Identités pythagoriciennes

Apprends les trois identités pythagoriciennes fondamentales et comment les dériver et les appliquer.

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Définition

Les identités pythagoriciennes sont trois équations fondamentales en trigonométrie qui relient les carrés des fonctions trigonométriques. Elles sont dérivées du théorème de Pythagore.

Les trois identités pythagoriciennes

Identité 1 (Fondamentale) :
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
Identité 2 :
1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta
Identité 3 :
1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta
Les trois identités sont vraies pour tout angle θ\theta où les fonctions sont définies.

Essaie tout de suite

Quelle est l'identité pythagoricienne fondamentale ?

Exemples résolus

Prouve que sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 en utilisant le cercle unité.
1

Commence avec un point sur le cercle unité

Tout point sur le cercle unité a les coordonnées (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) → (x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)
2

Applique l'équation du cercle unité

Le cercle unité est défini par x2+y2=1x^2 + y^2 = 1
3

Substitue les coordonnées

Remplace xx par cos⁡θ\cos\theta et yy par sin⁡θ\sin\theta → (cos⁡θ)2+(sin⁡θ)2=1(\cos\theta)^2 + (\sin\theta)^2 = 1
4

Écris en forme standard

Utilise la notation exposant : sin⁡2θ+cos⁡2θ\sin^2\theta + \cos^2\theta → sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 ✓

Erreurs courantes

Oublier de considérer le quadrant lors de la prise de racine carrée

Pourquoi c'est faux: L'équation cos⁡2θ=1625\cos^2\theta = \frac{16}{25} donne cos⁡θ=±45\cos\theta = \pm\frac{4}{5}. Les élèves oublient souvent de déterminer quel signe s'applique.

Correct: Vérifie toujours dans quel quadrant l'angle se trouve pour déterminer le signe de la fonction trig.

Écrire sin⁡2θ\sin^2\theta comme sin⁡θ2\sin\theta^2

Pourquoi c'est faux: sin⁡2θ\sin^2\theta signifie (sin⁡θ)2(\sin\theta)^2, pas sin⁡(θ2)\sin(\theta^2). La notation est une abréviation pour élever au carré le résultat de la fonction sinus.

Correct: sin⁡2θ=(sin⁡θ)2\sin^2\theta = (\sin\theta)^2, signifiant "trouve le sinus de thêta, puis élève au carré le résultat."

Appliquer une identité où une fonction est indéfinie

Pourquoi c'est faux: L'identité 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta est indéfinie quand cos⁡θ=0\cos\theta = 0 (à θ=90°,270°\theta = 90°, 270°, etc.).

Correct: Vérifie que les fonctions dans l'identité sont définies pour l'angle donné.

Visuel interactif

Cercle trigonométrique

Degrés

0°

Radians

0

sin(θ)

0

cos(θ)

1

tan(θ)

0

Coordonnées (cos, sin)

(1, 0)

Clique et fais glisser pour faire tourner l'angle autour du cercle trigonométrique.

Trigonometrie du triangle rectangle

θ =30°
5°45°85°
sin(θ)
0.5
Opp / Hyp
cos(θ)
√3/2
Adj / Hyp
tan(θ)
√3/3
Opp / Adj

Retiens: SOH-CAH-TOA

SOH

Sin = Opp / Hyp

CAH

Cos = Adj / Hyp

TOA

Tan = Opp / Adj

Clique sur sin, cos ou tan pour mettre en evidence les cotes du triangle.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Quelle est l'identité pythagoricienne fondamentale ?

Pourquoi c'est important

Les identités pythagoriciennes sont des outils essentiels en trigonométrie :
  • Simplifier les expressions : Convertir entre fonctions trig pour simplifier des expressions complexes
  • Résoudre des équations : Transformer des équations trigonométriques en formes résolubles
  • Calcul : Utilisées intensivement en intégration et différenciation
  • Physique : Apparaissent dans les équations d'ondes, oscillations et théorie électromagnétique
  • Vérifier des identités : Servent de blocs de construction pour prouver d'autres identités trig
Sans ces identités, beaucoup de techniques mathématiques avancées seraient impossibles !

Applications dans le monde réel

Traitement du signal

Les ingénieurs utilisent les identités pythagoriciennes lors de l'analyse des signaux radio et audio modélisés par des ondes sinus et cosinus.

Exemple:

En combinant deux signaux Asin⁡θA\sin\theta et Acos⁡θA\cos\theta, la puissance totale est A2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)=A2A^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = A^2, qui est constante.

1Essaie par toi-même

Un signal a des composantes 3sin⁡θ3\sin\theta et 4cos⁡θ4\cos\theta.

Quelle est l'amplitude totale ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise (3)2+(4)2(3)^2 + (4)^2 pour trouver le carré de l'amplitude :

Physique : Mouvement harmonique simple

La position et la vitesse d'un objet oscillant sont liées par le sinus et le cosinus. Leur relation énergétique utilise l'identité pythagoricienne.

Exemple:

Si la position est x=Acos⁡(ωt)x = A\cos(\omega t) et la vitesse est v=−Aωsin⁡(ωt)v = -A\omega\sin(\omega t), alors x2A2+v2A2ω2=cos⁡2(ωt)+sin⁡2(ωt)=1\frac{x^2}{A^2} + \frac{v^2}{A^2\omega^2} = \cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t) = 1.

2Essaie par toi-même

Un pendule a une position x=0,6Ax = 0,6A à un instant donné.

Si la position maximale est AA, quelle fraction de AωA\omega est la vitesse ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 avec cos⁡θ=0,6\cos\theta = 0,6 :

Points clés

  • 1L'identité pythagoricienne fondamentale est sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
  • 2La division par cos⁡2θ\cos^2\theta donne 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta
  • 3La division par sin⁡2θ\sin^2\theta donne 1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta
  • 4Ces identités permettent de convertir entre fonctions trig et de simplifier les expressions
  • 5Considère toujours le quadrant lors de la prise de racine carrée

Questions fréquentes

Elles dérivent du théorème de Pythagore a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2. Sur le cercle unité, les côtés de l'angle droit sont cos⁡θ\cos\theta et sin⁡θ\sin\theta, et l'hypoténuse est 1.
Elles dérivent du théorème de Pythagore a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2. Sur le cercle unité, les côtés de l'angle droit sont cos⁡θ\cos\theta et sin⁡θ\sin\theta, et l'hypoténuse est 1.
L'identité fondamentale sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 fonctionne pour tous les angles. Les deux autres identités fonctionnent sauf là où tan, cot, sec ou csc sont indéfinies (division par zéro).
Mémorise seulement sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1. Dérive les autres au besoin en divisant par cos⁡2θ\cos^2\theta ou sin⁡2θ\sin^2\theta.

Glossaire

Identité pythagoricienne
Une équation trigonométrique dérivée du théorème de Pythagore, reliant les carrés des fonctions trig
Cercle unité
Un cercle de rayon 1 centré à l'origine, où tout point est (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta)
Sécante
sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, l'inverse du cosinus
Cosécante
csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, l'inverse du sinus
Cotangente
cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\tan\theta}, l'inverse de la tangente

Carte des formules

Identité fondamentale

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

La somme de sinus carré et cosinus carré égale toujours 1

Identité tangente-sécante

1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta

Dérivée en divisant l'identité fondamentale par $\cos^2\theta$

Identité cotangente-cosécante

1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta

Dérivée en divisant l'identité fondamentale par $\sin^2\theta$

Défi du jourUn problème, trois essais

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