Guide de l'enseignant: Proportion et pourcentage

Utilise la proportion partie/tout = pourcentage/100 pour trouver une partie, un tout ou un pourcentage manquant grâce au produit en croix.

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Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Pourcentages. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Repérer la partie, le tout et le pourcentage dans un problème
Écrire la proportion partie/tout = p/100 pour un problème donné
Résoudre la proportion par produit en croix pour une partie, un tout ou un pourcentage manquant
Résoudre des problèmes de notes, de sondages et de remises, puis vérifier la réponse

Prérequis

• Introduction aux pourcentages : un pourcentage signifie sur 100
• Calculer le pourcentage d'un nombre : partie = pourcentage du tout
• Résoudre des proportions simples et des équations comme $30x = 1500$

Amorces de discussion

1. Deux camarades ont eu 18 sur 20 et 42 sur 50. Qui a le mieux réussi, et comment le montrer ?
2. Si 12 représente 30 % d'un nombre, ce nombre est-il plus grand ou plus petit que 12 ? Pourquoi ?
3. Pourquoi le nombre avec le signe % se place-t-il toujours au-dessus de 100 dans la proportion ?
4. Quand une partie peut-elle dépasser 100 % du tout ?

Idées reçues courantes

Le plus grand nombre est toujours le tout

Remédiation: Montre un pourcentage supérieur à 100 : 60 représente 150 % de 40. Demande aux élèves de chercher le total dans l'énoncé au lieu de comparer les tailles.

On résout tout problème de pourcentage en multipliant les deux nombres

Remédiation: Donne trois problèmes avec les mêmes nombres (12, 40, 30) où un nombre différent manque à chaque fois, et résous les trois avec la même proportion.

La réponse à "quel pourcentage" est un décimal comme 0,3

Remédiation: Montre que p est au-dessus de 100 dans la proportion : p = 30 signifie 30 sur 100, donc 30 %.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Utiliser une bande de 10 cases égales (10 % chacune) avant d'écrire la proportion
• Donner un modèle avec des cases vides pour la partie, le tout et p
• Commencer par des nombres qui se divisent bien, comme 5 sur 20

Pour les élèves au niveau:

• Mélanger des problèmes où manque la partie, le tout ou le pourcentage
• Résoudre des problèmes de notes et de sondages et vérifier chaque réponse
• Comparer la proportion et l'équation du pourcentage sur le même problème

Pour les élèves avancés:

• Résoudre des problèmes avec des pourcentages supérieurs à 100 et décimaux comme 12,5 %
• Écrire leurs propres questions de sondage et résoudre celles des autres
• Retrouver le prix de départ après une remise quand seul le prix soldé est connu

Alignement aux standards

7.RP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.RP.A.3)
Utiliser des relations de proportionnalité pour résoudre des problèmes de rapports et de pourcentages en plusieurs étapes
6.RP.A.3c (CCSS.MATH.CONTENT.6.RP.A.3.C)
Calculer un pourcentage d'une quantité comme un taux pour 100 ; retrouver le tout à partir d'une partie et du pourcentage

Ressources de la leçon

visualBande des pourcentages
Une bande pour le tout (100 %) avec la partie marquée, pour voir la partie et le tout côte à côte.
activityEst ou de ?
Les élèves classent les nombres de courts problèmes en partie, tout et pourcentage avant de résoudre.
worksheetTrois inconnues
Problèmes variés où le nombre manquant est la partie, le tout ou le pourcentage.

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

La proportion du pourcentage dit qu'une partie comparée à son tout est égale au pourcentage comparé à 100 :

\frac{\text{partie}}{\text{tout}} = \frac{p}{100}

Le tout est la quantité totale (c'est souvent le nombre après le mot de).
La partie est un morceau de ce total (souvent le nombre près du mot est).
$p$ est le pourcentage, le nombre devant le signe %.

Dans chaque problème de pourcentage, deux de ces trois nombres sont connus et un manque. Place les nombres connus dans la proportion, écris une lettre pour le nombre manquant, puis fais le produit en croix et divise.

Exemple : Quel pourcentage de 40 représente 12 ?

\frac{12}{40} = \frac{p}{100} \quad\Rightarrow\quad 40p = 12 \times 100 = 1200 \quad\Rightarrow\quad p = 30

Donc 12 représente

30\,\%

de 40.

Exemples résolus

Quel pourcentage de 40 représente 12 ?

Repérer la partie et le tout

Le tout vient après "de" : 40. La partie va avec "représente" : 12. Le pourcentage manque. → partie = 12, tout = 40

Écrire la proportion

$\frac{12}{40} = \frac{p}{100}$

Faire le produit en croix

$40 \times p = 12 \times 100$ → $40p = 1200$

Diviser par 40

$p = 1200 \div 40$ → $p = 30$

Réponse: 12 représente $30\,\%$ de 40.

Erreurs courantes

Mettre le tout en haut : écrire $\frac{40}{12} = \frac{p}{100}$ pour "Quel pourcentage de 40 représente 12 ?"

Pourquoi c'est faux: La fraction de gauche doit être partie sur tout. En l'inversant, on obtient $p \approx 333$ , ce qui est impossible ici car 12 est plus petit que 40.

Correct: Partie en haut, tout en bas : $\frac{12}{40} = \frac{p}{100}$ , donc $p = 30$ .

Écrire le pourcentage à la place de la partie : $\frac{30}{x} = \frac{15}{100}$ pour "15 est 30 % de quel nombre ?"

Pourquoi c'est faux: Le nombre avec le signe % se place toujours au-dessus de 100. L'autre nombre connu est la partie ou le tout.

Correct: $\frac{15}{x} = \frac{30}{100}$ , donc $30x = 1500$ et $x = 50$ .

Multiplier en ligne au lieu de faire le produit en croix : $12 \times p = 40 \times 100$

Pourquoi c'est faux: Le produit en croix associe chaque numérateur au dénominateur de l'AUTRE fraction.

Correct: Multiplie en diagonale : $12 \times 100 = 40 \times p$ .

Répondre 0,3 quand on demande le pourcentage

Pourquoi c'est faux: Dans la proportion, $p$ est déjà le nombre de pour cent (sur 100), pas un nombre décimal.

Correct: Si $p = 30$ , la réponse est $30\,\%$ . Écris le signe %.

Pourquoi c'est important

Tu sais déjà calculer un pourcentage d'un nombre. Dans la vie réelle, la question est souvent posée dans l'autre sens :

Notes : Tu as 34 points sur 40. Quel pourcentage est-ce ?
Sondages : 45 élèves ont choisi le basket, soit 18 % des personnes interrogées. Combien d'élèves ont été interrogés ?
Achats : Tu as économisé 12 €, ce qui correspond à une remise de 15 %. Quel était le prix de départ ?
Sport : Une joueuse réussit 27 lancers francs sur 30. Quel est son taux de réussite ?

La proportion traite les trois types de questions avec une seule mise en équation, donc tu n'as pas besoin d'une règle différente pour chaque cas. Dans la leçon suivante, tu verras l'autre méthode, l'équation du pourcentage (partie = taux × tout), qui résout les mêmes problèmes en une ligne.

Applications dans le monde réel

Notes de contrôle

Les professeurs transforment les points en pourcentages pour comparer des contrôles qui n'ont pas le même nombre de questions.

Exemple:

18 points sur 24 : $\frac{18}{24} = \frac{p}{100}$ , donc $p = 75$ , soit une note de $75\,\%$ .

1Essaie par toi-même

Liam a répondu correctement à 27 des 30 questions d'un quiz.

Quel pourcentage de bonnes réponses Liam a-t-il obtenu ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $\frac{27}{30} = \frac{p}{100}$ : calcule $27 \times 100 \div 30$

Sondages

Les sondages donnent leurs résultats en pourcentages. Si tu connais le pourcentage et le nombre de personnes qui ont donné une réponse, tu peux trouver combien de personnes ont été interrogées.

Exemple:

Si 30 personnes représentent $25\,\%$ d'un groupe, alors $\frac{30}{x} = \frac{25}{100}$ et le groupe compte 120 personnes.

2Essaie par toi-même

Dans un sondage municipal, 120 personnes ont dit oui à un nouveau parc. Elles représentaient 60 % des personnes interrogées.

Combien de personnes ont été interrogées ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $\frac{120}{x} = \frac{60}{100}$ : calcule $120 \times 100 \div 60$

Achats et remises

Un ticket de caisse indique souvent combien tu as économisé, mais pas le prix de départ. La proportion permet de retrouver ce prix.

Exemple:

Économiser 6 € avec une remise de $20\,\%$ signifie $\frac{6}{x} = \frac{20}{100}$ , donc le prix de départ était 30 €.

3Essaie par toi-même

Une veste bénéficie d'une remise de 15 % et tu économises 12 €.

Quel était le prix de départ de la veste en euros ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $\frac{12}{x} = \frac{15}{100}$ : calcule $12 \times 100 \div 15$

Points clés

1La proportion du pourcentage s'écrit $\frac{\text{partie}}{\text{tout}} = \frac{p}{100}$
2Le tout suit souvent le mot "de", la partie va souvent avec "est" ou "représente"
3Le nombre avec le signe % se place toujours au-dessus de 100
4Écris une lettre pour le nombre manquant, fais le produit en croix, puis divise
5La même mise en équation permet de trouver la partie, le tout ou le pourcentage
6Vérifie ta réponse : la partie doit être ce pourcentage du tout

Questions fréquentes

Comment savoir quel nombre est la partie et lequel est le tout ?

Demande-toi : quel nombre est le total ? C'est le tout (souvent après "de"). La partie en est un morceau (souvent près de "est"). Si le pourcentage est inférieur à 100, la partie est plus petite que le tout.

La partie peut-elle être plus grande que le tout ?

Oui, quand le pourcentage dépasse 100. Par exemple, 60 représente

150\,\%

de 40 :

\frac{60}{40} = \frac{p}{100}

donne

p = 150

Pourquoi le produit en croix fonctionne-t-il ?

Deux fractions égales restent égales si on multiplie les deux membres par les deux dénominateurs. Pour

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

, on obtient

a \times d = b \times c

Quelle différence entre la proportion et l'équation du pourcentage ?

Ce sont deux façons d'écrire la même relation. La proportion compare deux fractions ; l'équation du pourcentage (leçon suivante) s'écrit partie = taux × tout, avec le taux en nombre décimal. Les deux donnent la même réponse.

Glossaire

Proportion du pourcentage: L'égalité $\frac{\text{partie}}{\text{tout}} = \frac{p}{100}$ qui relie une partie, un tout et un pourcentage.
Partie: La quantité qui est une portion du tout, par exemple les bonnes réponses à un contrôle.
Tout: La quantité totale, qui correspond à $100\,\%$ (la valeur de référence).
Pourcentage: Un nombre sur 100, écrit avec le signe %.
Produit en croix: Dans $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , multiplier en diagonale pour obtenir $a \times d = b \times c$ .

Carte des formules

Proportion du pourcentage

\frac{\text{partie}}{\text{tout}} = \frac{p}{100}

Partie sur tout égale pourcentage sur 100.

Pourcentage manquant

p = \frac{\text{partie} \times 100}{\text{tout}}

Quel pourcentage de 40 représente 12 ? $p = 1200 \div 40 = 30$

Tout manquant

\text{tout} = \frac{\text{partie} \times 100}{p}

15 est 30 % de quel nombre ? $1500 \div 30 = 50$

Partie manquante

\text{partie} = \frac{p \times \text{tout}}{100}

35 % de 60 : $2100 \div 100 = 21$

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Pour les élèves au niveau:

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Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Notes de contrôle

Sondages

Achats et remises

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Proportion du pourcentage

Pourcentage manquant

Tout manquant

Partie manquante

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