Identités réciproques

Apprends les fonctions trigonométriques réciproques (cosécante, sécante, cotangente) et leurs relations avec le sinus, le cosinus et la tangente.

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Définition

Les identités réciproques définissent trois fonctions trigonométriques supplémentaires en termes de sinus, cosinus et tangente.

Les fonctions réciproques

csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}
cot⁡θ=1tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Pourquoi réciproque ?

Un réciproque est ce par quoi on multiplie un nombre pour obtenir 1. Le réciproque de xx est 1x\frac{1}{x}.
Puisque sin⁡θ⋅csc⁡θ=1\sin\theta \cdot \csc\theta = 1, la cosécante est le réciproque du sinus.

Dans un triangle rectangle

Si sin⁡θ=opposeˊhypoteˊnuse\sin\theta = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}, alors :
csc⁡θ=hypoteˊnuseopposeˊ\csc\theta = \frac{\text{hypoténuse}}{\text{opposé}}
De même :
  • sec⁡θ=hypoteˊnuseadjacent\sec\theta = \frac{\text{hypoténuse}}{\text{adjacent}}
  • cot⁡θ=adjacentopposeˊ\cot\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{opposé}}

Essaie tout de suite

Quelle est l'identité réciproque pour la cosécante ?

Exemples résolus

Trouve csc⁡30°\csc 30° et sec⁡60°\sec 60°
1

Rappelle-toi sin⁡30°\sin 30°

sin⁡30°=12\sin 30° = \frac{1}{2}
2

Applique l'identité réciproque

csc⁡30°=1sin⁡30°=112\csc 30° = \frac{1}{\sin 30°} = \frac{1}{\frac{1}{2}} → csc⁡30°=2\csc 30° = 2
3

Rappelle-toi cos⁡60°\cos 60°

cos⁡60°=12\cos 60° = \frac{1}{2}
4

Applique l'identité réciproque

sec⁡60°=1cos⁡60°=112\sec 60° = \frac{1}{\cos 60°} = \frac{1}{\frac{1}{2}} → sec⁡60°=2\sec 60° = 2

Erreurs courantes

Confondre csc⁡θ\csc\theta avec cos⁡θ\cos\theta

Pourquoi c'est faux: Les abréviations se ressemblent, mais ce sont des fonctions complètement différentes. La cosécante est le réciproque du sinus, pas directement liée au cosinus.

Correct: Retiens : csc⁡\csc (co-sécante) se rapporte à sin⁡\sin (sa co-fonction). Pense : csc = 1/sin

Penser que cot⁡θ=1cos⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\cos\theta}

Pourquoi c'est faux: Le préfixe co ne signifie pas lié au cosinus pour toutes les fonctions. La cotangente est spécifiquement le réciproque de la tangente.

Correct: cot⁡θ=1tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Oublier que les fonctions réciproques sont indéfinies quand leurs homologues sont nulles

Pourquoi c'est faux: La division par zéro est indéfinie. Quand sin⁡θ=0\sin\theta = 0, csc⁡θ\csc\theta n'existe pas.

Correct: csc⁡θ\csc\theta est indéfinie à θ=0°,180°,360°,...\theta = 0°, 180°, 360°, ... (où sin⁡θ=0\sin\theta = 0)

Visuel interactif

Courbe de la fonction

-300-200-1000100200300-4-2024xyx = -360x = -180x = 0x = 180x = 360x = -270x = -90x = 90x = 270x = -270x = -90x = 90x = 270x = -360x = -180x = 0x = 180x = 360

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

  • sin(a) · csc(a) = 1
  • cos(a) · sec(a) = 1
  • tan(a) · cot(a) = 1
  • csc(a) = 2
  • sec(a) = 1,15
  • cot(a) = 1,73

Touche un nom pour afficher ou masquer sa courbe.

Asymptote

Cercle trigonométrique

Degrés

0°

Radians

0

sin(θ)

0

cos(θ)

1

tan(θ)

0

Coordonnées (cos, sin)

(1, 0)

Clique et fais glisser pour faire tourner l'angle autour du cercle trigonométrique.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Quelle est l'identité réciproque pour la cosécante ?

Pourquoi c'est important

Les identités réciproques sont essentielles pour :
  • Simplifier des expressions : Beaucoup d'expressions trigonométriques complexes deviennent plus simples avec les réciproques
  • Résoudre des équations : Certaines équations trigonométriques sont plus faciles à résoudre sous forme réciproque
  • Le calcul différentiel : Les dérivées et intégrales des fonctions réciproques apparaissent fréquemment
  • Physique et ingénierie : Le mouvement ondulatoire, les oscillations et le traitement du signal utilisent ces fonctions
  • Démontrer des identités : Prouver des identités trigonométriques nécessite souvent de convertir entre les formes

Applications dans le monde réel

Génie électrique

Les fonctions trigonométriques réciproques apparaissent dans l'analyse des circuits à courant alternatif, notamment pour calculer l'impédance et les angles de phase dans les circuits RLC.

Exemple:

Dans l'analyse de circuits, la fonction cotangente décrit la relation de phase entre tension et courant dans certains circuits réactifs.

Physique - Mouvement des projectiles

Lors de l'analyse de la portée et de la trajectoire des projectiles, la sécante et la cosécante apparaissent dans les formules impliquant les angles de lancement.

Exemple:

La hauteur maximale d'un projectile peut impliquer csc⁡2θ\csc^2\theta lors de la dérivation de certaines relations.

Navigation et arpentage

Les géomètres et navigateurs utilisent les fonctions réciproques pour calculer des distances et angles plus faciles à mesurer indirectement.

Exemple:

Lors de la mesure de la hauteur d'un grand bâtiment, csc⁡θ\csc\theta peut apparaître en travaillant avec l'angle mesuré depuis une distance connue.

Points clés

  • 1csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} (la cosécante est le réciproque du sinus)
  • 2sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} (la sécante est le réciproque du cosinus)
  • 3cot⁡θ=1tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} (la cotangente est le réciproque de la tangente)
  • 4Les fonctions réciproques sont indéfinies quand leurs homologues sont nulles
  • 5Retiens : sin-csc, cos-sec, tan-cot sont des paires réciproques

Questions fréquentes

Les fonctions réciproques simplifient beaucoup de calculs. Écrire csc⁡θ\csc\theta est plus propre que 1sin⁡θ\frac{1}{\sin\theta}, et beaucoup de formules deviennent plus élégantes. En calcul différentiel, les dérivées de ces fonctions ont des motifs distincts qu'il vaut la peine de connaître.
Les fonctions réciproques simplifient beaucoup de calculs. Écrire csc⁡θ\csc\theta est plus propre que 1sin⁡θ\frac{1}{\sin\theta}, et beaucoup de formules deviennent plus élégantes. En calcul différentiel, les dérivées de ces fonctions ont des motifs distincts qu'il vaut la peine de connaître.
Remarque que les fonctions sans co sont appariées avec des fonctions qui ont co : sinus est apparié avec co-sécante, et co-sinus est apparié avec sécante. Tangente est appariée avec co-tangente.
sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} est indéfinie quand cos⁡θ=0\cos\theta = 0, ce qui se produit à θ=90°,270°\theta = 90°, 270° (ou π2,3π2\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} radians).

Glossaire

Réciproque
L'inverse multiplicatif d'un nombre ; pour xx, le réciproque est 1x\frac{1}{x}
Cosécante (csc⁡\csc)
Le réciproque du sinus : csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
Sécante (sec⁡\sec)
Le réciproque du cosinus : sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}
Cotangente (cot⁡\cot)
Le réciproque de la tangente : cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}
Identité
Une équation vraie pour toutes les valeurs valides de la variable

Carte des formules

Cosécante

csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}

Le réciproque du sinus

Sécante

sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}

Le réciproque du cosinus

Cotangente

cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

Le réciproque de la tangente

Cotangente (alt)

cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Exprimée comme un rapport

Défi du jourUn problème, trois essais

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