 + p)

Appliquer une majoration de taux p au prix d'achat

Prix soldé

Prix soldeˊ=Prix initial×(1−d)\text{Prix soldé} = \text{Prix initial} \times (1 - d)

Appliquer une réduction de taux d au prix initial

Taux de majoration

Prix de vente−Prix d’achatPrix d’achat×100 %\frac{\text{Prix de vente} - \text{Prix d'achat}}{\text{Prix d'achat}} \times 100\,\%

La référence est le prix d'achat

Taux de réduction

Prix initial−Prix soldeˊPrix initial×100 %\frac{\text{Prix initial} - \text{Prix soldé}}{\text{Prix initial}} \times 100\,\%

La référence est le prix initial

Prix initial

Prix initial=Prix soldeˊ1−d\text{Prix initial} = \frac{\text{Prix soldé}}{1 - d}

Calculer à l'envers à partir d'un prix soldé

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