Guide de l'enseignant: Divisibilité par 4, 6 et 8

Teste n'importe quel nombre entier pour 4, 6 et 8 en quelques secondes : lis les deux ou trois derniers chiffres, ou combine les critères de 2 et de 3, et comprends pourquoi ça marche.

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Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Divisibilité. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Tester si un nombre entier est divisible par 4 avec ses deux derniers chiffres, y compris le test rapide des dizaines
Tester si un nombre entier est divisible par 8 avec ses trois derniers chiffres
Tester la divisibilité par 6 en combinant les critères de 2 et de 3, et expliquer pourquoi les deux sont nécessaires
Justifier les critères de 4 et de 8 avec 100 = 4 × 25 et 1000 = 8 × 125
Appliquer les critères aux années bissextiles et à des problèmes d'emballage par 6 et par 8

Prérequis

• Critères de divisibilité : sens de divisible et de reste
• Divisibilité par 2, 5 et 10 : critères du dernier chiffre
• Divisibilité par 3 et 9 : le critère de la somme des chiffres pour 3
• Valeur de position : unités, dizaines, centaines, milliers

Amorces de discussion

1. Pourquoi le critère de 4 porte-t-il sur deux chiffres, celui de 8 sur trois chiffres, mais celui de 2 sur un seul chiffre ?
2. À quoi ressemblerait un critère pour 16 ? Combien de chiffres faudrait-il regarder ?
3. Tout multiple de 8 est un multiple de 4. Pourquoi l'inverse est-il faux ?
4. Pourquoi peut-on tester 6 avec les critères de 2 et de 3, mais pas 8 avec ceux de 2 et de 4 ?
5. Quelqu'un est né le 29 février 2000. Tous les combien a-t-il un vrai anniversaire ?

Idées reçues courantes

Un nombre qui finit par 4 ou 8 est toujours divisible par 4 (comme 34 ou 38)

Remédiation: Listez les multiples de 4 jusqu'à 100 et regardez leurs terminaisons : 04, 08, 12, 16, 20... Les élèves voient que le dernier chiffre seul ne décide pas, puis découvrent la règle des dizaines (dizaines paires : 0, 4, 8 ; dizaines impaires : 2, 6).

Divisible par 2 et par 4 veut dire divisible par 8, comme 2 et 3 donnent 6

Remédiation: Testez 12, 20 et 28. Comparez ensuite les facteurs : 2 et 3 n'ont pas de diviseur commun, 2 et 4 partagent 2. Introduisez l'expression premiers entre eux.

Toute année divisible par 4 est bissextile

Remédiation: Montrez 1900 sur un ancien calendrier : février avait 28 jours. Expliquez la règle des 400 avec la durée moyenne de l'année, 365,2425 jours.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par colorier les multiples de 4 jusqu'à 100 sur un tableau de cent pour voir le motif des deux derniers chiffres
• N'utiliser que des nombres à quatre chiffres et un seul critère à la fois
• Faire vérifier chaque résultat à la calculatrice pour donner confiance dans les critères

Pour les élèves au niveau:

• Mélanger des tests pour 4, 6 et 8 dans une même série et demander le critère utilisé
• Résoudre des problèmes de chiffre manquant, comme le plus petit chiffre qui rend 73_ divisible par 4
• Compter les années bissextiles d'un siècle

Pour les élèves avancés:

• Trouver et justifier un critère pour 16 (quatre derniers chiffres, car 10 000 = 16 × 625)
• Expliquer l'astuce des trois moitiés pour 8 et pourquoi trois suffisent
• Chercher quels autres diviseurs se testent en combinant deux critères premiers entre eux

Alignement aux standards

4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)
Trouver tous les couples de facteurs d'un nombre entier. Reconnaître qu'un nombre entier est un multiple de chacun de ses facteurs.
4.NBT.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.4.NBT.B.6)
Trouver des quotients et des restes entiers avec des stratégies fondées sur la valeur de position.
6.NS.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.4)
Trouver le plus grand diviseur commun et le plus petit multiple commun de deux nombres entiers et utiliser la distributivité avec des facteurs communs.

Ressources de la leçon

visualExplication de la divisibilité
Montre 45 136 = 45 × 1000 + 136 et colore les chiffres que lit chaque critère pour 2, 4 et 8
gameDevine 2, 3 et 6
Les élèves devinent oui ou non pour 2, 3 et 6 sur chaque nombre, puis révèlent le critère et marquent des points
activityChasse aux années bissextiles
Les élèves notent les années de naissance de leur famille et cherchent lesquelles étaient bissextiles
worksheetProblèmes d'emballage
Commandes d'œufs, de muffins et de bouteilles à ranger en boîtes de 6 et en caisses de 8

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Un critère de divisibilité te dit si un nombre est divisible par un autre nombre (division avec un reste de

0

) sans faire toute la division. Dans cette leçon, tu apprends les critères pour

4

8

6

Divisible par 4 : les deux derniers chiffres

Un nombre entier est divisible par

4

quand le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par

4

7316 : \quad 16 = 4 \times 4 \;\Rightarrow\; 7316 \div 4 = 1829

Pourquoi ?

7316 = 73 \times 100 + 16

, et

100 = 4 \times 25

. Tout nombre entier de centaines est un multiple de

4

, donc seuls les deux derniers chiffres peuvent laisser un reste.

Test rapide avec le chiffre des dizaines : si le chiffre des dizaines est pair, le dernier chiffre doit être

0

4

8

. Si le chiffre des dizaines est impair, le dernier chiffre doit être

2

6

Divisible par 8 : les trois derniers chiffres

Un nombre entier est divisible par

8

quand le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible par

8

, car

1000 = 8 \times 125

45\,136 : \quad 136 = 8 \times 17 \;\Rightarrow\; 45\,136 \div 8 = 5642

Divisible par 6 : les critères de 2 et de 3 ensemble

Un nombre entier est divisible par

6

quand il est divisible par

2

et par

3

: le dernier chiffre est pair et la somme des chiffres est divisible par

3

. Cela marche parce que

6 = 2 \times 3

et que

2

3

sont premiers entre eux.

5742 : \quad \text{dernier chiffre } 2 \text{ (pair)}, \quad 5 + 7 + 4 + 2 = 18 = 3 \times 6 \;\Rightarrow\; 5742 \div 6 = 957

Une chaîne de critères

\text{divisible par } 8 \;\Rightarrow\; \text{divisible par } 4 \;\Rightarrow\; \text{divisible par } 2

La chaîne ne marche que dans un sens :

12

est divisible par

4

mais pas par

8

Exemples résolus

7316

est-il divisible par

4

Sépare les deux derniers chiffres

7316 = 73 \times 100 + 16

→ Deux derniers chiffres :

16

Rappelle-toi pourquoi les centaines ne comptent pas

100 = 4 \times 25

, donc

7300

est un multiple de

4

→ Seul

16

décide

Teste les deux derniers chiffres

16 = 4 \times 4

→

16

est divisible par

4

Conclus et vérifie

7316 \div 4 = 1829

→ Divisible, reste

0

Réponse: Oui. Les deux derniers chiffres forment 16, qui est divisible par 4, donc 7316 est divisible par 4 (7316 ÷ 4 = 1829).

Erreurs courantes

Ne regarder que le dernier chiffre pour $4$ : " $2134$ finit par $4$ , donc il est divisible par $4$ "

Pourquoi c'est faux: Le critère de $4$ lit les deux derniers chiffres, car $10$ n'est pas un multiple de $4$ . Ici $34 = 4 \times 8 + 2$ .

Correct: Teste les deux derniers chiffres : $34$ laisse un reste de $2$ , donc $2134$ n'est pas divisible par $4$ .

Ne regarder que les deux derniers chiffres pour $8$ : " $3124$ finit par $24 = 8 \times 3$ , donc il est divisible par $8$ "

Pourquoi c'est faux: $100$ n'est pas un multiple de $8$ ( $100 = 8 \times 12 + 4$ ), donc le chiffre des centaines compte encore. Le critère de $8$ demande les trois derniers chiffres.

Correct: Teste $124$ : $124 = 8 \times 15 + 4$ . Donc $3124$ n'est pas divisible par $8$ (reste $4$ ).

Croire que divisible par $2$ et par $4$ veut dire divisible par $8$

Pourquoi c'est faux: $12$ est divisible par $2$ et par $4$ , mais $12 \div 8 = 1{,}5$ . Combiner des critères ne marche que si les deux nombres sont premiers entre eux, comme $2$ et $3$ pour $6$ . $2$ et $4$ ont le facteur commun $2$ .

Correct: Pour $8$ , utilise son propre critère (trois derniers chiffres). Pour $6$ , tu peux combiner $2$ et $3$ .

Ne tester qu'une partie du critère de $6$ : " $27$ est divisible par $3$ , donc par $6$ "

Pourquoi c'est faux: Pour $6$ , il faut les deux tests. $27$ est impair, il échoue donc au test de $2$ . De même, $26$ est pair mais la somme de ses chiffres, $8$ , échoue au test de $3$ .

Correct: Un nombre n'est divisible par $6$ que s'il est pair et si la somme de ses chiffres est divisible par $3$ , par exemple $5742$ .

Pourquoi c'est important

Ces trois critères servent dès que les choses vont par groupes de 4, 6 ou 8 :

Calendrier : une année est bissextile quand elle est divisible par $4$ , avec une règle spéciale pour les années séculaires comme $1900$ et $2000$
Emballage : les œufs et les boissons se vendent par $6$ , les crayons et les bouteilles par boîtes ou caisses de $8$ . Est-ce que $1734$ muffins remplissent exactement des boîtes de $6$ ?
Informatique : $1$ octet vaut $8$ bits, et les tailles de mémoire sont des multiples de $8$
Fractions : repérer un facteur $4$ , $6$ ou $8$ au numérateur et au dénominateur permet de simplifier vite, comme $\frac{24}{32} = \frac{3}{4}$ après division des deux par $8$
Vérification : un coup d'œil aux derniers chiffres te dit si un calcul comme $7316 \div 4$ tombe juste avant même de le faire

Les idées derrière ces critères (

100 = 4 \times 25

1000 = 8 \times 125

6 = 2 \times 3

) sont aussi le premier pas vers les critères de 12, 15, 18 et au-delà.

Applications dans le monde réel

Les années bissextiles d'un siècle

Le calendrier ajoute un jour (le 29 février) chaque année divisible par 4, mais saute les années séculaires qui ne sont pas divisibles par 400.

Exemple:

$2024$ est bissextile ( $24 = 4 \times 6$ ), $2000$ l'était ( $2000 = 400 \times 5$ ), mais pas $1900$ ( $1900 \div 400 = 4{,}75$ ).

1Essaie par toi-même

Tu comptes les années bissextiles de 2001 à 2100, 2100 compris.

Combien d'années bissextiles y a-t-il sur cette période ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le nombre d'années bissextiles :

Emballer par six

Les boulangeries, les élevages de poules et les fabricants de boissons emballent par 6. Les critères de 2 et de 3 leur disent avant de compter s'il ne restera rien.

Exemple:

$4320$ œufs remplissent exactement des boîtes de $6$ : $4320$ est pair et $4 + 3 + 2 + 0 = 9$ est divisible par $3$ , donc $4320 \div 6 = 720$ boîtes.

2Essaie par toi-même

Une boulangerie a 1734 muffins et les range dans des boîtes de 6.

Combien de boîtes pleines peut-elle remplir sans qu'il reste de muffins ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris la division qui donne le nombre de boîtes :

Des caisses de huit

Les bouteilles et les canettes voyagent souvent par caisses de 8. Pour une grosse commande, seuls les trois derniers chiffres décident si les caisses tombent juste.

Exemple:

$1560$ crayons tiennent dans des boîtes de $8$ : les trois derniers chiffres $560 = 8 \times 70$ , donc $1560 \div 8 = 195$ boîtes.

3Essaie par toi-même

Un entrepôt reçoit 23 512 bouteilles à charger dans des caisses de 8.

Combien de caisses pleines remplit-il ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris la division qui donne le nombre de caisses :

Points clés

1Divisible par $4$ : les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par $4$ , car $100 = 4 \times 25$
2Test rapide pour $4$ : dizaines paires, dernier chiffre $0$ , $4$ ou $8$ ; dizaines impaires, dernier chiffre $2$ ou $6$
3Divisible par $8$ : les trois derniers chiffres forment un nombre divisible par $8$ , car $1000 = 8 \times 125$
4Divisible par $6$ : pair et somme des chiffres divisible par $3$ (les deux tests doivent réussir)
5Divisible par $8$ entraîne divisible par $4$ , qui entraîne divisible par $2$ , mais pas l'inverse ( $12$ )
6Années bissextiles : divisibles par $4$ , mais les années séculaires seulement si elles sont divisibles par $400$ ( $2000$ oui, $1900$ non)

Questions fréquentes

Pourquoi les deux derniers chiffres décident-ils de la divisibilité par 4 ?

Tout nombre entier est un nombre de centaines plus ses deux derniers chiffres :

7316 = 73 \times 100 + 16

. Comme

100 = 4 \times 25

, tout nombre entier de centaines est divisible par

4

. Le reste du nombre entier dans la division par

4

est donc le même que celui des deux derniers chiffres. La même idée avec

1000 = 8 \times 125

donne le critère de

8

Si un nombre est divisible par 4, est-il aussi divisible par 8 ?

Pas toujours.

12

20

28

sont divisibles par

4

mais pas par

8

. La chaîne ne descend que dans un sens : tout multiple de

8

est un multiple de

4

(car

8 = 4 \times 2

), et tout multiple de

4

est pair.

Puis-je construire d'autres critères comme 6 = 2 et 3 ?

Oui, mais seulement avec des nombres premiers entre eux (pas de diviseur commun autre que

1

6 = 2 \times 3

marche parce que

2

3

sont premiers entre eux.

8 = 2 \times 4

ne marche pas, car

2

4

ont le diviseur commun

2

12

réussit les deux tests et n'est pourtant pas divisible par

8

. La leçon Critères de divisibilité combinés le montre pour

12

15

18

36

Pourquoi les années séculaires doivent-elles être divisibles par 400 pour être bissextiles ?

Une année dure environ

365{,}2422

jours. Un jour bissextile tous les

4

ans donne en moyenne

365{,}25

jours, un peu trop. En sautant

3

jours bissextiles tous les

400

ans (

1700

1800

1900

, mais pas

2000

), il reste

97

années bissextiles sur

400

ans :

365 + \frac{97}{400} = 365{,}2425

jours, très proche de la vraie valeur.

Glossaire

Critère de divisibilité: Un raccourci qui dit si un nombre est divisible par un autre sans faire toute la division, par exemple les deux derniers chiffres pour $4$ .
Divisible par: Un nombre entier est divisible par $n$ quand sa division par $n$ laisse un reste de $0$ : $7316$ est divisible par $4$ .
Reste: Ce qui reste après avoir divisé le plus grand nombre entier de fois possible : $34 \div 4 = 8$ reste $2$ .
Somme des chiffres: La somme de tous les chiffres d'un nombre : la somme des chiffres de $5742$ est $5 + 7 + 4 + 2 = 18$ .
Premiers entre eux: Deux nombres entiers sont premiers entre eux quand leur seul diviseur commun est $1$ , comme $2$ et $3$ . Alors divisible par les deux veut dire divisible par leur produit.
Année bissextile: Une année de $366$ jours (avec un 29 février) : divisible par $4$ , mais une année séculaire seulement si elle est divisible par $400$ .

Carte des formules

Divisible par 4

Deux derniers chiffres divisibles par

4

Teste les deux derniers chiffres, car $100 = 4 \times 25$

Divisible par 8

Trois derniers chiffres divisibles par

8

Teste les trois derniers chiffres, car $1000 = 8 \times 125$

Divisible par 6

Divisible par

2

et par

3

Dernier chiffre pair et somme des chiffres divisible par 3

Année bissextile

Divisible par

4

; années séculaires : par

400

2024 et 2000 sont bissextiles, 1900 et 2100 non

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Pour les enseignants

Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

Pour les élèves avancés:

Contenu de la leçon

Définition

Divisible par 4 : les deux derniers chiffres

Divisible par 8 : les trois derniers chiffres

Divisible par 6 : les critères de 2 et de 3 ensemble

Une chaîne de critères

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Les années bissextiles d'un siècle

Emballer par six

Des caisses de huit

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Divisible par 4

Divisible par 8

Divisible par 6

Année bissextile

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