Identités trigonométriques paires et impaires

Apprends pourquoi le cosinus et la sécante sont des fonctions paires tandis que le sinus, la tangente, la cosécante et la cotangente sont des fonctions impaires.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Les fonctions trigonométriques peuvent être classées comme paires ou impaires selon leur comportement lorsqu'on prend l'opposé de l'angle d'entrée.
Fonctions paires (symétriques par rapport à l'axe des yy) :
cos⁡(−θ)=cos⁡(θ)\cos(-\theta) = \cos(\theta)
sec⁡(−θ)=sec⁡(θ)\sec(-\theta) = \sec(\theta)
Fonctions impaires (symétriques par rapport à l'origine) :
sin⁡(−θ)=−sin⁡(θ)\sin(-\theta) = -\sin(\theta)
tan⁡(−θ)=−tan⁡(θ)\tan(-\theta) = -\tan(\theta)
csc⁡(−θ)=−csc⁡(θ)\csc(-\theta) = -\csc(\theta)
cot⁡(−θ)=−cot⁡(θ)\cot(-\theta) = -\cot(\theta)
Ces identités sont appelées identités de parité car elles reflètent les définitions algébriques des fonctions paires et impaires :
  • Paire : f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)
  • Impaire : f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

Essaie tout de suite

Quelle fonction trigonométrique est paire ?

Exemples résolus

Simplifie : cos⁡(−60°)\cos(-60°)
1

Identifie le type de fonction

Le cosinus est une fonction paire → cos⁡(−θ)=cos⁡(θ)\cos(-\theta) = \cos(\theta)
2

Applique l'identité paire

cos⁡(−60°)=cos⁡(60°)\cos(-60°) = \cos(60°) → L'angle devient positif
3

Évalue le cosinus

cos⁡(60°)=12\cos(60°) = \frac{1}{2}

Erreurs courantes

Penser que toutes les fonctions trigonométriques sont impaires

Pourquoi c'est faux: Les élèves supposent parfois que le signe négatif sort toujours, oubliant que le cosinus et la sécante sont paires.

Correct: Rappelle-toi : Le cosinus et la sécante sont PAIRES (le négatif disparaît), tandis que le sinus, la tangente, la cosécante et la cotangente sont IMPAIRES (le négatif sort).

Écrire cos⁡(−x)=−cos⁡(x)\cos(-x) = -\cos(x)

Pourquoi c'est faux: Confusion entre l'identité paire et les fonctions impaires. Le cosinus est pair, pas impair !

Correct: cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos(-x) = \cos(x) (pas de signe négatif). Le graphique du cosinus est symétrique par rapport à l'axe des yy.

Oublier d'appliquer les deux identités dans les expressions

Pourquoi c'est faux: En simplifiant sin⁡(−x)cos⁡(−x)\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}, les élèves peuvent ne transformer qu'une seule fonction.

Correct: Applique les identités à TOUTES les fonctions : sin⁡(−x)cos⁡(−x)=−sin⁡(x)cos⁡(x)=−tan⁡(x)\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x)

Confondre −sin⁡(x)-\sin(x) avec sin⁡(−x)\sin(-x)

Pourquoi c'est faux: Ces expressions sont égales par l'identité impaire, mais les élèves peuvent ne pas reconnaître cette équivalence.

Correct: sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin(-x) = -\sin(x). Le négatif peut être à l'intérieur ou à l'extérieur - ils sont équivalents pour les fonctions impaires.

Visuel interactif

Cercle trigonométrique

Degrés

0°

Radians

0

sin(θ)

0

cos(θ)

1

tan(θ)

0

Coordonnées (cos, sin)

(1, 0)

Clique et fais glisser pour faire tourner l'angle autour du cercle trigonométrique.

Courbe de la fonction

-2π-π0π2π-1,5-1-0,500,511,5xy(π/3 ; 0,5)(-π/3 ; 0,5)(π/3 ; 0,87)(-π/3 ; -0,87)

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

  • cos(-a) = 0,5
  • cos(a) = 0,5
  • sin(-a) = -0,87
  • -sin(a) = -0,87
y = cos(x)y = sin(x)

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

-3π-2π-π0π2π3π-4-2024xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

cos(x)

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Quelle fonction trigonométrique est paire ?

Pourquoi c'est important

Les identités de parité sont des outils essentiels pour :
  • Simplifier des expressions : Remplace sin⁡(−θ)\sin(-\theta) par −sin⁡(θ)-\sin(\theta) pour travailler avec des angles positifs
  • Résoudre des équations : Transforme des équations avec des angles négatifs en forme standard
  • Intégration : Détermine quand les intégrales sur des intervalles symétriques sont nulles
  • Tracer des graphiques : Comprends la symétrie des graphiques trigonométriques
  • Physique : Analyse le mouvement périodique, les ondes et les oscillations
Ces identités développent aussi l'intuition sur le comportement des fonctions, ce qui s'étend au calcul différentiel et au-delà.

Applications dans le monde réel

Traitement du signal et ondes

En électronique et acoustique, comprendre la symétrie paire-impaire aide à analyser et filtrer les signaux efficacement.

Exemple:

Une onde sonore peut être décomposée en composantes paires (cosinus) et impaires (sinus). Si un signal est purement pair, comme f(t)=cos⁡(2πft)f(t) = \cos(2\pi ft), alors f(−t)=f(t)f(-t) = f(t), ce qui signifie qu'il a la même apparence en avant et en arrière.

1Essaie par toi-même

Un ingénieur du son sait que cos⁡(−ωt)=cos⁡(ωt)\cos(-\omega t) = \cos(\omega t) pour toute fréquence ω\omega.

Si un signal est S(t)=cos⁡(440t)S(t) = \cos(440t), que vaut S(−t)S(-t) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Applique l'identité paire :

Physique : Forces symétriques

De nombreuses grandeurs physiques dépendent de la parité des forces ou des champs en fonction de la position.

Exemple:

La force gravitationnelle sur un pendule dépend de sin⁡(θ)\sin(\theta). Comme le sinus est impair, la force s'inverse lorsque le pendule oscille de l'autre côté : F(−θ)=−F(θ)F(-\theta) = -F(\theta).

2Essaie par toi-même

Une force de rappel d'un ressort est modélisée par F(x)=−ksin⁡(x)F(x) = -k\sin(x) où xx est le déplacement.

Montre que F(−x)=−F(x)F(-x) = -F(x), confirmant que la force est restauratrice.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve F(−x)F(-x) :

Infographie et animation

Les propriétés de parité aident à optimiser les calculs pour les animations symétriques et les réflexions.

Exemple:

Lors du rendu d'une forme symétrique, savoir que cos⁡(−θ)=cos⁡(θ)\cos(-\theta) = \cos(\theta) signifie qu'on n'a besoin de calculer que la moitié des angles de rotation.

3Essaie par toi-même

Une animation fait tourner un objet avec x(θ)=cos⁡(θ)x(\theta) = \cos(\theta) et y(θ)=sin⁡(θ)y(\theta) = \sin(\theta).

Quelles sont les coordonnées à l'angle −θ-\theta en fonction de cos⁡(θ)\cos(\theta) et sin⁡(θ)\sin(\theta) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve (x(−θ),y(−θ))(x(-\theta), y(-\theta)) :

Points clés

  • 1Les fonctions paires satisfont f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) : cosinus et sécante
  • 2Les fonctions impaires satisfont f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) : sinus, tangente, cosécante et cotangente
  • 3Les fonctions paires ont une symétrie par rapport à l'axe des yy
  • 4Les fonctions impaires ont une symétrie par rapport à l'origine (symétrie de rotation de 180 degrés)
  • 5Ces identités aident à simplifier les expressions avec des angles négatifs
  • 6Aide-mémoire : Seules les fonctions commençant par 'co' qui sont paires sont le cosinus et la sécante

Questions fréquentes

Rappelle-toi : Le cosinus et la sécante sont les seules fonctions PAIRES (les deux sont liées à la coordonnée xx). Tout le reste (sinus, tangente, cosécante, cotangente) est IMPAIR. Tu peux aussi tracer leurs graphiques - les fonctions paires sont symétriques par rapport à l'axe des yy.
Rappelle-toi : Le cosinus et la sécante sont les seules fonctions PAIRES (les deux sont liées à la coordonnée xx). Tout le reste (sinus, tangente, cosécante, cotangente) est IMPAIR. Tu peux aussi tracer leurs graphiques - les fonctions paires sont symétriques par rapport à l'axe des yy.
Sur le cercle trigonométrique, cos⁡(θ)\cos(\theta) donne la coordonnée xx et sin⁡(θ)\sin(\theta) donne la coordonnée yy. Quand tu prends l'opposé de l'angle (sens horaire au lieu d'antihoraire), la coordonnée xx reste la même mais la coordonnée yy change de signe.
Puisque cot⁡(θ)=cos⁡(θ)sin⁡(θ)\cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} et csc⁡(θ)=1sin⁡(θ)\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}, les deux héritent de la propriété impaire du sinus dans leurs définitions. Le cosinus pair au numérateur de la cotangente est divisé par le sinus impair, ce qui rend le résultat impair.

Glossaire

Fonction paire
Une fonction où f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) pour tout xx ; symétrique par rapport à l'axe des yy
Fonction impaire
Une fonction où f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) pour tout xx ; symétrique par rapport à l'origine
Identité
Une équation vraie pour toutes les valeurs de la variable
Cercle trigonométrique
Un cercle de rayon 1 centré à l'origine, utilisé pour définir les fonctions trigonométriques

Carte des formules

Cosinus (Pair)

cos⁡(−θ)=cos⁡(θ)\cos(-\theta) = \cos(\theta)

Le cosinus d'un angle négatif égale le cosinus de l'angle positif

Sécante (Paire)

sec⁡(−θ)=sec⁡(θ)\sec(-\theta) = \sec(\theta)

La sécante d'un angle négatif égale la sécante de l'angle positif

Sinus (Impair)

sin⁡(−θ)=−sin⁡(θ)\sin(-\theta) = -\sin(\theta)

Le sinus d'un angle négatif égale l'opposé du sinus de l'angle positif

Tangente (Impaire)

tan⁡(−θ)=−tan⁡(θ)\tan(-\theta) = -\tan(\theta)

La tangente d'un angle négatif égale l'opposé de la tangente de l'angle positif

Cosécante (Impaire)

csc⁡(−θ)=−csc⁡(θ)\csc(-\theta) = -\csc(\theta)

La cosécante d'un angle négatif égale l'opposé de la cosécante de l'angle positif

Cotangente (Impaire)

cot⁡(−θ)=−cot⁡(θ)\cot(-\theta) = -\cot(\theta)

La cotangente d'un angle négatif égale l'opposé de la cotangente de l'angle positif

Défi du jourUn problème, trois essais

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