Tracer le graphe de la fonction tangente

Apprenez à tracer y = tan(x), identifier les asymptotes, la période et les caractéristiques clés de la courbe tangente.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

La fonction tangente est définie comme le rapport du sinus au cosinus :
Contrairement au sinus et au cosinus, la fonction tangente a des asymptotes verticales là où .
**Propriétés clés de :**
  • Période : (pas comme le sinus et le cosinus)
  • Domaine : Tous les nombres réels sauf où est un entier
  • Image : Tous les nombres réels
  • Asymptotes : Droites verticales à
  • Zéros : À
  • La fonction passe par l'origine

Essaie tout de suite

Quelle est la période de ?

Exemples résolus

Esquissez une période de et identifiez les asymptotes, les zéros et le comportement.

1

Trouver les asymptotes

quand et → Asymptotes verticales à

2

Trouver le zéro

quand , donc → Zéro à

3

Trouver les points clés

et → Points : et

4

Décrire le comportement

Quand , ; quand , → La courbe monte de à

Erreurs courantes

Penser que la période de la tangente est comme le sinus et le cosinus

Pourquoi c'est faux: La fonction tangente se répète tous les radians car pour tout dans le domaine.

Correct: La période de est . Pour , la période est .

Dessiner la courbe traversant les asymptotes

Pourquoi c'est faux: Les asymptotes représentent des valeurs où la fonction n'est pas définie. La courbe s'approche mais ne touche ni ne traverse jamais.

Correct: Dessinez des lignes verticales en pointillés pour les asymptotes. La courbe s'approche de en s'approchant de chaque asymptote.

Oublier que la tangente n'a pas de valeur maximale ou minimale

Pourquoi c'est faux: Contrairement au sinus et cosinus qui sont bornés entre et , l'image de la tangente inclut tous les nombres réels.

Correct: L'image de est . Il n'y a pas d'amplitude pour les fonctions tangente.

Visuel interactif

Cercle trigonométrique

Degrés

0°

Radians

0

sin(θ)

0

cos(θ)

1

tan(θ)

0

Coordonnées (cos, sin)

(1, 0)

Clique et fais glisser pour faire tourner l'angle autour du cercle trigonométrique.

Explorateur de fonction lineaire

y = x
Pente (m)1
Ordonnee a l'origine (b)0
b
course
montée

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

Essayez ces exemples:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculateur d'expressions

Essayez ceux-ci:

Historique

Aucun calcul encore

Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile

Quelle est la période de ?

Pourquoi c'est important

La fonction tangente apparaît dans toutes les mathématiques et applications pratiques :
  • Architecture : Calcul des pentes de toits et angles de rampes
  • Physique : Analyse du mouvement des projectiles et oscillations de pendules
  • Navigation : Détermination des relèvements et trajectoires de vol
  • Ingénierie : Conception de routes, ponts et structures avec des inclinaisons spécifiques
Comprendre le graphe de la tangente vous aide à visualiser comment le rapport du changement vertical au changement horizontal se comporte selon les angles.

Applications dans le monde réel

Génie routier

Les ingénieurs utilisent la fonction tangente lors de la conception de routes avec des pentes et des inclinaisons spécifiques.

Exemple:

Une route monte de 5 mètres sur une distance horizontale de 100 mètres. L'angle de pente satisfait , donnant .

1Essayez vous-même

Une rampe pour fauteuil roulant doit avoir un rapport de pente maximum de 1:12 (hauteur sur longueur).

Quel est l'angle maximum de la rampe ?

Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique

Calculez :

Navigation aérienne

Les pilotes utilisent les rapports tangente pour calculer les angles de descente et les trajectoires d'approche.

Exemple:

Un avion descend de 3 000 mètres tout en parcourant 15 kilomètres horizontalement. L'angle de descente a .

2Essayez vous-même

Une pente de descente standard de 3 degrés est utilisée pour les approches d'atterrissage.

De combien de mètres l'avion descend-il par kilomètre de distance horizontale ?

Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique

Calculez :

Points clés

  • 1La fonction tangente est définie comme
  • 2La période de est (pas )
  • 3Les asymptotes verticales se produisent à où le cosinus est nul
  • 4L'image inclut tous les nombres réels sans maximum ni minimum
  • 5Pour , la période est
  • 6Le graphe passe par l'origine et a des zéros aux multiples de

Questions fréquentes

Comme , la fonction n'est pas définie partout où . La division par zéro crée des asymptotes verticales. Le sinus et le cosinus sont définis pour tous les nombres réels sans division.
Comme , la fonction n'est pas définie partout où . La division par zéro crée des asymptotes verticales. Le sinus et le cosinus sont définis pour tous les nombres réels sans division.
Les asymptotes se produisent où le cosinus est nul : aux multiples impairs de . C'est-à-dire , etc. Pensez : à mi-chemin entre chaque zéro du cosinus.
La fonction tangente se répète après radians car le sinus et le cosinus changent de signe ensemble après , donc leur rapport reste le même : .

Glossaire

Asymptote
Une ligne dont une courbe s'approche mais ne touche jamais. Pour la tangente, ce sont des lignes verticales où la fonction n'est pas définie.
Période
La distance horizontale avant qu'une fonction ne se répète. Pour , la période est .
Fonction tangente
Une fonction trigonométrique définie comme , représentant le rapport du côté opposé au côté adjacent dans un triangle rectangle.

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