Guide de l'enseignant: Types de discontinuités

Apprends à distinguer les discontinuités éliminables (trous), les discontinuités de saut et les discontinuités infinies, sur un graphique et à partir d'une formule.

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Quiz de classe

10 questions sur Limites. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Définir les discontinuités éliminables, de saut et infinies à l'aide des limites à gauche, à droite et de la limite
Reconnaître le type d'une discontinuité sur un graphique (trou, écart entre deux morceaux, asymptote verticale)
Classer les discontinuités d'une fonction rationnelle en factorisant et en simplifiant
Trouver les coordonnées d'un trou et redéfinir $f(a)$ pour l'éliminer
Calculer la hauteur du saut d'une fonction définie par morceaux

Prérequis

• Continuité : les trois conditions pour qu'une fonction soit continue en un point
• Limites à gauche et à droite
• Limites infinies : limites égales à $\infty$ ou $-\infty$ et asymptotes verticales
• Limites par substitution directe et factorisation pour lever la forme indéterminée $\frac{0}{0}$
• Factorisation d'expressions du second degré

Amorces de discussion

1. Pourquoi la valeur de $f(a)$ ne change-t-elle pas le type d'une discontinuité ?
2. Un ami affirme que chaque valeur qui annule le dénominateur donne une asymptote verticale. Comment le convaincre du contraire ?
3. Où, dans la vie quotidienne, des prix ou des quantités sautent-ils brusquement au lieu de varier progressivement ?
4. Une fonction peut-elle avoir un saut et un trou pour la même valeur de $x$ ? Pourquoi ?

Idées reçues courantes

Chaque valeur qui annule le dénominateur est une asymptote verticale

Remédiation: Trace $\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ et $\frac{1}{x - 2}$ côte à côte. Demande aux élèves de factoriser les deux et de trouver la différence. Puis énonce la règle : simplifier d'abord, décider ensuite.

Un point plein en $x = a$ signifie que la fonction y est continue

Remédiation: Montre l'exemple du saut $h(1) = 6$ : le point est plein, mais à gauche la courbe tend vers $3$ . La continuité exige que la limite existe et soit égale à $f(a)$ , pas seulement une valeur définie.

La hauteur du saut est l'écart entre $f(a)$ et un des côtés

Remédiation: Définis la hauteur du saut uniquement avec les deux limites latérales et fais-la calculer pour une fonction où $f(a)$ n'est pas définie.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer uniquement avec des graphiques : entourer les trous, marquer les écarts entre morceaux, tracer les asymptotes en pointillés
• Utiliser des tableaux de valeurs près de $x = a$ : les valeurs se stabilisent-elles, se séparent-elles ou explosent-elles ?
• Donner un schéma de décision : la limite existe ? les deux côtés sont égaux ? les valeurs explosent ?

Pour les élèves au niveau:

• Classer les discontinuités de fonctions rationnelles en factorisant
• Trouver les coordonnées des trous et la hauteur des sauts
• Écrire une fonction définie par morceaux avec un saut imposé

Pour les élèves avancés:

• Trouver un paramètre $k$ qui transforme un saut en raccord continu
• Étudier les discontinuités oscillantes comme celle de $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$
• Construire une fonction rationnelle avec un trou en $(1, 2)$ et une asymptote en $x = -3$

Alignement aux standards

HSF-IF.C.7d (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.D)
Représenter des fonctions rationnelles, en identifiant les zéros et les asymptotes à l'aide de factorisations adaptées, et montrer le comportement aux bornes
HSF-IF.C.7b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.B)
Représenter les fonctions racine carrée, racine cubique et définies par morceaux, y compris les fonctions en escalier
HSA-APR.D.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.APR.D.6)
Réécrire des expressions rationnelles simples sous différentes formes

Ressources de la leçon

visualTrois courbes, trois types
Graphiques interactifs d'un trou, d'un saut et d'une asymptote, avec tableaux de valeurs près de la rupture
activityCartes à trier : discontinuités
Les élèves classent 12 graphiques et formules en éliminable, saut et infinie
worksheetTrou ou asymptote ?
Factoriser des fonctions rationnelles, trouver les trous avec leurs coordonnées et les asymptotes verticales

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une fonction

f

est continue en

x = a

lorsque

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

. Si ce n'est pas le cas,

f

présente une discontinuité en

x = a

. La manière dont l'égalité échoue donne le type :

1. Discontinuité éliminable (trou) La limite existe et vaut un nombre fini

L

, mais

f(a)

n'existe pas ou

f(a) \neq L

. La courbe a un seul trou en

(a, L)

. Tu peux l'éliminer en posant

f(a) = L

2. Discontinuité de saut Les deux limites à gauche et à droite sont finies mais différentes :

\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)

La courbe saute d'une hauteur à une autre. La hauteur du saut est

\left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|

. Aucune valeur de

f(a)

ne peut réparer cette discontinuité.

3. Discontinuité infinie Au moins une des limites à gauche ou à droite vaut

\infty

-\infty

. La courbe a une asymptote verticale

x = a

À partir d'une formule (fonctions rationnelles) : factorise le numérateur et le dénominateur.

Un facteur $(x - a)$ qui se simplifie entièrement donne un trou en $x = a$ .
Un facteur $(x - a)$ qui reste au dénominateur donne une asymptote verticale en $x = a$ .

Exemples résolus

Classe la discontinuité de $f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ en $x = 2$ et élimine-la.

Repère où $f$ n'est pas définie

Le dénominateur $x - 2$ vaut $0$ en $x = 2$ → $f(2)$ n'est pas définie

Factorise le numérateur

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ → $f(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2}$

Simplifie le facteur commun

$f(x) = x + 1$ pour tout $x \neq 2$ → Le facteur $(x - 2)$ se simplifie entièrement

Calcule la limite

$\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 1$ → $= 3$ , une limite finie

Classe et répare

La limite existe, $f(2)$ non : trou en $(2, 3)$ . Pose $f(2) = 3$ . → Discontinuité éliminable

Réponse: Discontinuité éliminable (trou) en $(2, 3)$ . En posant $f(2) = 3$ , $f$ devient continue.

Erreurs courantes

Tracer une asymptote verticale à chaque valeur qui annule le dénominateur

Pourquoi c'est faux: Une valeur qui annule le dénominateur peut aussi être un trou. Dans $\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ , le facteur $(x - 2)$ se simplifie : pas d'asymptote en $x = 2$ .

Correct: Factorise et simplifie d'abord. Seuls les facteurs qui restent au dénominateur donnent des asymptotes verticales ; les facteurs simplifiés donnent des trous.

Dire qu'un saut est éliminable parce que les deux limites latérales existent

Pourquoi c'est faux: Éliminable exige que la limite existe, ce qui n'arrive que si les deux côtés coïncident. Pour un saut, ce sont deux nombres différents.

Correct: Limites à gauche et à droite égales : éliminable (ou continue). Limites finies différentes : saut.

Prendre $f(a)$ comme hauteur du trou

Pourquoi c'est faux: En un trou, $f(a)$ manque ou est faux. Le trou se trouve à la hauteur de la limite.

Correct: L'ordonnée d'un trou s'obtient en remplaçant $x$ par $a$ dans la fonction simplifiée : le trou de $\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$ est en $\left(3, \frac{6}{5}\right)$ .

Penser qu'un facteur simplifié donne toujours un trou, même s'il apparaît deux fois au dénominateur

Pourquoi c'est faux: Dans $\frac{x - 1}{(x - 1)^2}$ un seul facteur se simplifie ; il reste $\frac{1}{x - 1}$ , qui explose toujours en $x = 1$ .

Correct: Simplifie au maximum, puis vérifie : si $(x - a)$ est encore au dénominateur, c'est une discontinuité infinie.

Pourquoi c'est important

Connaître le type d'une discontinuité te dit à quel point la rupture est grave et ce que tu peux faire :

Les trous sont des lacunes sans danger : la fonction est prévisible autour, et un seul point redéfini la rend continue. Les programmes qui plantent sur $\frac{0}{0}$ sont souvent corrigés exactement ainsi.
Les sauts décrivent des changements brusques : tarifs de parking, tarifs postaux, tranches d'impôt et interrupteurs qui s'allument ou s'éteignent.
Les discontinuités infinies signalent qu'une grandeur explose : l'image d'une lentille qui part à l'infini, la résonance d'un pont ou une formule qui divise par presque zéro.

En analyse, le type de discontinuité décide si une limite existe, si l'on peut intégrer une fonction sur un intervalle et comment tracer sa courbe. Tracer correctement une fonction rationnelle (trous ou asymptotes) est l'une des compétences les plus évaluées avant l'analyse.

Applications dans le monde réel

Tarifs de parking (sauts)

Les parkings facturent chaque heure commencée : le prix est constant pendant chaque heure et saute à chaque heure pleine.

Exemple:

Un parking coûte 4 € jusqu'à 1 heure et 7 € au-delà de 1 heure et jusqu'à 2 heures. En $t = 1$ , le prix saute de 3 €.

1Essaie par toi-même

Le même parking coûte 7 € au-delà de 1 heure et jusqu'à 2 heures, et 10 € au-delà de 2 heures et jusqu'à 3 heures. $C(t)$ est le prix pour $t$ heures.

Quelle est la hauteur du saut du prix en $t = 2$ heures (en €) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Soustrais la limite à gauche de la limite à droite :

Lentilles et images à l'infini

Pour une lentille de distance focale $10$ cm, un objet à la distance $u$ donne une image à la distance $v(u) = \frac{10u}{u - 10}$. Quand l'objet atteint le foyer, l'image part à l'infini.

Exemple:

Pour $u = 15$ cm, l'image est à $v = \frac{150}{5} = 30$ cm. Pour $u = 10{,}1$ cm, elle est déjà à $v = \frac{101}{0{,}1} = 1010$ cm.

2Essaie par toi-même

La distance de l'image est $v(u) = \frac{10u}{u - 10}$ (en cm).

Pour quelle distance $u$ de l'objet (en cm) $v$ a-t-elle une discontinuité infinie ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Cherche où le dénominateur s'annule sans que le numérateur s'annule :

Corriger une division par zéro dans un logiciel

Les programmes calculent souvent un taux de variation moyen $\frac{f(t) - f(a)}{t - a}$. En $t = a$ la formule donne $\frac{0}{0}$ et le programme plante, alors que les valeurs voisines sont parfaitement régulières : c'est une discontinuité éliminable.

Exemple:

Pour $f(t) = t^2$ et $a = 3$ , le taux $\frac{t^2 - 9}{t - 3}$ se simplifie en $t + 3$ : la programmeuse enregistre donc la valeur $6$ pour $t = 3$ .

3Essaie par toi-même

Un programme calcule $R(t) = \frac{t^2 - 16}{t - 4}$ et plante en $t = 4$ .

Quelle valeur faut-il donner à $R(4)$ pour que $R$ soit continue ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Simplifie, puis remplace $t$ par $4$ :

Points clés

1Une discontinuité en $x = a$ signifie que $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ est faux
2Éliminable (trou) : la limite $L$ existe, mais $f(a)$ manque ou est différent ; on répare avec $f(a) = L$
3Saut : limites à gauche et à droite finies et différentes ; hauteur du saut $= \left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|$
4Infinie : une limite latérale vaut $\pm\infty$ ; la courbe a l'asymptote verticale $x = a$
5Pour une fonction rationnelle, factorise d'abord : facteurs simplifiés = trous, facteurs restant au dénominateur = asymptotes
6L'ordonnée d'un trou vient de la fonction simplifiée, jamais de $f(a)$

Questions fréquentes

Pourquoi dit-on qu'un trou est éliminable ?

Parce qu'un seul point suffit à le réparer. La limite

L

existe déjà, donc poser (ou redéfinir)

f(a) = L

rend vraie l'égalité

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

, et la fonction devient continue en

a

Peut-on éliminer une discontinuité de saut ?

Non. À gauche, la fonction tend vers une hauteur, à droite vers une autre. Quelle que soit la valeur donnée à

f(a)

, elle ne correspond qu'à un seul côté au mieux, et la limite n'existe toujours pas.

La valeur de la fonction en $x = a$ change-t-elle le type ?

Non. Le type ne dépend que des limites au voisinage de

a

. Un saut reste un saut, que

f(a)

soit la valeur de gauche, celle de droite ou non définie, et un trou reste éliminable, que

f(a)

manque ou soit faux.

Existe-t-il d'autres types de discontinuité ?

Oui, mais ils sont plus rares. Par exemple,

\sin\left(\frac{1}{x}\right)

oscille de plus en plus vite près de

x = 0

et n'a aucune limite à gauche ni à droite (discontinuité oscillante). Les sauts, les discontinuités infinies et les discontinuités oscillantes sont tous non éliminables ; on réserve souvent le nom de discontinuités essentielles aux discontinuités infinies et oscillantes.

Glossaire

Discontinuité: Un point $x = a$ où l'égalité $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ n'est pas vérifiée
Discontinuité éliminable (trou): La limite existe et est finie, mais $f(a)$ n'est pas définie ou lui est différente ; on la répare en redéfinissant un point
Discontinuité de saut: Les limites à gauche et à droite sont finies mais différentes
Hauteur du saut: L'écart entre les deux limites latérales : $\left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|$
Discontinuité infinie: Au moins une limite latérale vaut $\infty$ ou $-\infty$ ; la courbe a une asymptote verticale
Asymptote verticale: Une droite verticale $x = a$ dont la courbe s'approche pendant que ses valeurs deviennent infiniment grandes

Carte des formules

Éliminable (trou)

\lim_{x \to a} f(x) = L

existe,

f(a) \neq L

ou non définie

Réparation : $f(a) = L$

Saut

\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)

, toutes deux finies

Hauteur du saut $= \left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|$

Infinie

\lim_{x \to a^\pm} f(x) = \pm\infty

Asymptote verticale $x = a$

Test pour les fonctions rationnelles

\frac{(x - a)\,p(x)}{(x - a)\,q(x)} = \frac{p(x)}{q(x)}

Un facteur simplifié donne un trou en $\left(a, \frac{p(a)}{q(a)}\right)$ si $q(a) \neq 0$ ; un facteur restant au dénominateur donne une asymptote

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Tarifs de parking (sauts)

Lentilles et images à l'infini

Corriger une division par zéro dans un logiciel

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Éliminable (trou)

Saut

Infinie

Test pour les fonctions rationnelles

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Notation des limites

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