Tracer le graphe de la fonction tangente

Apprends à tracer y = tan(x), identifier les asymptotes, la période et les caractéristiques clés de la courbe tangente.

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Définition

La fonction tangente est définie comme le rapport du sinus au cosinus :
tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}
Contrairement au sinus et au cosinus, la fonction tangente a des asymptotes verticales là où cos⁡(x)=0\cos(x) = 0.
**Propriétés clés de y=tan⁡(x)y = \tan(x) :**
  • Période : π\pi (pas 2π2\pi comme le sinus et le cosinus)
  • Domaine : Tous les nombres réels sauf x=π2+nπx = \frac{\pi}{2} + n\pi où nn est un entier
  • Image : Tous les nombres réels (−∞,∞)(-\infty, \infty)
  • Asymptotes : Droites verticales à x=π2,3π2,−π2,...x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, ...
  • Zéros : À x=0,±π,±2π,...x = 0, \pm\pi, \pm 2\pi, ...
  • La fonction passe par l'origine (0,0)(0, 0)

Essaie tout de suite

Quelle est la période de y=tan⁡(x)y = \tan(x) ?

Exemples résolus

Esquisse une période de y=tan⁡(x)y = \tan(x) et identifie les asymptotes, les zéros et le comportement.
1

Trouver les asymptotes

cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 quand x=−π2x = -\frac{\pi}{2} et x=π2x = \frac{\pi}{2} → Asymptotes verticales à x=±π2x = \pm\frac{\pi}{2}
2

Trouver le zéro

tan⁡(x)=0\tan(x) = 0 quand sin⁡(x)=0\sin(x) = 0, donc x=0x = 0 → Zéro à (0,0)(0, 0)
3

Trouver les points clés

tan⁡(−π4)=−1\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 et tan⁡(π4)=1\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 → Points : (−π4,−1)\left(-\frac{\pi}{4}, -1\right) et (π4,1)\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)
4

Décrire le comportement

Quand x→−π2+x \to -\frac{\pi}{2}^+, tan⁡(x)→−∞\tan(x) \to -\infty ; quand x→π2−x \to \frac{\pi}{2}^-, tan⁡(x)→+∞\tan(x) \to +\infty → La courbe monte de −∞-\infty à +∞+\infty

Erreurs courantes

Penser que la période de la tangente est 2π2\pi comme le sinus et le cosinus

Pourquoi c'est faux: La fonction tangente se répète tous les π\pi radians car tan⁡(x+π)=tan⁡(x)\tan(x + \pi) = \tan(x) pour tout xx dans le domaine.

Correct: La période de y=tan⁡(x)y = \tan(x) est π\pi. Pour y=tan⁡(bx)y = \tan(bx), la période est π∣b∣\frac{\pi}{|b|}.

Dessiner la courbe traversant les asymptotes

Pourquoi c'est faux: Les asymptotes représentent des valeurs où la fonction n'est pas définie. La courbe s'approche mais ne touche ni ne traverse jamais.

Correct: Dessine des lignes verticales en pointillés pour les asymptotes. La courbe s'approche de ±∞\pm\infty en s'approchant de chaque asymptote.

Oublier que la tangente n'a pas de valeur maximale ou minimale

Pourquoi c'est faux: Contrairement au sinus et cosinus qui sont bornés entre −1-1 et 11, l'image de la tangente inclut tous les nombres réels.

Correct: L'image de y=tan⁡(x)y = \tan(x) est (−∞,∞)(-\infty, \infty). Il n'y a pas d'amplitude pour les fonctions tangente.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

-2π-π0π2π-4-2024xy(-6,28 ; 0)(-3,14 ; 0)(0 ; 0)(3,14 ; 0)(6,28 ; 0)x = -3π/2x = -π/2x = π/2x = 3π/2

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

  • Période = π
y = A·tan(Bx)Asymptote
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (-6,28 ; 0)
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (-3,14 ; 0)
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (0 ; 0)
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (3,14 ; 0)
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (6,28 ; 0)

Cercle trigonométrique

Degrés

0°

Radians

0

sin(θ)

0

cos(θ)

1

tan(θ)

0

Coordonnées (cos, sin)

(1, 0)

Clique et fais glisser pour faire tourner l'angle autour du cercle trigonométrique.

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

-3π-2π-π0π2π3π-4-2024xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

tan(x)

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Quelle est la période de y=tan⁡(x)y = \tan(x) ?

Pourquoi c'est important

La fonction tangente apparaît dans toutes les mathématiques et applications pratiques :
  • Architecture : Calcul des pentes de toits et angles de rampes
  • Physique : Analyse du mouvement des projectiles et oscillations de pendules
  • Navigation : Détermination des relèvements et trajectoires de vol
  • Ingénierie : Conception de routes, ponts et structures avec des inclinaisons spécifiques
Comprendre le graphe de la tangente t'aide à visualiser comment le rapport du changement vertical au changement horizontal se comporte selon les angles.

Applications dans le monde réel

Génie routier

Les ingénieurs utilisent la fonction tangente lors de la conception de routes avec des pentes et des inclinaisons spécifiques.

Exemple:

Une route monte de 5 mètres sur une distance horizontale de 100 mètres. L'angle de pente θ\theta satisfait tan⁡(θ)=5100=0,05\tan(\theta) = \frac{5}{100} = 0,05, donnant θ≈2,86°\theta \approx 2,86°.

1Essaie par toi-même

Une rampe pour fauteuil roulant doit avoir un rapport de pente maximum de 1:12 (hauteur sur longueur).

Quel est l'angle maximum de la rampe ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule arctan⁡(112)\arctan\left(\frac{1}{12}\right) :

Navigation aérienne

Les pilotes utilisent les rapports tangente pour calculer les angles de descente et les trajectoires d'approche.

Exemple:

Un avion descend de 3 000 mètres tout en parcourant 15 kilomètres horizontalement. L'angle de descente θ\theta a tan⁡(θ)=300015000\tan(\theta) = \frac{3000}{15000}.

2Essaie par toi-même

Une pente de descente standard de 3 degrés est utilisée pour les approches d'atterrissage.

De combien de mètres l'avion descend-il par kilomètre de distance horizontale ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule : 1000×tan⁡(3°)1000 \times \tan(3°)

Points clés

  • 1La fonction tangente est définie comme tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}
  • 2La période de y=tan⁡(x)y = \tan(x) est π\pi (pas 2π2\pi)
  • 3Les asymptotes verticales se produisent à x=π2+nπx = \frac{\pi}{2} + n\pi où le cosinus est nul
  • 4L'image inclut tous les nombres réels (−∞,∞)(-\infty, \infty) sans maximum ni minimum
  • 5Pour y=tan⁡(bx)y = \tan(bx), la période est π∣b∣\frac{\pi}{|b|}
  • 6Le graphe passe par l'origine et a des zéros aux multiples de π\pi

Questions fréquentes

Comme tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}, la fonction n'est pas définie partout où cos⁡(x)=0\cos(x) = 0. La division par zéro crée des asymptotes verticales. Le sinus et le cosinus sont définis pour tous les nombres réels sans division.
Comme tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}, la fonction n'est pas définie partout où cos⁡(x)=0\cos(x) = 0. La division par zéro crée des asymptotes verticales. Le sinus et le cosinus sont définis pour tous les nombres réels sans division.
Les asymptotes se produisent où le cosinus est nul : aux multiples impairs de π2\frac{\pi}{2}. C'est-à-dire ±π2,±3π2,±5π2\pm\frac{\pi}{2}, \pm\frac{3\pi}{2}, \pm\frac{5\pi}{2}, etc. Pense : à mi-chemin entre chaque zéro du cosinus.
La fonction tangente se répète après π\pi radians car le sinus et le cosinus changent de signe ensemble après π\pi, donc leur rapport reste le même : −sin⁡(x)−cos⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{-\sin(x)}{-\cos(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}.

Glossaire

Asymptote
Une ligne dont une courbe s'approche mais ne touche jamais. Pour la tangente, ce sont des lignes verticales où la fonction n'est pas définie.
Période
La distance horizontale avant qu'une fonction ne se répète. Pour y=tan⁡(x)y = \tan(x), la période est π\pi.
Fonction tangente
Une fonction trigonométrique définie comme tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}, représentant le rapport du côté opposé au côté adjacent dans un triangle rectangle.
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