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Guide de l'enseignant: Formules de l'angle double

Apprends les formules de l'angle double pour le sinus, le cosinus et la tangente afin de simplifier des expressions et résoudre des équations.

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Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Identités trigonométriques. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage
  • Énoncer et appliquer la formule de l'angle double pour le sinus
  • Énoncer et appliquer les trois formes de la formule de l'angle double pour le cosinus
  • Énoncer et appliquer la formule de l'angle double pour la tangente
  • Démontrer les formules de l'angle double à partir des formules d'addition
  • Résoudre des équations trigonométriques impliquant des angles doubles
Prérequis
  • • Formules d'addition pour le sinus et le cosinus
  • • Identité pythagoricienne : sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
  • • Valeurs sur le cercle trigonométrique pour les angles standards
  • • Factorisation d'expressions algébriques
Amorces de discussion
  • 1. Pourquoi penses-tu qu'il y a trois formes pour cos⁡(2θ)\cos(2\theta) mais une seule pour sin⁡(2θ)\sin(2\theta) ?
  • 2. Comment expliquerais-tu à un camarade quelle forme de cos⁡(2θ)\cos(2\theta) utiliser ?
  • 3. Dans la formule de mouvement des projectiles, pourquoi la portée maximale se produit-elle à 45 degrés ?
  • 4. Que se passe-t-il avec tan⁡(2θ)\tan(2\theta) quand θ=45°\theta = 45° ? Pourquoi cela a-t-il un sens géométriquement ?
Idées reçues courantes

Penser que sin⁡(2θ)=2sin⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta (oublier le cosinus)

Remédiation: Montre avec un exemple concret : sin⁡(60°)=32\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}, mais 2sin⁡(30°)=2⋅12=1≠322\sin(30°) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \neq \frac{\sqrt{3}}{2}. Puis vérifie : 2sin⁡(30°)cos⁡(30°)=2⋅12⋅32=322\sin(30°)\cos(30°) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} ✓

Confondre les formules de l'angle double et de l'angle moitié

Remédiation: Souligne que l'angle double part de θ\theta pour trouver 2θ2\theta, tandis que l'angle moitié part de θ\theta pour trouver θ2\frac{\theta}{2}. Utilise une notation claire et un code couleur.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

  • • Concentre-toi d'abord uniquement sur la formule du sinus de l'angle double
  • • Fournis des fiches de référence avec toutes les formules
  • • Utilise des exemples numériques avant les variables (ex. : sin⁡(60°)\sin(60°) avant sin⁡(2θ)\sin(2\theta))

Pour les élèves au niveau:

  • • Pratique les trois formes du cosinus de l'angle double
  • • Résous des équations nécessitant une factorisation
  • • Relie aux formules d'addition par la démonstration

Pour les élèves avancés:

  • • Dérive les formules de l'angle triple en utilisant les formules de l'angle double et d'addition
  • • Explore les formules de réduction de puissance
  • • Étudie les applications dans les séries de Fourier
Alignement aux standards
  • F-TF.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C.9)

    Démontrer les formules d'addition et de soustraction pour le sinus, le cosinus et la tangente et les utiliser pour résoudre des problèmes

  • F-TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)

    Choisir des fonctions trigonométriques pour modéliser des phénomènes périodiques avec amplitude, fréquence et ligne médiane spécifiées

Ressources de la leçon
  • visualExplorateur d'angle double sur le cercle trigonométrique

    Vois comment sin⁡(2θ)\sin(2\theta) est lié à sin⁡θ\sin\theta et cos⁡θ\cos\theta sur le cercle trigonométrique

  • activityJeu d'association d'identités

    Associe les expressions à leurs formes d'angle double équivalentes

  • worksheetExercices sur l'angle double

    Problèmes allant de l'évaluation à la résolution d'équations

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Les formules de l'angle double expriment les fonctions trigonométriques de 2θ2\theta en termes de fonctions de θ\theta.

Sinus de l'angle double

sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta

Cosinus de l'angle double (Trois formes)

cos⁡(2θ)=cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta
cos⁡(2θ)=2cos⁡2θ−1\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1
cos⁡(2θ)=1−2sin⁡2θ\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta

Tangente de l'angle double

tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}
Ces identités sont dérivées des formules d'addition en posant les deux angles égaux à θ\theta.

Exemples résolus

Utilise la formule d'addition sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B pour démontrer sin⁡(2θ)\sin(2\theta).
1

Commence avec la formule d'addition

sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B → Formule d'addition
2

Pose A=B=θA = B = \theta

sin⁡(θ+θ)=sin⁡θcos⁡θ+cos⁡θsin⁡θ\sin(\theta + \theta) = \sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta → sin⁡(2θ)=sin⁡θcos⁡θ+sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = \sin\theta\cos\theta + \sin\theta\cos\theta
3

Regroupe les termes semblables

sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta

Erreurs courantes

Écrire sin⁡(2θ)=2sin⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta

Pourquoi c'est faux: Les élèves oublient parfois le facteur cosinus. La fonction sinus n'est pas linéaire, donc on ne peut pas simplement doubler l'argument en doublant le résultat.

Correct: sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta : le sinus ET le cosinus de θ\theta sont nécessaires.

Utiliser la mauvaise forme de cos⁡(2θ)\cos(2\theta)

Pourquoi c'est faux: Il existe trois formes équivalentes. Choisir la mauvaise peut rendre les problèmes plus difficiles.

Correct: Choisis la forme qui correspond à tes données : utilise 1−2sin⁡2θ1 - 2\sin^2\theta si tu connais sin⁡θ\sin\theta, utilise 2cos⁡2θ−12\cos^2\theta - 1 si tu connais cos⁡θ\cos\theta.

Oublier le signe du dénominateur de tan⁡(2θ)\tan(2\theta)

Pourquoi c'est faux: La formule a 1−tan⁡2θ1 - \tan^2\theta au dénominateur, pas 1+tan⁡2θ1 + \tan^2\theta.

Correct: tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}

Pourquoi c'est important

Les formules de l'angle double sont des outils essentiels en mathématiques avancées et en physique :
  • Calcul intégral : Simplifie des intégrales comme ∫sin⁡2x dx\int \sin^2 x \, dx en utilisant l'identité sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}
  • Physique : Décris le mouvement des projectiles, où la portée dépend de sin⁡(2θ)\sin(2\theta)
  • Traitement du signal : Analyse l'interférence des ondes et la modulation
  • Ingénierie : Conçois des machines rotatives et des systèmes oscillants
Sans ces identités, de nombreux calculs en science et ingénierie seraient beaucoup plus complexes !

Applications dans le monde réel

Formule de la portée d'un projectile

La portée d'un projectile lancé à l'angle $\theta$ avec une vitesse initiale $v_0$ est $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$. La portée maximale est atteinte quand $\sin(2\theta) = 1$, c'est-à-dire $\theta = 45°$.

Exemple:

Un ballon de football frappé à 20 m/s à un angle de 30° : R=400⋅sin⁡(60°)10=400⋅0,86610≈34,6R = \frac{400 \cdot \sin(60°)}{10} = \frac{400 \cdot 0,866}{10} \approx 34,6 mètres.

1Essaie par toi-même

Un athlète lance un javelot à 25 m/s. Il veut maximiser la distance.

À quel angle doit-il lancer, et quelle est la portée maximale ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Pour une portée maximale, sin⁡(2θ)=1\sin(2\theta) = 1, donc 2θ=90°2\theta = 90°

Électrotechnique : Facteur de puissance

Dans les circuits à courant alternatif, les calculs de puissance impliquent souvent $\cos(2\omega t)$ où $\omega$ est la pulsation. L'identité de l'angle double aide à analyser la puissance instantanée.

Exemple:

Si la tension V=V0cos⁡(ωt)V = V_0\cos(\omega t) et le courant I=I0cos⁡(ωt)I = I_0\cos(\omega t), la puissance instantanée implique cos⁡2(ωt)=1+cos⁡(2ωt)2\cos^2(\omega t) = \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2}.

2Essaie par toi-même

Un ingénieur doit trouver la moyenne de cos⁡2(ωt)\cos^2(\omega t) sur une période.

Utilise l'identité cos⁡2θ=1+cos⁡(2θ)2\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} pour trouver cette moyenne.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

La moyenne de cos⁡(2ωt)\cos(2\omega t) sur une période est 0, donc...

Points clés

  • 1sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta
  • 2cos⁡(2θ)\cos(2\theta) a trois formes : cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos^2\theta - \sin^2\theta, 2cos⁡2θ−12\cos^2\theta - 1 et 1−2sin⁡2θ1 - 2\sin^2\theta
  • 3tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}
  • 4Ces identités proviennent des formules d'addition avec A=B=θA = B = \theta
  • 5Choisis la forme de cos⁡(2θ)\cos(2\theta) qui correspond à tes informations données

Questions fréquentes

Pourquoi y a-t-il trois formes pour le cosinus de l'angle double ?

Les trois sont équivalentes, mais chacune est utile dans différentes situations. Utilise cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos^2\theta - \sin^2\theta quand tu connais les deux. Utilise 2cos⁡2θ−12\cos^2\theta - 1 quand tu ne connais que le cosinus. Utilise 1−2sin⁡2θ1 - 2\sin^2\theta quand tu ne connais que le sinus. Elles sont dérivées en utilisant sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1.

Comment dériver les formules de l'angle moitié à partir des formules de l'angle double ?

Remplace θ\theta par θ2\frac{\theta}{2} dans la formule de l'angle double. Par exemple, de cos⁡(2α)=2cos⁡2α−1\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1, pose α=θ2\alpha = \frac{\theta}{2} : cos⁡θ=2cos⁡2(θ2)−1\cos\theta = 2\cos^2(\frac{\theta}{2}) - 1, ce qui donne cos⁡(θ2)=±1+cos⁡θ2\cos(\frac{\theta}{2}) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}.

Quand tan⁡(2θ)\tan(2\theta) est-il indéfini ?

Quand le dénominateur égale zéro : 1−tan⁡2θ=01 - \tan^2\theta = 0, donc tan⁡θ=±1\tan\theta = \pm 1, ce qui signifie θ=45°,135°,225°,315°\theta = 45°, 135°, 225°, 315° (ou π4,3π4,5π4,7π4\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}). À ces angles, 2θ2\theta est un multiple impair de 90°90°.

Glossaire

Angle double
Un angle qui est le double d'un autre angle, écrit 2θ2\theta
Identité
Une équation qui est vraie pour toutes les valeurs valides de la variable
Formule d'addition
Formules comme sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B utilisées pour trouver les valeurs trigonométriques des sommes
Identité pythagoricienne
L'identité fondamentale sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

Carte des formules

Sinus

sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta

Formule de l'angle double pour le sinus

Cosinus (Forme 1)

cos⁡(2θ)=cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta

Avec sinus et cosinus

Cosinus (Forme 2)

cos⁡(2θ)=2cos⁡2θ−1\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1

Avec cosinus uniquement

Cosinus (Forme 3)

cos⁡(2θ)=1−2sin⁡2θ\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta

Avec sinus uniquement

Tangente

tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}

Formule de l'angle double pour la tangente

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