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Guide de l'enseignant: Tracer la fonction sinus

Apprends à tracer la fonction sinus et à comprendre ses propriétés clés comme l'amplitude, la période et la phase.

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Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Graphiques trigonométriques. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage
  • Tracer la fonction sinus de base y=sin⁡(x)y = \sin(x) en utilisant les points clés
  • Identifier l'amplitude, la période et la ligne médiane à partir d'une équation sinusoïdale
  • Décrire comment les paramètres AA, BB, CC et DD transforment le graphique sinusoïdal
  • Appliquer les fonctions sinus pour modéliser des phénomènes périodiques réels
Prérequis
  • • Compréhension du cercle trigonométrique
  • • Connaissance de la mesure en radians
  • • Familiarité avec les valeurs du sinus aux angles clés
  • • Savoir placer des points dans un repère
Amorces de discussion
  • 1. Pourquoi penses-tu que les ondes sinusoïdales apparaissent si souvent dans la nature ?
  • 2. Comment le graphique changerait-il si nous utilisions des degrés au lieu de radians sur l'axe des x ?
  • 3. Si tu doubles à la fois l'amplitude et la période, comment le graphique change-t-il ?
  • 4. Quelle quantité du monde réel pourrait être modélisée par y=10sin⁡(x)+20y = 10\sin(x) + 20 ?
Idées reçues courantes

Penser que l'amplitude peut être négative

Remédiation: Explique que l'amplitude est toujours positive (c'est une distance). Un coefficient négatif rend le graphique symétrique par rapport à l'axe des abscisses, mais l'amplitude est ∣A∣|A|.

Confondre fréquence et période

Remédiation: La période est le temps pour un cycle (secondes). La fréquence est le nombre de cycles par seconde (Hz). Ce sont des inverses : f=1Tf = \frac{1}{T}.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

  • • Concentre-toi uniquement sur le y=sin⁡(x)y = \sin(x) de base avant d'ajouter des transformations
  • • Utilise le cercle trigonométrique pour tracer physiquement les valeurs du sinus
  • • Fournis un tableau de valeurs clés à consulter pendant le tracé

Pour les élèves au niveau:

  • • Trace des fonctions avec des transformations uniques (changement d'amplitude OU de période)
  • • Associe les équations aux graphiques
  • • Écris des équations à partir de graphiques donnés

Pour les élèves avancés:

  • • Trace des combinaisons de transformations (amplitude ET période ET décalages)
  • • Détermine l'équation à partir de données du monde réel
  • • Explore la fonction arcsinus et la résolution d'équations trigonométriques
Alignement aux standards
  • F-TF.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.A.1)

    Comprendre la mesure en radians d'un angle comme la longueur de l'arc sur le cercle trigonométrique

  • F-TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)

    Choisir des fonctions trigonométriques pour modéliser des phénomènes périodiques avec amplitude, fréquence et ligne médiane spécifiées

  • F-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.E)

    Tracer des fonctions exponentielles et logarithmiques, montrant les intersections et le comportement aux bornes, et des fonctions trigonométriques, montrant la période, la ligne médiane et l'amplitude

Ressources de la leçon
  • visualTraceur de sinus interactif

    Les élèves ajustent les paramètres et voient le graphique changer en temps réel

  • activityAnalyse des ondes sonores

    Analyser des enregistrements audio pour trouver la fréquence et l'amplitude

  • worksheetPratique des paramètres

    Associer les équations à leurs graphiques

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

La fonction sinus y=sin⁡(x)y = \sin(x) crée une courbe lisse et ondulée appelée onde sinusoïdale. Elle oscille entre −1-1 et 11 et se répète tous les 2π2\pi radians (360 degrés).
**Propriétés clés de y=sin⁡(x)y = \sin(x) :**
PropriétéValeur
Amplitude11 (hauteur du centre au sommet)
Période2π2\pi (un cycle complet)
Ensemble de définitionTous les nombres réels
Image[−1,1][-1, 1]
Zérosx=nπx = n\pi où nn est un entier quelconque
**Points remarquables sur une période [0,2π][0, 2\pi] :**
sin⁡(0)=0(commence aˋ l’origine)sin⁡(π2)=1(maximum)sin⁡(π)=0(coupe l’axe des abscisses)sin⁡(3π2)=−1(minimum)sin⁡(2π)=0(cycle termineˊ)\begin{aligned} \sin(0) &= 0 \quad \text{(commence à l'origine)} \\ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) &= 1 \quad \text{(maximum)} \\ \sin(\pi) &= 0 \quad \text{(coupe l'axe des abscisses)} \\ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) &= -1 \quad \text{(minimum)} \\ \sin(2\pi) &= 0 \quad \text{(cycle terminé)} \end{aligned}

Exemples résolus

Trace y=sin⁡(x)y = \sin(x) pour 0≤x≤2π0 \leq x \leq 2\pi
1

Crée un tableau de valeurs clés

Identifie les cinq points clés : x=0,π2,π,3π2,2πx = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi → Valeurs x clés identifiées
2

Calcule les valeurs y

sin⁡(0)=0\sin(0)=0, sin⁡(π2)=1\sin(\frac{\pi}{2})=1, sin⁡(π)=0\sin(\pi)=0, sin⁡(3π2)=−1\sin(\frac{3\pi}{2})=-1, sin⁡(2π)=0\sin(2\pi)=0 → Points : (0,0)(0,0), (π2,1)(\frac{\pi}{2},1), (π,0)(\pi,0), (3π2,−1)(\frac{3\pi}{2},-1), (2π,0)(2\pi,0)
3

Place les points

Marque chaque point sur le plan cartésien → Cinq points placés
4

Relie avec une courbe lisse

Trace une onde lisse reliant tous les points → Une onde sinusoïdale complète

Erreurs courantes

Confondre degrés et radians sur l'axe des x

Pourquoi c'est faux: Le graphique sinusoïdal standard utilise des radians. π≈3,14\pi \approx 3,14 radians équivaut à 180 degrés.

Correct: Vérifie toujours si ta calculatrice et ton graphique sont dans le même mode. En analyse et dans les mathématiques supérieures, les radians sont standard.

Se tromper sur la direction du déphasage

Pourquoi c'est faux: Dans y=sin⁡(x−c)y = \sin(x - c), le décalage est vers la DROITE, pas vers la gauche. Le moins à l'intérieur crée un comportement opposé.

Correct: y=sin⁡(x−π2)y = \sin(x - \frac{\pi}{2}) décale vers la DROITE de π2\frac{\pi}{2}. y=sin⁡(x+π2)y = \sin(x + \frac{\pi}{2}) décale vers la GAUCHE de π2\frac{\pi}{2}.

Confondre amplitude et image

Pourquoi c'est faux: L'amplitude est la distance de la ligne médiane au sommet, pas la hauteur totale.

Correct: Pour y=3sin⁡(x)y = 3\sin(x), l'amplitude est 3, mais la hauteur totale (image) est 6 (de −3-3 à 33).

Oublier que le coefficient de xx affecte la période, pas l'amplitude

Pourquoi c'est faux: Dans y=sin⁡(Bx)y = \sin(Bx), BB comprime ou étire horizontalement, changeant la période.

Correct: Période =2π∣B∣= \frac{2\pi}{|B|}. Un BB plus grand signifie une période plus courte (oscillation plus rapide).

Pourquoi c'est important

La fonction sinus est partout dans le monde physique :
  • Ondes sonores : La musique et la parole voyagent sous forme d'ondes de pression sinusoïdales
  • Électricité : Le courant alternatif (CA) suit un motif d'onde sinusoïdale
  • Marées : La montée et la descente des marées peuvent être modélisées avec des fonctions sinus
  • Pendules : Un pendule oscillant trace une courbe sinusoïdale au fil du temps
  • Saisons : Les variations de température au cours de l'année suivent un motif sinusoïdal
Les ingénieurs, physiciens et musiciens comptent tous sur la compréhension des ondes sinusoïdales pour concevoir tout, des ponts aux synthétiseurs.

Applications dans le monde réel

Ondes sonores et musique

Les tons musicaux purs sont des ondes sinusoïdales. Un diapason vibre à 440 Hz (note La), créant une onde sinusoïdale dans la pression de l'air.

Exemple:

L'équation y=sin⁡(880πt)y = \sin(880\pi t) modélise une onde sonore de 440 Hz, où tt est le temps en secondes.

1Essaie par toi-même

Une corde de guitare produit une note à 330 Hz.

Quelle est la période de cette onde sonore en secondes ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise Période =1freˊquence= \frac{1}{\text{fréquence}} :

Génie électrique - Courant alternatif

L'électricité domestique utilise du courant alternatif qui suit un motif d'onde sinusoïdale.

Exemple:

Les prises européennes fournissent 230V à 50 Hz : V(t)=325sin⁡(100πt)V(t) = 325\sin(100\pi t) où la tension de crête est d'environ 325V.

2Essaie par toi-même

L'électricité américaine fonctionne à 60 Hz avec une tension de crête de 170V.

Écris l'équation pour la tension domestique américaine.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise V(t)=Asin⁡(2πf⋅t)V(t) = A\sin(2\pi f \cdot t) où AA est la tension de crête et ff est la fréquence :

Marées océaniques

Les hauteurs des marées suivent un motif approximativement sinusoïdal en raison de l'attraction gravitationnelle de la lune.

Exemple:

Si la marée haute est à 6h avec une hauteur de 3 mètres et la marée basse à 12h avec une hauteur de 1 mètre, la marée peut être modélisée avec une fonction sinus.

3Essaie par toi-même

Un port a une marée haute de 4 mètres à minuit et une marée basse de 0 mètre 6 heures plus tard.

Quelle est la période de cette fonction de marée, en heures ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

La période est le double du temps entre la marée haute et la marée basse :

Points clés

  • 1La fonction sinus y=sin⁡(x)y = \sin(x) crée une onde lisse oscillant entre −1-1 et 11
  • 2Les points clés se trouvent à x=0,π2,π,3π2,2πx = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi (valeurs : 0,1,0,−1,00, 1, 0, -1, 0)
  • 3La période de la fonction sinus de base est 2π2\pi (un cycle complet)
  • 4Dans y=Asin⁡(Bx−C)+Dy = A\sin(Bx - C) + D : ∣A∣|A| = amplitude, 2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|} = période, CB\frac{C}{B} = déphasage, DD = translation verticale
  • 5L'amplitude est la distance de la ligne médiane au sommet, pas la hauteur totale

Questions fréquentes

Pourquoi la fonction sinus commence-t-elle à zéro ?

Sur le cercle trigonométrique, le sinus représente la coordonnée y. À l'angle 0 (pointant vers la droite sur l'axe des x), la coordonnée y est 0. C'est pourquoi sin⁡(0)=0\sin(0) = 0.

Quelle est la différence entre les graphiques sinus et cosinus ?

Le graphique cosinus a la même forme que le sinus, mais décalé vers la gauche de π2\frac{\pi}{2}. En fait, cos⁡(x)=sin⁡(x+π2)\cos(x) = \sin(x + \frac{\pi}{2}). Le cosinus commence à son maximum (1) tandis que le sinus commence à 0.

Comment tracer une courbe avec un coefficient négatif comme y=−2sin⁡(x)y = -2\sin(x) ?

Un coefficient négatif donne la courbe symétrique par rapport à l'axe des abscisses. L'amplitude reste ∣−2∣=2|-2| = 2. L'onde qui monte d'habitude en premier descend maintenant en premier : les maximums deviennent des minimums et inversement.

Glossaire

Amplitude
La distance de la ligne médiane au maximum (ou minimum) de l'onde. Pour y=Asin⁡(x)y = A\sin(x), l'amplitude est ∣A∣|A|.
Période
La longueur horizontale d'un cycle complet. Pour y=sin⁡(Bx)y = \sin(Bx), la période est 2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|}.
Déphasage
Une translation horizontale du graphique. Dans y=sin⁡(x−C)y = \sin(x - C), le déphasage est de CC unités vers la droite.
Ligne médiane
La ligne horizontale à mi-chemin entre les valeurs maximale et minimale. Pour y=sin⁡(x)+Dy = \sin(x) + D, la ligne médiane est y=Dy = D.
Sinusoïdal
Ayant la forme d'une courbe sinusoïdale ; toute fonction qui peut être écrite comme une fonction sinus ou cosinus transformée.

Carte des formules

Forme générale

y=Asin⁡(Bx−C)+Dy = A\sin(Bx - C) + D

Formule complète de transformation du sinus

Amplitude

∣A∣|A|

Hauteur de la ligne médiane au sommet

Période

2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|}

Longueur d'un cycle complet

Déphasage

CB\frac{C}{B}

Décalage horizontal (vers la droite si positif) ; sous la forme $y = A\sin(B(x - h)) + D$, c'est simplement $h$

Translation verticale

DD

Déplace la ligne médiane vers le haut ou le bas

Points clés

(0,0),(π2,1),(π,0),(3π2,−1),(2π,0)(0,0), (\frac{\pi}{2},1), (\pi,0), (\frac{3\pi}{2},-1), (2\pi,0)

Cinq points remarquables pour un cycle

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