Guide de l'enseignant: Formules de l'angle double

Apprenez les formules de l'angle double pour le sinus, le cosinus et la tangente afin de simplifier des expressions et résoudre des équations.

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Quiz de classe

10 questions sur Identités trigonométriques. Les élèves participent avec un prénom, tu vois tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Énoncer et appliquer la formule de l'angle double pour le sinus
Énoncer et appliquer les trois formes de la formule de l'angle double pour le cosinus
Énoncer et appliquer la formule de l'angle double pour la tangente
Démontrer les formules de l'angle double à partir des formules d'addition
Résoudre des équations trigonométriques impliquant des angles doubles

Prérequis

• Formules d'addition pour le sinus et le cosinus
• Identité pythagoricienne :
• Valeurs sur le cercle trigonométrique pour les angles standards
• Factorisation d'expressions algébriques

Amorces de discussion

1. Pourquoi pensez-vous qu'il y a trois formes pour mais une seule pour ?
2. Comment expliqueriez-vous à un camarade quelle forme de utiliser ?
3. Dans la formule de mouvement des projectiles, pourquoi la portée maximale se produit-elle à 45 degrés ?
4. Que se passe-t-il avec quand ? Pourquoi cela a-t-il un sens géométriquement ?

Idées reçues courantes

Penser que (oublier le cosinus)

Confondre les formules de l'angle double et de l'angle moitié

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Concentrez-vous d'abord uniquement sur la formule du sinus de l'angle double
• Fournissez des fiches de référence avec toutes les formules
• Utilisez des exemples numériques avant les variables (ex. : avant )

Pour les élèves au niveau:

• Pratiquez les trois formes du cosinus de l'angle double
• Résolvez des équations nécessitant une factorisation
• Reliez aux formules d'addition par la démonstration

Pour les élèves avancés:

• Dérivez les formules de l'angle triple en utilisant les formules de l'angle double et d'addition
• Explorez les formules de réduction de puissance
• Étudiez les applications dans les séries de Fourier

Alignement aux standards

F-TF.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C.9)
Démontrer les formules d'addition et de soustraction pour le sinus, le cosinus et la tangente et les utiliser pour résoudre des problèmes
F-TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)
Choisir des fonctions trigonométriques pour modéliser des phénomènes périodiques avec amplitude, fréquence et ligne médiane spécifiées

Ressources de la leçon

visualExplorateur d'angle double sur le cercle trigonométrique
Voyez comment est lié à et sur le cercle trigonométrique
activityJeu d'association d'identités
Associez les expressions à leurs formes d'angle double équivalentes
worksheetExercices sur l'angle double
Problèmes allant de l'évaluation à la résolution d'équations

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Les formules de l'angle double expriment les fonctions trigonométriques de en termes de fonctions de .

Sinus de l'angle double

Cosinus de l'angle double (Trois formes)

Tangente de l'angle double

Ces identités sont dérivées des formules d'addition en posant les deux angles égaux à .

Exemples résolus

Utilisez la formule d'addition pour démontrer .

Commencez avec la formule d'addition

→ Formule d'addition

Posez

→

Regroupez les termes semblables

→

Réponse:

Erreurs courantes

Écrire

Pourquoi c'est faux: Les élèves oublient parfois le facteur cosinus. La fonction sinus n'est pas linéaire, donc on ne peut pas simplement doubler l'argument en doublant le résultat.

Correct: — le sinus ET le cosinus de sont nécessaires.

Utiliser la mauvaise forme de

Pourquoi c'est faux: Il existe trois formes équivalentes. Choisir la mauvaise peut rendre les problèmes plus difficiles.

Correct: Choisissez la forme qui correspond à vos données : utilisez si vous connaissez , utilisez si vous connaissez .

Oublier le signe du dénominateur de

Pourquoi c'est faux: La formule a au dénominateur, pas .

Correct:

Pourquoi c'est important

Les formules de l'angle double sont des outils essentiels en mathématiques avancées et en physique :

Calcul intégral : Simplifiez des intégrales comme en utilisant l'identité
Physique : Décrivez le mouvement des projectiles, où la portée dépend de
Traitement du signal : Analysez l'interférence des ondes et la modulation
Ingénierie : Concevez des machines rotatives et des systèmes oscillants

Sans ces identités, de nombreux calculs en science et ingénierie seraient beaucoup plus complexes !

Applications dans le monde réel

Formule de la portée d'un projectile

La portée d'un projectile lancé à l'angle $\theta$ avec une vitesse initiale $v_0$ est $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$. La portée maximale est atteinte quand $\sin(2\theta) = 1$, c'est-à-dire $\theta = 45°$.

Exemple:

Un ballon de football frappé à 20 m/s à un angle de 30° : mètres.

1Essayez vous-même

Un athlète lance un javelot à 25 m/s. Il veut maximiser la distance.

À quel angle doit-il lancer, et quelle est la portée maximale ?

Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique

Pour une portée maximale, , donc

Électrotechnique : Facteur de puissance

Dans les circuits à courant alternatif, les calculs de puissance impliquent souvent $\cos(2\omega t)$ où $\omega$ est la pulsation. L'identité de l'angle double aide à analyser la puissance instantanée.

Exemple:

Si la tension et le courant , la puissance instantanée implique .

2Essayez vous-même

Un ingénieur doit trouver la moyenne de sur une période.

Utilisez l'identité pour trouver cette moyenne.

Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique

La moyenne de sur une période est 0, donc...

Points clés

1
2 a trois formes : , et
3
4Ces identités proviennent des formules d'addition avec
5Choisissez la forme de qui correspond à vos informations données

Questions fréquentes

Pourquoi y a-t-il trois formes pour le cosinus de l'angle double ?

Les trois sont équivalentes, mais chacune est utile dans différentes situations. Utilisez quand vous connaissez les deux. Utilisez quand vous ne connaissez que le cosinus. Utilisez quand vous ne connaissez que le sinus. Elles sont dérivées en utilisant .

Comment dériver les formules de l'angle moitié à partir des formules de l'angle double ?

Remplacez par dans la formule de l'angle double. Par exemple, de , posez : , ce qui donne .

Quand est-il indéfini ?

Quand le dénominateur égale zéro : , donc , ce qui signifie (ou ). À ces angles, est un multiple impair de .

Glossaire

Angle double: Un angle qui est le double d'un autre angle, écrit
Identité: Une équation qui est vraie pour toutes les valeurs valides de la variable
Formule d'addition: Formules comme utilisées pour trouver les valeurs trigonométriques des sommes
Identité pythagoricienne: L'identité fondamentale

Carte des formules

Sinus

Formule de l'angle double pour le sinus

Cosinus (Forme 1)

Avec sinus et cosinus

Cosinus (Forme 2)

Avec cosinus uniquement

Cosinus (Forme 3)

Avec sinus uniquement

Tangente

Formule de l'angle double pour la tangente

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