Hyperboles en forme standard

Apprends à écrire et à tracer des hyperboles en forme standard, identifie les caractéristiques clés comme le centre, les sommets, les foyers et les asymptotes.

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Définition

Une hyperbole est l'ensemble de tous les points où la différence absolue des distances à deux points fixes (foyers) est constante.

Formes standards

Axe transverse horizontal (s'ouvre à gauche et à droite) :
(x−h)2a2−(y−k)2b2=1\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1
Axe transverse vertical (s'ouvre vers le haut et le bas) :
(y−k)2a2−(x−h)2b2=1\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1
Où :
  • (h,k)(h, k) est le centre
  • aa est la distance du centre à chaque sommet
  • bb est utilisé pour trouver les asymptotes
  • c=a2+b2c = \sqrt{a^2 + b^2} est la distance du centre à chaque foyer
Relation clé : Pour les hyperboles, c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 (contrairement aux ellipses où c2=a2−b2c^2 = a^2 - b^2)

Essaie tout de suite

Quelle équation représente une hyperbole avec un axe transverse horizontal ?

Exemples résolus

Trouve le centre, les sommets, les foyers et les asymptotes de (x−2)216−(y+3)29=1\frac{(x-2)^2}{16} - \frac{(y+3)^2}{9} = 1
1

Identifier la forme

Le terme en xx est positif, donc l'axe transverse est horizontal (s'ouvre à gauche/droite) → Hyperbole horizontale
2

Trouver le centre (h,k)(h, k)

De (x−2)2(x-2)^2 et (y−(−3))2(y-(-3))^2 : h=2h = 2, k=−3k = -3 → Centre : (2,−3)(2, -3)
3

Trouver aa et bb

a2=16a^2 = 16, donc a=4a = 4 ; b2=9b^2 = 9, donc b=3b = 3 → a=4a = 4, b=3b = 3
4

Trouver les sommets

Les sommets sont à aa unités à gauche et à droite du centre : (2±4,−3)(2 \pm 4, -3) → Sommets : (−2,−3)(-2, -3) et (6,−3)(6, -3)
5

Trouver cc pour les foyers

c=a2+b2=16+9=25=5c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 → c=5c = 5
6

Trouver les foyers

Les foyers sont à cc unités du centre le long de l'axe transverse : (2±5,−3)(2 \pm 5, -3) → Foyers : (−3,−3)(-3, -3) et (7,−3)(7, -3)
7

Trouver les asymptotes

Pour horizontal : y−k=±ba(x−h)y - k = \pm\frac{b}{a}(x - h), donc y+3=±34(x−2)y + 3 = \pm\frac{3}{4}(x - 2) → Asymptotes : y=34x−92y = \frac{3}{4}x - \frac{9}{2} et y=−34x−32y = -\frac{3}{4}x - \frac{3}{2}

Erreurs courantes

Confusion entre les positions de a2a^2 et b2b^2 dans les formes horizontales et verticales

Pourquoi c'est faux: Dans la forme standard, a2a^2 est toujours sous le terme POSITIF, que ce soit xx ou yy.

Correct: Identifie d'abord quelle variable a le terme positif. Cela te dit l'orientation, et a2a^2 est sous ce terme.

Utilisation de c2=a2−b2c^2 = a^2 - b^2 (la formule de l'ellipse) au lieu de c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2

Pourquoi c'est faux: Les hyperboles et les ellipses ont des relations différentes entre aa, bb et cc.

Correct: Pour les hyperboles, c>ac > a et c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2. Pour les ellipses, c<ac < a et c2=a2−b2c^2 = a^2 - b^2.

Inversion des pentes des asymptotes pour les hyperboles verticales

Pourquoi c'est faux: La formule des asymptotes change selon l'orientation.

Correct: Horizontale : pente =±ba= \pm\frac{b}{a}. Verticale : pente =±ab= \pm\frac{a}{b}. Rappel : aa est toujours au dénominateur dans la direction où s'ouvre l'hyperbole.

Oubli du ±\pm lors de la localisation des sommets et des foyers

Pourquoi c'est faux: Les hyperboles ont deux branches, donc il y a deux sommets et deux foyers.

Correct: Trouve toujours LES DEUX sommets et LES DEUX foyers en ajoutant et soustrayant la distance appropriée du centre.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

-10-50510-10-505xyCF₁F₂
  • c = √(a² + b²) = 5
  • b/a = 0,75
Asymptote(x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1
  • Centre : (2 ; -3)
  • Foyers : (-3 ; -3), (7 ; -3)
  • Sommets : (-2 ; -3), (6 ; -3)
  • Asymptotes : y = 0,75x - 4,5, y = -0,75x - 1,5

Courbe de la fonction

-15-10-505-10-50510xyCF₁F₂
Asymptote(y − 1)²/25 − (x + 4)²/16 = 1
  • Centre : (-4 ; 1)
  • Foyers : (-4 ; -5,4), (-4 ; 7,4)
  • Sommets : (-4 ; -4), (-4 ; 6)
  • Asymptotes : y = 1,25x + 6, y = -1,25x - 4

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

-10-50510-10-50510xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = -3 + 0.75*sqrt((x - 2)^2 - 16)

y = -3 - 0.75*sqrt((x - 2)^2 - 16)

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Quelle équation représente une hyperbole avec un axe transverse horizontal ?

Pourquoi c'est important

Les hyperboles apparaissent dans toute la science et l'ingénierie :
  • Navigation : LORAN (navigation longue portée) utilise des courbes hyperboliques des signaux radio pour déterminer les positions des navires et des avions
  • Astronomie : Certaines comètes suivent des orbites hyperboliques, passant près du soleil une fois et ne revenant jamais
  • Acoustique : Les galeries des chuchotements et les motifs de bang sonique suivent des formes hyperboliques
  • Physique : La trajectoire des particules alpha diffusées par les noyaux atomiques trace des courbes hyperboliques
  • Architecture : Les tours de refroidissement hyperboliques sont structurellement efficaces et des monuments emblématiques
Comprendre la forme standard te permet d'extraire toutes les informations clés sur une hyperbole directement de son équation !

Applications dans le monde réel

Navigation LORAN

La navigation longue portée utilise la différence de temps des signaux radio de deux stations. Tous les points avec la même différence de temps forment une hyperbole avec les stations comme foyers.

Exemple:

Si deux stations LORAN sont distantes de 480 km et qu'un navire reçoit des signaux avec une différence de temps correspondant à 160 km, le navire se trouve sur une hyperbole avec 2a=1602a = 160 km.

1Essaie par toi-même

Deux stations radio sont situées en (−150,0)(-150, 0) et (150,0)(150, 0). Un navire mesure qu'il est à 100 unités plus près d'une station que de l'autre.

Quelle est l'équation de l'hyperbole sur laquelle se trouve le navire ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

La différence des distances est 2a=1002a = 100, donc a=50a = 50. Avec c=150c = 150 :

Conception des tours de refroidissement

Les tours de refroidissement hyperboliques utilisent la résistance structurelle de la forme. Le profil hyperbolique permet aux coques minces de se supporter elles-mêmes.

Exemple:

Une tour de refroidissement a un diamètre de taille (point le plus étroit) de 60 mètres à une hauteur de 50 mètres, avec l'équation de l'hyperboloïde basée sur la forme standard.

2Essaie par toi-même

Une section transversale de tour de refroidissement suit x2900−(y−50)21600=1\frac{x^2}{900} - \frac{(y-50)^2}{1600} = 1 (en mètres). Trouve la largeur de la taille.

Quel est le diamètre au point le plus étroit (les sommets) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Les sommets se produisent à y=50y = 50 (hauteur du centre). Trouve xx à y=50y = 50 :

Points clés

  • 1Les hyperboles ont deux formes standards : horizontale (x−h)2a2−(y−k)2b2=1\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 et verticale (y−k)2a2−(x−h)2b2=1\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1
  • 2Le terme positif détermine la direction de l'axe transverse (horizontal ou vertical)
  • 3aa est la distance du centre au sommet, et a2a^2 est toujours sous le terme positif
  • 4Pour les hyperboles, c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 où cc est la distance du centre au foyer
  • 5Les asymptotes passent par le centre avec des pentes ±ba\pm\frac{b}{a} (horizontal) ou ±ab\pm\frac{a}{b} (vertical)

Questions fréquentes

Regarde quelle variable a le coefficient POSITIF. Si x2x^2 est positif, l'hyperbole s'ouvre à gauche/droite (horizontale). Si y2y^2 est positif, elle s'ouvre vers le haut/bas (verticale).
Regarde quelle variable a le coefficient POSITIF. Si x2x^2 est positif, l'hyperbole s'ouvre à gauche/droite (horizontale). Si y2y^2 est positif, elle s'ouvre vers le haut/bas (verticale).
Dans une ellipse, les foyers sont entre les sommets (c<ac < a). Dans une hyperbole, les foyers sont au-delà des sommets (c>ac > a). Les différentes formules reflètent cette relation géométrique.
Les asymptotes sont des lignes dont l'hyperbole s'approche mais qu'elle ne touche jamais lorsqu'elle s'étend à l'infini. Elles aident à tracer l'hyperbole et définissent le 'rectangle' qui contient les sommets.

Glossaire

Hyperbole
L'ensemble de tous les points où la différence absolue des distances à deux points fixes (foyers) est constante
Axe transverse
Le segment de droite reliant les deux sommets, passant par le centre
Axe conjugué
Le segment de droite perpendiculaire à l'axe transverse au centre, de longueur 2b2b
Asymptote
Une ligne dont l'hyperbole s'approche mais qu'elle n'intersecte jamais lorsqu'elle s'étend à l'infini
Foyer (pluriel : foyers)
L'un des deux points fixes utilisés pour définir l'hyperbole ; la distance du centre est c=a2+b2c = \sqrt{a^2 + b^2}
Défi du jourUn problème, trois essais

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