Disequazioni con valore assoluto
Impara a risolvere disequazioni che coinvolgono il valore assoluto comprendendo la distanza dallo zero.
Definizione
Due tipi principali
Concetto chiave
- significa che è a meno di 3 unità dallo zero:
- significa che è a più di 3 unità dallo zero: oppure
Prova subito
Esempi svolti
Risolvi
Riconoscere il tipo
è una disequazione "minore di" → L'espressione è entro 5 unità dallo zero
Scrivere come disequazione composta
Per , scrivi →
Risolvere aggiungendo 2 a tutte le parti
→
Scrivere l'insieme soluzione
Tutti i numeri tra e →
Risposta: o in notazione intervallare:
Errori comuni
Scrivere come o
Perché è sbagliato: Gli studenti dimenticano che "minore di" crea una disequazione E (tra due valori), non un OPPURE.
Corretto: significa (valori tra e )
Scrivere come
Perché è sbagliato: Confusione tra i due casi. "Maggiore di" significa che il valore è LONTANO dallo zero, non vicino.
Corretto: significa OPPURE (valori fuori dall'intervallo)
Dimenticare di invertire la disequazione quando si moltiplica per un numero negativo
Perché è sbagliato: Nel risolvere, se moltiplichi o dividi per un numero negativo, la direzione della disequazione si inverte.
Corretto: Fai attenzione quando il coefficiente di è negativo all'interno del valore assoluto
Non verificare se la disequazione non ha soluzione o ha tutti i numeri reali
Perché è sbagliato: Il valore assoluto è sempre non negativo, quindi non ha soluzione, e è sempre vero.
Corretto: Verifica sempre: Questa disequazione può essere effettivamente soddisfatta?
Visuale interattivo
Clicca sui numeri per selezionarli. Regola l'intervallo per esplorare valori diversi.
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Segui mentre risolviamo l'equazione passo dopo passo.
Sandbox interattivo
Calcolatrice di espressioni
Prova questi:
Cronologia
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Esercizi pratici
17 eserciziQuale disequazione composta rappresenta ?
Perché è importante
- Controllo qualità: Un pezzo meccanico deve essere entro mm dalla dimensione target:
- Intervalli di temperatura: Conservare farmaci entro 3 gradi da 20 gradi Celsius:
- Statistica: Valori entro 2 deviazioni standard dalla media
- Ingegneria: Intervalli di tolleranza per misurazioni e specifiche
Applicazioni nel mondo reale
Tolleranze di fabbricazione
Le macchine di fabbrica devono produrre pezzi entro tolleranze specifiche. Un bullone deve misurare 10 mm con tolleranza di 0,05 mm.
Esempio:
La disequazione significa che il diametro deve essere tra 9,95 mm e 10,05 mm.
Una fabbrica produce barre che devono essere lunghe 25 cm, con un errore accettabile di 0,2 cm.
Scrivi e risolvi la disequazione per le lunghezze di barra accettabili.
Passo 1: Scrivi l'espressione matematica
Se è la lunghezza, la disequazione di tolleranza è:
Controllo della temperatura
Molti prodotti richiedono conservazione entro intervalli di temperatura specifici.
Esempio:
I vaccini devono essere conservati a 4 gradi Celsius con variazione non superiore a 2 gradi: , quindi gradi.
Una cantina vinicola mantiene la temperatura a 13 gradi Celsius. La temperatura non deve variare più di 1,5 gradi.
Qual è l'intervallo di temperatura accettabile?
Passo 1: Scrivi l'espressione matematica
Scrivi come:
Limiti di velocità e autovelox
Gli autovelox della polizia hanno un margine di errore. Un conducente potrebbe contestare una multa se la velocità misurata è entro il margine di errore.
Esempio:
Se la precisione dell'autovelox è di 3 km/h e il limite è 50 km/h, velocità tra 47 e 53 potrebbero essere entro l'errore: .
Un autovelox ha un margine di errore di 2 km/h. Un conducente è stato registrato a 62 km/h in una zona a 60 km/h.
La velocità registrata è entro il margine di errore del limite?
Passo 1: Scrivi l'espressione matematica
Verifica se
Punti chiave
- 1Il valore assoluto misura la distanza dallo zero, quindi è sempre non negativo
- 2Per (minore di): scrivi (disequazione E)
- 3Per (maggiore di): scrivi OPPURE (disequazione OPPURE)
- 4Se confrontato con numero negativo: non ha soluzione; è vero per tutti i numeri reali
- 5Isola sempre l'espressione del valore assoluto prima di separare in casi
Domande frequenti
Glossario
- Valore assoluto
- La distanza di un numero dallo zero sulla retta numerica, sempre non negativo. Scritto come
- Disequazione composta
- Due disequazioni unite da E o OPPURE
- Notazione intervallare
- Un modo per scrivere insiemi soluzione usando parentesi tonde (escludere estremo) e quadre (includere estremo)
- Insieme soluzione
- L'insieme di tutti i valori che rendono vera una disequazione
Scheda formule
Caso minore di (o uguale)
L'espressione $A$ è entro $a$ unità dallo zero
Caso maggiore di (o uguale)
L'espressione $A$ è oltre $a$ unità dallo zero