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Guida per l'insegnante: Ricarico e sconto

Impara come un negozio fissa i prezzi con un ricarico sul prezzo di costo e li abbassa con uno sconto, e come trovare la percentuale, il prezzo originale e il risultato di sconti successivi.

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Quiz di classe

10 domande su Percentuali. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento
  • Calcolare un prezzo di vendita dal prezzo di costo e da una percentuale di ricarico
  • Calcolare un prezzo scontato dal prezzo originale e da una percentuale di sconto
  • Trovare la percentuale di ricarico o di sconto da due prezzi, usando la base corretta
  • Trovare il prezzo originale quando sono noti il prezzo scontato e lo sconto
  • Spiegare perché sconti successivi, o un ricarico seguito da uno sconto, non si sommano semplicemente
Prerequisiti
  • • Calcolare la percentuale di un numero
  • • Aumento e diminuzione percentuale (fattori 1 + p e 1 - d)
  • • Moltiplicare e dividere numeri decimali
Spunti di discussione
  • 1. Un negozio pubblicizza il 20% di sconto più un ulteriore 10%. È lo stesso del 30%? Come convinceresti un amico?
  • 2. Perché i negozi applicano un ricarico? Quali spese deve coprire?
  • 3. Un articolo viene rincarato del 25% e poi scontato del 25%. Il negozio torna al prezzo di partenza?
  • 4. Un cartellino mostra solo il prezzo scontato e -30%. Come puoi trovare il prezzo originale?
  • 5. Preferiresti il 15% di sconto e poi un altro 15%, oppure il 30% in una volta? Perché?
Idee sbagliate comuni

Gli sconti successivi si possono sommare (20% + 10% = 30%)

Rimedio: Usa un prezzo di 100: dopo il 20% di sconto è 80, e il 10% di 80 è solo 8, quindi il prezzo è 72. Il grafico a barre con 200, 160, 144 e 140 mostra la differenza.

Il prezzo originale è il prezzo scontato più la percentuale di sconto del prezzo scontato

Rimedio: Fai controllare la risposta agli studenti: 63 + 30% di 63 = 81,90, ma il 30% di sconto su 81,90 dà 57,33, non 63. Poi mostra l'equazione Originale × 0,70 = 63.

Uno sconto della stessa percentuale annulla un ricarico

Rimedio: Disegna due diagrammi a nastro di lunghezza diversa: il 25% del prezzo di vendita, più lungo, è un pezzo più grande del 25% del prezzo di costo.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

  • • Partire da prezzi di 100, così la percentuale e la somma sono lo stesso numero
  • • Usare diagrammi a nastro con 10 caselle uguali per mostrare passi del 10%
  • • Esercitarsi su ricarichi e sconti separatamente prima di mescolarli

Per studenti a livello:

  • • Trovare la percentuale di ricarico o di sconto da due prezzi
  • • Calcolare all'indietro dal prezzo scontato al prezzo originale
  • • Confrontare due sconti successivi con un unico sconto

Per studenti avanzati:

  • • Trovare lo sconto che annulla esattamente un ricarico dato (un aumento del 25% richiede uno sconto del 20%)
  • • Confrontare il ricarico sul costo con il margine sul prezzo di vendita
  • • Trovare l'unico sconto equivalente a tre sconti successivi
Allineamento agli standard
  • 7.RP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.RP.A.3)

    Usare relazioni di proporzionalità per risolvere problemi di rapporti e percentuali in più passaggi, come ricarichi, sconti, tasse e provvigioni

  • 7.EE.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.EE.B.3)

    Risolvere problemi reali e matematici in più passaggi con numeri razionali positivi e negativi in qualsiasi forma

Risorse della lezione
  • visualDiagrammi a nastro per costo, ricarico e sconto

    Mostra il prezzo di costo come 100% con il ricarico aggiunto, e il prezzo originale come 100% con lo sconto tolto

  • activityPrezzi per un negozio di classe

    I gruppi comprano articoli a un prezzo di costo, scelgono un ricarico, organizzano i saldi di fine stagione e controllano se guadagnano ancora

  • worksheetQuale offerta conviene?

    Confrontare buoni cumulati con sconti singoli e trovare il vero sconto totale

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Un negozio compra un articolo al prezzo di costo e lo rivende a un prezzo di vendita più alto. La parte aggiunta è il ricarico. Più tardi il negozio può abbassare il prezzo: questa riduzione è un ribasso (detto anche sconto), e il nuovo prezzo è il prezzo scontato.
Entrambi si calcolano con un fattore moltiplicativo:
Prezzo di vendita=Costo×(1+p)\text{Prezzo di vendita} = \text{Costo} \times (1 + p)
Prezzo scontato=Prezzo originale×(1−d)\text{Prezzo scontato} = \text{Prezzo originale} \times (1 - d)
Qui pp è la percentuale di ricarico e dd la percentuale di sconto, scritte come numeri decimali (25% = 0,250{,}25).
Quale prezzo è la base?
  • Una percentuale di ricarico è sempre una percentuale del prezzo di costo.
  • Una percentuale di sconto è sempre una percentuale del prezzo originale (il prezzo prima dei saldi).
Due variazioni di seguito si moltiplicano: il 20% e poi il 10% di sconto danno 0,80×0,90=0,720{,}80 \times 0{,}90 = 0{,}72, quindi paghi il 72% e risparmi il 28%, non il 30%.

Esempi svolti

Un negozio di sport compra uno zaino a 40 € e applica un ricarico del 35%. Qual è il prezzo di vendita?

1

Calcola il ricarico (una percentuale del costo)

40×0,35=1440 \times 0{,}35 = 14 € → Ricarico = 14 €

2

Aggiungilo al prezzo di costo

40+14=5440 + 14 = 54 €

3

Controlla con il fattore

40×1,35=5440 \times 1{,}35 = 54 → Stesso risultato

Errori comuni

Sommare due sconti: il 20% e poi il 10% = il 30% di sconto

Perché è sbagliato: Il secondo sconto si calcola sul prezzo già scontato, che è più piccolo del prezzo originale, quindi fa risparmiare meno.

Corretto: Moltiplica i fattori: 0,80×0,90=0,720{,}80 \times 0{,}90 = 0{,}72. Paghi il 72%, quindi lo sconto totale è del 28%.

Trovare il prezzo originale aggiungendo la percentuale al prezzo scontato (63+30%63 + 30\% di 63=81,9063 = 81{,}90)

Perché è sbagliato: Il 30% era una percentuale del prezzo originale, non del prezzo scontato. Usare il prezzo scontato come base dà un numero troppo piccolo.

Corretto: Dividi per il fattore: 63÷0,70=9063 \div 0{,}70 = 90. Verifica: 90×0,70=6390 \times 0{,}70 = 63.

Dividere il ricarico per il prezzo di vendita (90340≈26%\frac{90}{340} \approx 26\%)

Perché è sbagliato: La percentuale di ricarico si misura sempre rispetto al prezzo di costo, cioè il prezzo pagato dal negozio.

Corretto: Percentuale di ricarico =ricaricocosto×100%= \frac{\text{ricarico}}{\text{costo}} \times 100\%, qui 90250=36%\frac{90}{250} = 36\%.

Pensare che uno sconto del 25% annulli un ricarico del 25%

Perché è sbagliato: Lo sconto si calcola sul prezzo di vendita, che è più grande, quindi toglie più di quanto il ricarico abbia aggiunto: 80×1,25=10080 \times 1{,}25 = 100, poi 100×0,75=75100 \times 0{,}75 = 75.

Corretto: Il prezzo finisce 5 sotto il costo di 80. Per tornare da 100 a 80 serve uno sconto del 20%: 100×0,80=80100 \times 0{,}80 = 80.

Perché è importante

Nella lezione Aumento e diminuzione percentuale hai imparato i fattori 1+p1 + p e 1−d1 - d. Ricarico e sconto sono il punto in cui questi fattori incontrano il denaro vero:
  • I negozi aggiungono un ricarico per pagare affitto, personale e guadagno prima di mettere un articolo sullo scaffale.
  • I saldi come il 40% di sconto sono ribassi calcolati sul prezzo originale.
  • I buoni cumulati (un ulteriore 15% alla cassa) sono sconti successivi, e fanno sempre risparmiare meno della somma delle due percentuali.
  • I cartellini spesso mostrano solo il prezzo scontato, quindi saper ritrovare il prezzo originale è un buon controllo.
  • Le piccole attività devono sapere se un prezzo scontato è ancora sopra il prezzo di costo.
Con queste abilità puoi controllare qualsiasi cartellino e capire quale offerta è davvero la migliore.

Applicazioni nel mondo reale

I prezzi in un negozio di abbigliamento

I negozi di moda spesso applicano un ricarico alto ai capi nuovi e li scontano a fine stagione. La domanda è se il prezzo scontato copre ancora il costo.

Esempio:

Una camicia comprata a 20 € con un ricarico del 100% si vende a 20×2=4020 \times 2 = 40 €. A metà prezzo, più tardi, costa 20 €: nessun guadagno.

1Provaci tu stesso

Un negozio compra un vestito a 60 € e applica un ricarico del 50%. A fine stagione il vestito è scontato del 30%.

Qual è il prezzo scontato finale in euro?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Applica prima il ricarico, poi lo sconto:

Buoni cumulati nei giorni di offerte

Nei grandi giorni di offerte i negozi spesso danno uno sconto e in più un buono alla cassa. Il buono si calcola sul prezzo già scontato.

Esempio:

Il 50% di sconto e poi un altro 50% non significa gratis: 0,5×0,5=0,250{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25, quindi paghi ancora il 25% del prezzo.

2Provaci tu stesso

Un televisore costa 500 €. È scontato del 20%, e un buono toglie un ulteriore 15% dal prezzo scontato.

Qual è lo sconto totale in percentuale? (Scrivi solo il numero.)

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Confronta il prezzo finale con il prezzo originale:

Leggere un cartellino dei saldi

Gli outlet spesso mostrano solo il prezzo scontato e lo sconto. Calcolando all'indietro ritrovi il prezzo originale e quanto risparmi davvero.

Esempio:

Un cartellino dice -25%, ora 30 €. Il prezzo originale era 30÷0,75=4030 \div 0{,}75 = 40 €.

3Provaci tu stesso

Un paio di scarpe da ginnastica ha il cartellino: -40%, ora 48 €.

Qual era il prezzo originale in euro?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Dividi il prezzo scontato per il fattore:

Punti chiave

  • 1Prezzo di vendita = prezzo di costo × (1 + ricarico); la percentuale di ricarico è una percentuale del prezzo di costo
  • 2Prezzo scontato = prezzo originale × (1 - sconto); la percentuale di sconto è una percentuale del prezzo originale
  • 3Percentuale di ricarico = ricarico ÷ costo × 100%; percentuale di sconto = sconto ÷ prezzo originale × 100%
  • 4Per trovare il prezzo originale dal prezzo scontato, dividi per il fattore (63 ÷ 0,70 = 90), non riaggiungere mai la percentuale
  • 5Gli sconti successivi si moltiplicano: il 20% e poi il 10% danno 0,80 × 0,90 = 0,72, cioè il 28% di sconto, non il 30%
  • 6Un ricarico seguito da uno sconto della stessa percentuale finisce sotto il punto di partenza: 1,25 × 0,75 = 0,9375

Domande frequenti

Il ricarico è la stessa cosa del margine?

No. Il ricarico è una percentuale del prezzo di costo, il margine una percentuale del prezzo di vendita. Un articolo comprato a 80 e venduto a 100 ha un ricarico del 25% (20 su 80) ma un margine del 20% (20 su 100).

Un ricarico può superare il 100%?

Sì. Un ricarico del 100% raddoppia il prezzo di costo, e con il 200% il prezzo di vendita è il triplo del costo. Alcuni negozi usano ricarichi così grandi sugli articoli economici.

Uno sconto può superare il 100%?

No. Uno sconto del 100% porta già il prezzo a 0. Un negozio non può togliere più dell'intero prezzo.

L'ordine di due sconti conta?

No. Si può moltiplicare in qualsiasi ordine: 0,80×0,90=0,90×0,80=0,720{,}80 \times 0{,}90 = 0{,}90 \times 0{,}80 = 0{,}72. Il 20% e poi il 10% danno lo stesso prezzo del 10% e poi il 20%.

Glossario

Prezzo di costo
Il prezzo che il negozio paga per un articolo
Prezzo di vendita
Il prezzo che il negozio chiede ai clienti: prezzo di costo più ricarico
Ricarico
La somma (o la percentuale del prezzo di costo) che il negozio aggiunge al prezzo di costo
Ribasso (sconto)
La somma (o la percentuale del prezzo originale) tolta da un prezzo
Prezzo scontato
Il prezzo dopo uno sconto
Fattore moltiplicativo
Il numero per cui moltiplichi per applicare una variazione percentuale, per esempio 1,35 per un ricarico del 35% o 0,60 per il 40% di sconto

Scheda formule

Prezzo di vendita

Prezzo di vendita=Costo×(1+p)\text{Prezzo di vendita} = \text{Costo} \times (1 + p)

Applicare un ricarico di percentuale p al prezzo di costo

Prezzo scontato

Prezzo scontato=Originale×(1−d)\text{Prezzo scontato} = \text{Originale} \times (1 - d)

Applicare uno sconto di percentuale d al prezzo originale

Percentuale di ricarico

Prezzo di vendita−CostoCosto×100%\frac{\text{Prezzo di vendita} - \text{Costo}}{\text{Costo}} \times 100\%

La base è il prezzo di costo

Percentuale di sconto

Originale−Prezzo scontatoOriginale×100%\frac{\text{Originale} - \text{Prezzo scontato}}{\text{Originale}} \times 100\%

La base è il prezzo originale

Prezzo originale

Originale=Prezzo scontato1−d\text{Originale} = \frac{\text{Prezzo scontato}}{1 - d}

Calcolare all'indietro da un prezzo scontato

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