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Guide de l'enseignant: Amplitude et période

Apprends comment l'amplitude et la période transforment les ondes sinus et cosinus et contrôlent leur hauteur et leur largeur.

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Quiz de classe

10 questions sur Graphiques trigonométriques. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage
  • Définir l'amplitude comme la valeur absolue du coefficient principal
  • Calculer la période en utilisant la formule 2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|}
  • Identifier l'amplitude et la période à partir d'une équation
  • Déterminer l'amplitude et la période à partir d'un graphique
  • Écrire des équations à partir de l'amplitude, la période et le type de fonction
Prérequis
  • • Compréhension des fonctions sinus et cosinus
  • • Familiarité avec le cercle trigonométrique
  • • Graphiques de base de y=sin⁡(x)y = \sin(x) et y=cos⁡(x)y = \cos(x)
  • • Connaissance des radians
Amorces de discussion
  • 1. Pourquoi, selon toi, les musiciens et les ingénieurs du son doivent-ils comprendre l'amplitude et la période ?
  • 2. Si tu doubles l'amplitude d'une onde, qu'arrive-t-il à son apparence ? Et si tu doubles B ?
  • 3. Comment pourrais-tu modifier y=sin⁡(x)y = \sin(x) pour avoir une période de π\pi ? De 4π4\pi ?
  • 4. Lors du tracé de y=3sin⁡(2x)y = 3\sin(2x), quelle transformation devrais-tu appliquer en premier : l'étirement vertical ou la compression horizontale ?
Idées reçues courantes

Penser que y=sin⁡(2x)y = \sin(2x) a une période de 2π⋅2=4π2\pi \cdot 2 = 4\pi

Remédiation: Souligne que B comprime l'onde (relation inverse). Plus de cycles rentrent dans le même espace, donc période = 2π2=π\frac{2\pi}{2} = \pi, pas 4π4\pi.

Croire que l'amplitude affecte l'étirement horizontal

Remédiation: Utilise un tableau : A affecte le vertical (hauteur), B affecte l'horizontal (largeur). Fais dessiner des exemples côte à côte aux élèves.

Confondre l'amplitude avec la valeur maximale

Remédiation: Montre y=2sin⁡(x)+3y = 2\sin(x) + 3 : l'amplitude est 2, mais le maximum est 5. L'amplitude est la distance depuis la ligne médiane, pas la valeur maximale.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

  • • Commence avec des valeurs entières uniquement pour A et B
  • • Fournis des graphiques préparés et demande aux élèves de lire l'amplitude/période
  • • Utilise des démonstrations physiques : ondes avec une corde, ressorts

Pour les élèves au niveau:

  • • Calcule l'amplitude et la période à partir d'équations avec des fractions
  • • Écris des équations à partir d'une amplitude et d'une période données
  • • Associe les équations à leurs graphiques

Pour les élèves avancés:

  • • Explore le déphasage et le décalage vertical en plus de l'amplitude/période
  • • Étudie les valeurs négatives de A et leur effet
  • • Modélise des phénomènes réels (battement cardiaque, marées) avec des fonctions trigonométriques
Alignement aux standards
  • HSF-TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)

    Choisir des fonctions trigonométriques pour modéliser des phénomènes périodiques avec une amplitude, une fréquence et une ligne médiane spécifiées

  • HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7e)

    Tracer des fonctions exponentielles et logarithmiques, en montrant les intercepts et le comportement aux extrémités, et des fonctions trigonométriques, en montrant la période, la ligne médiane et l'amplitude

Ressources de la leçon
  • visualExplorateur d'ondes interactif

    Ajuste les curseurs pour voir comment A et B affectent le graphique

  • activityLaboratoire d'ondes sonores

    Connecter l'amplitude au volume et la période à la hauteur du son

  • worksheetExercices sur l'amplitude et la période

    20 problèmes d'identification et de calcul de ces propriétés

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

L'amplitude et la période sont deux propriétés fondamentales qui décrivent le comportement d'une fonction trigonométrique.

Amplitude

L'amplitude est la distance entre la ligne médiane et le maximum (ou minimum) de l'onde. Pour la forme générale :
y=Asin⁡(Bx)ouy=Acos⁡(Bx)y = A \sin(Bx) \quad \text{ou} \quad y = A \cos(Bx)
L'amplitude est ∣A∣|A| (la valeur absolue de AA).
  • Quand ∣A∣>1|A| > 1 : L'onde est étirée verticalement (plus haute)
  • Quand 0<∣A∣<10 < |A| < 1 : L'onde est comprimée verticalement (plus basse)
  • Quand A<0A < 0 : L'onde est réfléchie par rapport à l'axe des x

Période

La période est la longueur horizontale d'un cycle complet. Pour la forme générale :
y=Asin⁡(Bx)ouy=Acos⁡(Bx)y = A \sin(Bx) \quad \text{ou} \quad y = A \cos(Bx)
La période est 2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|}.
  • Quand ∣B∣>1|B| > 1 : L'onde est comprimée horizontalement (plus de cycles dans le même espace)
  • Quand 0<∣B∣<10 < |B| < 1 : L'onde est étirée horizontalement (moins de cycles)

Exemples résolus

Trouve l'amplitude de y=3sin⁡(x)y = 3\sin(x)
1

Identifie le coefficient A

En comparant y=3sin⁡(x)y = 3\sin(x) avec y=Asin⁡(Bx)y = A\sin(Bx) → A=3A = 3
2

Calcule l'amplitude

Amplitude =∣A∣=∣3∣= |A| = |3| → Amplitude=3\text{Amplitude} = 3
3

Interprète le résultat

L'onde atteint 3 unités au-dessus et en dessous de la ligne médiane → Maximum : 3, Minimum : −3-3

Erreurs courantes

Penser que l'amplitude peut être négative

Pourquoi c'est faux: L'amplitude est toujours positive car elle représente une distance. Quand tu vois y=−3sin⁡(x)y = -3\sin(x), l'amplitude est toujours 3.

Correct: Amplitude =∣A∣= |A|. Un AA négatif cause une réflexion, pas une amplitude négative.

Confondre BB avec la période

Pourquoi c'est faux: Les élèves pensent souvent que BB est la période. En fait, BB affecte le degré de compression de l'onde.

Correct: Période =2π∣B∣= \frac{2\pi}{|B|}. Quand BB augmente, la période diminue (relation inverse).

Oublier le 2π2\pi dans la formule de la période

Pourquoi c'est faux: L'onde sinus/cosinus standard a une période de 2π2\pi, pas 1. Tous les calculs de période sont basés sur cela.

Correct: Période =2π∣B∣= \frac{2\pi}{|B|}, pas 1B\frac{1}{B}. Le 2π2\pi vient de la période naturelle du sinus et du cosinus.

Calculer la période de sin⁡(x/2)\sin(x/2) comme 2π1/2=π\frac{2\pi}{1/2} = \pi

Pourquoi c'est faux: La division par une fraction nécessite d'inverser et de multiplier.

Correct: 2π1/2=2π×2=4π\frac{2\pi}{1/2} = 2\pi \times 2 = 4\pi. Quand B<1B < 1, la période est PLUS LONGUE que 2π2\pi.

Pourquoi c'est important

L'amplitude et la période apparaissent partout où existent des ondes :
  • Ondes sonores : L'amplitude détermine le volume (plus fort = plus grande amplitude), la période détermine la hauteur du son (son plus aigu = période plus courte)
  • Vagues océaniques : L'amplitude est la hauteur des vagues, la période est le temps entre les vagues
  • Électricité : Le courant alternatif a une amplitude (tension) et une période (50 Hz en France = période de 150\frac{1}{50} seconde)
  • Musique : Chaque note musicale est une onde avec une amplitude et une période spécifiques
  • Lumière : Les différentes couleurs ont des périodes différentes (longueurs d'onde)
Les ingénieurs, musiciens et scientifiques utilisent ces concepts quotidiennement pour concevoir tout, des haut-parleurs aux ponts en passant par les appareils IRM !

Applications dans le monde réel

Ingénierie du son

Les ingénieurs du son ajustent l'amplitude (volume) et la période (hauteur) pour mixer la musique et concevoir des haut-parleurs.

Exemple:

Une grosse caisse produit des ondes avec une longue période (basse fréquence ~60 Hz), tandis qu'une cymbale a une période courte (haute fréquence ~10 000 Hz).

1Essaie par toi-même

Un haut-parleur produit un son modélisé par y=Asin⁡(440⋅2πt)y = A\sin(440 \cdot 2\pi t) où tt est en secondes. C'est la note La4 (440 Hz).

Quelle est la période de cette onde en secondes ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise la formule de la période avec B=440⋅2πB = 440 \cdot 2\pi :

Électricité et courant

Le courant alternatif (CA) suit un modèle d'onde sinusoïdale. En France, la norme est de 230V à 50 Hz.

Exemple:

La tension peut être modélisée par V(t)=325sin⁡(100πt)V(t) = 325\sin(100\pi t). L'amplitude est 325V (tension de crête), et la période est 150\frac{1}{50} seconde.

2Essaie par toi-même

Le courant américain utilise 60 Hz au lieu de 50 Hz.

Quelle est la période du courant alternatif américain ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule 1freˊquence\frac{1}{\text{fréquence}} :

Points clés

  • 1L'amplitude =∣A∣= |A| détermine la hauteur de l'onde (distance de la ligne médiane au sommet)
  • 2La période =2π∣B∣= \frac{2\pi}{|B|} détermine la largeur d'un cycle complet
  • 3Un ∣A∣|A| plus grand rend l'onde plus haute ; un ∣A∣|A| plus petit la rend plus basse
  • 4Un ∣B∣|B| plus grand comprime l'onde horizontalement ; un ∣B∣|B| plus petit l'étire
  • 5Pour y=Asin⁡(Bx)y = A\sin(Bx) ou y=Acos⁡(Bx)y = A\cos(Bx) : identifie AA et BB, puis applique les formules

Questions fréquentes

Que se passe-t-il quand l'amplitude est 0 ?

Si A=0A = 0, la fonction devient y=0y = 0 (une ligne horizontale plate). Il n'y a pas d'onde du tout.

La période peut-elle être négative ?

Non. La période est une distance (longueur d'un cycle), donc elle est toujours positive. C'est pourquoi nous utilisons ∣B∣|B| dans la formule.

Quelle est la période de y=sin⁡(x)y = \sin(x) ?

Puisque B=1B = 1, la période est 2π1=2π\frac{2\pi}{1} = 2\pi. C'est la période « standard » pour le sinus et le cosinus.

Comment trouver l'amplitude à partir d'un graphique ?

Trouve la valeur maximale et la valeur minimale, puis : Amplitude =max−min2= \frac{\text{max} - \text{min}}{2}

Glossaire

Amplitude
Le déplacement maximal depuis la ligne médiane d'une onde ; égale ∣A∣|A| dans y=Asin⁡(Bx)y = A\sin(Bx)
Période
La longueur horizontale d'un cycle complet ; égale 2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|} dans y=Asin⁡(Bx)y = A\sin(Bx)
Fréquence
Le nombre de cycles par unité ; fréquence =1peˊriode= \frac{1}{\text{période}}
Ligne médiane
La ligne horizontale à mi-chemin entre les valeurs maximale et minimale d'une onde
Cycle
Une répétition complète du motif d'une fonction périodique

Carte des formules

Forme générale

y=Asin⁡(Bx)y = A\sin(Bx) ou y=Acos⁡(Bx)y = A\cos(Bx)

Forme standard du sinus et cosinus avec amplitude A et fréquence B

Amplitude

∣A∣|A|

Hauteur de l'onde de la ligne médiane au sommet

Période

2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|}

Longueur horizontale d'un cycle complet

Fréquence

∣B∣2π\frac{|B|}{2\pi}

Nombre de cycles par unité

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