Disequazioni con valore assoluto

Impara a risolvere disequazioni che coinvolgono il valore assoluto comprendendo la distanza dallo zero.

Avanzato25 minLezione
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Definizione

Una disequazione con valore assoluto confronta il valore assoluto di un'espressione con un numero.
Ricorda che ∣x∣|x| rappresenta la distanza di xx dallo zero sulla retta numerica.

Due tipi principali

Minore di (<< o ≤\leq): L'espressione è entro una certa distanza dallo zero.
∣x∣<a⇒−a<x<a|x| < a \Rightarrow -a < x < a
Maggiore di (>> o ≥\geq): L'espressione è oltre una certa distanza dallo zero.
∣x∣>a⇒x<−a oppure x>a|x| > a \Rightarrow x < -a \text{ oppure } x > a

Concetto chiave

  • ∣x∣<3|x| < 3 significa che xx è a meno di 3 unità dallo zero: −3<x<3-3 < x < 3
  • ∣x∣>3|x| > 3 significa che xx è a più di 3 unità dallo zero: x<−3x < -3 oppure x>3x > 3

Prova subito

Quale disequazione composta rappresenta ∣x∣<5|x| < 5?

Esempi svolti

Risolvi ∣x−2∣<5|x - 2| < 5
1

Riconoscere il tipo

∣x−2∣<5|x - 2| < 5 è una disequazione "minore di" → L'espressione è entro 5 unità dallo zero
2

Scrivere come disequazione composta

Per ∣A∣<a|A| < a, scrivi −a<A<a-a < A < a → −5<x−2<5-5 < x - 2 < 5
3

Risolvere aggiungendo 2 a tutte le parti

−5+2<x−2+2<5+2-5 + 2 < x - 2 + 2 < 5 + 2 → −3<x<7-3 < x < 7
4

Scrivere l'insieme soluzione

Tutti i numeri tra −3-3 e 77 → x∈(−3,7)x \in (-3, 7)

Errori comuni

Scrivere ∣x∣<3|x| < 3 come x<3x < 3 o x<−3x < -3

Perché è sbagliato: Gli studenti dimenticano che "minore di" crea una disequazione E (tra due valori), non un OPPURE.

Corretto: ∣x∣<3|x| < 3 significa −3<x<3-3 < x < 3 (valori tra −3-3 e 33)

Scrivere ∣x∣>3|x| > 3 come −3<x<3-3 < x < 3

Perché è sbagliato: Confusione tra i due casi. "Maggiore di" significa che il valore è LONTANO dallo zero, non vicino.

Corretto: ∣x∣>3|x| > 3 significa x<−3x < -3 OPPURE x>3x > 3 (valori fuori dall'intervallo)

Dimenticare di invertire la disequazione quando si moltiplica per un numero negativo

Perché è sbagliato: Nel risolvere, se moltiplichi o dividi per un numero negativo, la direzione della disequazione si inverte.

Corretto: Esempio: ∣3−2x∣<5|3 - 2x| < 5 dà −5<3−2x<5-5 < 3 - 2x < 5, quindi −8<−2x<2-8 < -2x < 2. Dividendo per −2-2 entrambi i versi si invertono: 4>x>−14 > x > -1, cioè −1<x<4-1 < x < 4

Non verificare se la disequazione non ha soluzione o ha tutti i numeri reali

Perché è sbagliato: Il valore assoluto è sempre non negativo, quindi ∣A∣<negativo|A| < \text{negativo} non ha soluzione, e ∣A∣>negativo|A| > \text{negativo} è sempre vero.

Corretto: Verifica sempre: Questa disequazione può essere effettivamente soddisfatta?

Visuale interattivo

a

-1 ≤ x ≤ 5·[-1, 5]

Clicca sui numeri per selezionarli. Regola l'intervallo per esplorare valori diversi.

a

x < -4 oppure x > 3·(−∞, -4) ∪ (3, ∞)

Clicca sui numeri per selezionarli. Regola l'intervallo per esplorare valori diversi.

Sandbox interattivo

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Prova questi:

Cronologia

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Esercizi pratici

17 esercizi
Problema 1 di 17
Facile
Quale disequazione composta rappresenta ∣x∣<5|x| < 5?

Perché è importante

Le disequazioni con valore assoluto sono essenziali in molte applicazioni del mondo reale:
  • Controllo qualità: Un pezzo meccanico deve essere entro ±0,02\pm 0{,}02 mm dalla dimensione nominale: ∣x−50∣≤0,02|x - 50| \leq 0{,}02
  • Intervalli di temperatura: Conservare farmaci entro 3 gradi da 20 gradi Celsius: ∣T−20∣≤3|T - 20| \leq 3
  • Statistica: Valori entro 2 deviazioni standard dalla media
  • Ingegneria: Intervalli di tolleranza per misurazioni e specifiche
Comprendere queste disequazioni ti aiuta ad esprimere matematicamente intervalli accettabili e margini di errore.

Applicazioni nel mondo reale

Tolleranze di fabbricazione

Le macchine di fabbrica devono produrre pezzi entro tolleranze specifiche. Un bullone deve misurare 10 mm con tolleranza di 0,05 mm.

Esempio:

La disequazione ∣d−10∣≤0,05|d - 10| \leq 0{,}05 significa che il diametro dd deve essere tra 9,95 mm e 10,05 mm.

1Provaci tu stesso

Una fabbrica produce barre che devono essere lunghe 25 cm, con un errore accettabile di 0,2 cm.

Scrivi e risolvi la disequazione per le lunghezze di barra accettabili.

Passo 1: Scegli la risposta giusta

Quale disequazione descrive le lunghezze accettabili LL?

Controllo della temperatura

Molti prodotti richiedono conservazione entro intervalli di temperatura specifici.

Esempio:

I vaccini devono essere conservati a 4 gradi Celsius con variazione non superiore a 2 gradi: ∣T−4∣≤2|T - 4| \leq 2, quindi 2≤T≤62 \leq T \leq 6 gradi.

2Provaci tu stesso

Una cantina vinicola mantiene la temperatura a 13 gradi Celsius. La temperatura non deve variare più di 1,5 gradi.

Qual è l'intervallo di temperatura accettabile?

Passo 1: Scegli la risposta giusta

Quale disequazione descrive le temperature consentite TT?

Limiti di velocità e autovelox

Gli autovelox della polizia hanno un margine di errore. Un conducente potrebbe contestare una multa se la velocità misurata è entro il margine di errore.

Esempio:

Se la precisione dell'autovelox è di 3 km/h e il limite è 50 km/h, velocità tra 47 e 53 potrebbero essere entro il margine di errore: ∣v−50∣≤3|v - 50| \leq 3.

3Provaci tu stesso

Un autovelox ha un margine di errore di 2 km/h. Un conducente è stato registrato a 62 km/h in una zona a 60 km/h.

La velocità registrata è entro il margine di errore del limite?

Passo 1: Scegli la risposta giusta

Quale affermazione è vera per questo guidatore?

Punti chiave

  • 1Il valore assoluto misura la distanza dallo zero, quindi ∣x∣|x| è sempre non negativo
  • 2Per ∣A∣<a|A| < a (minore di): scrivi −a<A<a-a < A < a (disequazione E)
  • 3Per ∣A∣>a|A| > a (maggiore di): scrivi A<−aA < -a OPPURE A>aA > a (disequazione OPPURE)
  • 4Se confrontato con numero negativo: ∣A∣<negativo|A| < \text{negativo} non ha soluzione; ∣A∣>negativo|A| > \text{negativo} è vero per tutti i numeri reali
  • 5Isola sempre l'espressione del valore assoluto prima di separare in casi

Domande frequenti

Pensa alla distanza: "minore di" significa VICINO allo zero (tra due valori = E). "Maggiore di" significa LONTANO dallo zero (fuori = OPPURE). Trucco: minore di dà un solo pezzo al centro, maggiore di dà due pezzi all'esterno.
Pensa alla distanza: "minore di" significa VICINO allo zero (tra due valori = E). "Maggiore di" significa LONTANO dallo zero (fuori = OPPURE). Trucco: minore di dà un solo pezzo al centro, maggiore di dà due pezzi all'esterno.
Per ∣A∣=a|A| = a, ottieni esattamente due soluzioni: A=aA = a o A=−aA = -a. Questa è un'equazione, non una disequazione.
Sì, ma verifica attentamente! Poiché il valore assoluto è sempre non negativo: ∣A∣<negativo|A| < \text{negativo} non ha soluzione, mentre ∣A∣>negativo|A| > \text{negativo} è vero per tutti i valori.

Glossario

Valore assoluto
La distanza di un numero dallo zero sulla retta numerica, sempre non negativo. Scritto come ∣x∣|x|
Disequazione composta
Due disequazioni unite da E o OPPURE
Notazione intervallare
Un modo per scrivere insiemi soluzione usando parentesi tonde (escludere estremo) e quadre (includere estremo)
Insieme soluzione
L'insieme di tutti i valori che rendono vera una disequazione

Scheda formule

Caso minore di (o uguale)

∣A∣<a⇒−a<A<a|A| < a \Rightarrow -a < A < a

L'espressione $A$ è entro $a$ unità dallo zero

Caso maggiore di (o uguale)

∣A∣>a⇒A<−a oppure A>a|A| > a \Rightarrow A < -a \text{ oppure } A > a

L'espressione $A$ è a più di $a$ unità dallo zero

Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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