Guida per l'insegnante: Rompicapi logici

Risolvi rompicapi logici passo dopo passo con la griglia, l'eliminazione, l'analisi dei casi, cavalieri e furfanti, indizi di ordine, indizi numerici e attraversamenti del fiume.

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10 domande su Ragionamento logico. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Organizzare gli indizi di un rompicapo in una griglia logica e riempirla con ✓ e ✗
Usare il procedimento per esclusione e l'analisi dei casi per arrivare a un'unica soluzione
Risolvere rompicapi di cavalieri e furfanti provando entrambi i casi per ogni persona che parla
Risolvere rompicapi di ordinamento e numerici elencando e provando i candidati
Trovare il minor numero di traversate nei rompicapi del fiume e spiegare perché meno è impossibile

Prerequisiti

• Ragionamento deduttivo: conclusioni che seguono necessariamente dalle premesse (lezione Il ragionamento deduttivo)
• Implicazioni e quando un enunciato è vero o falso (lezione Enunciati se... allora)
• La differenza tra dimostrare e tirare a indovinare (lezione Introduzione al ragionamento logico)
• Calcolo con i numeri naturali: somme, differenze e prodotti

Spunti di discussione

1. Come capisci che un rompicapo logico è finito, e come puoi essere sicuro che non esista una seconda risposta?
2. Provare un caso è la stessa cosa che tirare a indovinare? Quando è una buona idea?
3. Perché sull'isola dei cavalieri e dei furfanti nessuno può dire "Sono un furfante"?
4. Dove, nella vita reale, le persone risolvono griglie logiche senza chiamarle così?

Idee sbagliate comuni

Se una disposizione rispetta gli indizi, deve essere la risposta

Rimedio: Chiedi agli studenti di provare a costruire una seconda disposizione. Mostra un rompicapo a cui manca un indizio e che ha due soluzioni, poi aggiungi l'indizio e guarda sparire una soluzione.

Nei rompicapi di cavalieri e furfanti, ciò che dicono le persone di solito è vero

Rimedio: Fai un gioco di ruolo con carte cavaliere e furfante nascoste, e richiedi un controllo scritto di entrambi i casi (cavaliere, furfante) per ogni persona che parla.

Un indizio che non nomina direttamente una persona è inutile

Rimedio: Mostra come "il cane non è di Lena" dà una ✗ proprio come un indizio diretto, e come le ✗ portano poi ai ✓.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Cominciare con griglie 2 per 2 e solo due indizi
• Dare cartoncini ritagliati da spostare invece di scrivere nella griglia
• Far ripetere ogni indizio con parole proprie prima di usarlo

Per studenti a livello:

• Risolvere griglie 3 per 3 e scrivere una frase di motivazione per ogni ✓
• Risolvere rompicapi di cavalieri e furfanti con due persone usando una tabella a due casi
• Contare le traversate per 4, 5 e 6 persone con una barca da 2 posti

Per studenti avanzati:

• Inventare un proprio rompicapo 3 per 3 e dimostrare che ha esattamente una soluzione
• Risolvere rompicapi di cavalieri e furfanti con tre persone
• Spiegare perché n persone con una barca da 2 posti hanno bisogno di 2n - 3 traversate

Allineamento agli standard

MP1 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP1)
Dare senso ai problemi e perseverare nel risolverli
MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Costruire argomentazioni valide e valutare il ragionamento degli altri
MP7 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP7)
Cercare e sfruttare la struttura

Risorse della lezione

worksheetGriglie logiche da stampare
Griglie vuote 3 per 3 e 4 per 4 con rompicapi abbinati, da due fino a cinque indizi
activityLa fila umana
Cinque studenti ricevono indizi segreti sull'ordine e devono mettersi in fila senza parlare d'altro che degli indizi
gameGioco di ruolo cavalieri e furfanti
Gli studenti pescano di nascosto una carta cavaliere o furfante, ognuno fa un'affermazione e la classe scopre chi è chi

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Un rompicapo logico ti dà alcuni indizi e ti chiede di trovare l'unica disposizione che li rispetta tutti: chi ha quale animale, chi sta dove in una fila, a quale numero sta pensando qualcuno. Un rompicapo ben costruito ha esattamente una soluzione, e ci arrivi solo ragionando, senza tirare a indovinare.

Il metodo della griglia. Quando abbini due gruppi (per esempio persone e sport), disegna una tabella con una riga per persona e una colonna per elemento. Scrivi ✗ in ogni casella che un indizio esclude e ✓ nella casella che deve essere vera. Nella griglia finita ogni riga e ogni colonna ha esattamente un ✓.

Indizi: Ana non pratica sport con la palla. Ben non gioca a tennis.

	Calcio	Tennis	Nuoto
Ana	✗	✗	✓
Ben	✓	✗	✗
Cleo	✗	✓	✗

Ana riceve ✗ per calcio e tennis, quindi ✓ per il nuoto. Il nuoto è occupato e Ben non gioca a tennis, quindi Ben ✓ calcio, e Cleo ✓ tennis.

Altre strategie che userai in questa lezione:

Procedimento per esclusione: cancella ciò che è impossibile finché resta una sola possibilità
Analisi dei casi: supponi una possibilità, seguila fino in fondo e scartala se porta a una contraddizione
Cavalieri e furfanti: i cavalieri dicono sempre la verità, i furfanti mentono sempre, quindi prova entrambi i casi per ogni persona che parla
Rompicapi di ordinamento: disegna la fila di persone o la fila di case e metti prima le persone con il posto fisso
Rompicapi numerici: trasforma gli indizi su somma e prodotto in una breve lista di candidati e prova ciascuno
Rompicapi di attraversamento: conta ogni singolo viaggio, di andata o di ritorno, e cerca la mossa che non si può evitare

Esempi svolti

Lena, Marco e Nina hanno ciascuno un animale diverso: un gatto, un cane o un pappagallo. Indizio 1: Marco è allergico agli animali con il pelo. Indizio 2: Lena non ha il cane. Chi ha quale animale?

Disegna una griglia $3 \times 3$

Righe: Lena, Marco, Nina. Colonne: gatto, cane, pappagallo. Sono $3 \times 3 = 9$ caselle, e ogni riga e ogni colonna avrà esattamente un ✓. → Una griglia vuota di 9 caselle

Usa l'indizio 1

Gatti e cani hanno il pelo, quindi scrivi ✗ nelle caselle gatto e cane di Marco. Nella sua riga resta solo il pappagallo. → Marco ✓ pappagallo

Completa la colonna del pappagallo

Solo una persona ha il pappagallo, quindi scrivi ✗ per Lena e per Nina nella colonna del pappagallo. → Lena e Nina: ✗ pappagallo

Usa l'indizio 2

Ora Lena ha ✗ per il cane e ✗ per il pappagallo, quindi nella sua riga resta solo il gatto. → Lena ✓ gatto

Riempi l'ultima casella

Nella riga di Nina resta solo il cane, e la colonna del cane non ha ancora nessun ✓. → Nina ✓ cane

Risposta: Lena ha il gatto, Marco il pappagallo e Nina il cane. Verifica: il pappagallo non ha pelo, e Lena non ha il cane, quindi entrambi gli indizi sono rispettati.

Errori comuni

Scrivere un ✓ nella griglia senza cancellare il resto della sua riga e della sua colonna

Perché è sbagliato: Ogni persona ha esattamente un elemento e ogni elemento ha esattamente un proprietario. Le ✗ mancanti nascondono la deduzione successiva.

Corretto: Ogni volta che scrivi un ✓, scrivi subito ✗ in tutte le altre caselle di quella riga e di quella colonna.

Leggere "subito dietro" come "da qualche parte dietro"

Perché è sbagliato: "Dan è subito dietro a Ben" significa due posti vicini, mentre "Ana è da qualche parte davanti a Eva" ammette uno spazio in mezzo. Confonderli dà soluzioni sbagliate o in più.

Corretto: Sottolinea parole come subito, accanto a, da qualche parte, non e solo, e usa ogni indizio esattamente come è scritto.

Credere a ciò che dice qualcuno in un rompicapo di cavalieri e furfanti

Perché è sbagliato: La frase potrebbe venire da un furfante. Prenderla per vera significa guardare solo uno dei due casi.

Corretto: Prova entrambi i casi per ogni persona che parla: cavaliere (la frase è vera) e furfante (la frase è falsa). Tieni solo il caso senza contraddizione.

Contare i viaggi di andata e ritorno invece delle traversate

Perché è sbagliato: Un viaggio di andata e ritorno sono due traversate. Chi conta la soluzione del lupo, della capra e del cavolo come $3$ andate e ritorni più un ultimo viaggio risponde $4$ invece di $7$ .

Corretto: Conta separatamente ogni viaggio di andata o di ritorno, e leggi bene che cosa chiede la domanda.

Perché è importante

I rompicapi logici allenano il modo di pensare che si usa ovunque in matematica e ben oltre:

Dimostrazioni: l'analisi dei casi e la dimostrazione per assurdo sono le stesse mosse che i matematici usano in geometria e in teoria dei numeri
Informatica: i programmatori trovano gli errori escludendo le cause una alla volta, e i programmi di pianificazione risolvono griglie gigantesche
Organizzazione quotidiana: sistemare verifiche, partite o turni di lavoro in un calendario è una griglia logica con indizi veri
Giochi e gare: il Sudoku, il KenKen e i problemi delle olimpiadi di matematica premiano tutti lo stesso ragionamento attento

La cosa più utile che porti con te è un'abitudine: scrivi ciò che sai, escludi ciò che è impossibile e controlla che la tua risposta rispetti ogni singolo indizio.

Applicazioni nel mondo reale

Orari e calendari

Scuole, campionati sportivi e compagnie aeree costruiscono i loro orari risolvendo griglie gigantesche: ogni evento ha bisogno esattamente di uno spazio, e le regole sono gli indizi.

Esempio:

Una scuola con $3$ verifiche e $3$ giorni a disposizione riempie una griglia $3 \times 3$ , proprio come quando si abbinano persone e animali.

1Provaci tu stesso

Tre verifiche, matematica, storia e arte, si svolgono nei giorni $1$ , $2$ e $3$ , una al giorno. Matematica non è il giorno $1$ . Arte è il giorno subito dopo matematica.

In quale giorno si svolge ogni verifica?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Matematica può essere solo il giorno $2$ (arte ha bisogno di un giorno dopo), e arte è un giorno dopo matematica. Scrivi il giorno di arte come un'addizione:

Trovare una moneta falsa

Il controllo di qualità e il lavoro investigativo usano la stessa idea dei rompicapi logici: dividere le possibilità in gruppi ed escludere interi gruppi in una volta.

Esempio:

Con una bilancia a due piatti, una sola pesata di $3$ monete contro $3$ monete ti dice in quale di tre gruppi c'è una moneta falsa più leggera.

2Provaci tu stesso

Hai $9$ monete che sembrano uguali, ma una è falsa ed è più leggera delle altre. Hai una bilancia a due piatti e nessun peso.

Qual è il minor numero di pesate che permette sempre di trovare la moneta falsa?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Ogni pesata divide per $3$ il numero di monete sospette. Scrivilo partendo da $9$ monete:

Organizzare un traghetto

I rompicapi di attraversamento sono lavoro vero per chi gestisce traghetti e navette, che contano ogni viaggio perché ogni viaggio costa carburante e tempo.

Esempio:

Una barca che deve tornare a prendere altri passeggeri fa $2$ traversate per ogni andata e ritorno, più un'ultima traversata senza ritorno.

3Provaci tu stesso

Un piccolo traghetto porta al massimo $3$ auto per viaggio. Su una riva aspettano $8$ auto, e il traghetto parte dalla stessa riva. Alla fine non deve tornare indietro.

Qual è il minor numero di traversate necessarie?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Somma i viaggi con le auto e i ritorni a vuoto:

Punti chiave

1Un rompicapo logico ha indizi ed esattamente una soluzione che li rispetta tutti, e la si trova ragionando, non tirando a indovinare
2Metodo della griglia: una riga per persona, una colonna per elemento; ✓ indica un fatto, ✗ esclude una casella, e alla fine ogni riga e ogni colonna ha esattamente un ✓
3Procedimento per esclusione: quando tutte le possibilità tranne una sono cancellate, l'ultima deve essere vera
4Analisi dei casi: supponi una possibilità e seguila; una contraddizione significa che quel caso è impossibile
5I cavalieri dicono sempre la verità e i furfanti mentono sempre, quindi prova ogni persona in entrambi i ruoli e tieni il caso coerente
6Nei rompicapi di attraversamento conta ogni singolo viaggio di andata o di ritorno; $n$ persone con una barca da 2 posti hanno bisogno di $2n - 3$ traversate

Domande frequenti

E se trovo due risposte che rispettano tutti gli indizi?

Allora o un indizio è stato letto male o il rompicapo è costruito male. Un buon rompicapo ha esattamente una soluzione. Rileggi ogni indizio, soprattutto parole come subito, non e solo, e prova di nuovo entrambe le risposte con ogni indizio.

Da dove comincio?

Comincia da un indizio che dà un fatto fisso ("Cleo è al posto

3

") o che esclude più possibilità. I fatti fissi riempiono la griglia più in fretta, e ogni nuovo ✓ crea altre ✗.

L'analisi dei casi non è semplicemente tirare a indovinare?

No. Una risposta indovinata si tiene senza controllarla. Nell'analisi dei casi segui ogni caso fino in fondo e scarti ogni caso che porta a una contraddizione. Se resta un solo caso, hai dimostrato che è la risposta.

Perché nessuno sull'isola può dire "Sono un furfante"?

Un cavaliere che lo dicesse mentirebbe, e i cavalieri non mentono mai. Un furfante che lo dicesse direbbe la verità, e i furfanti non lo fanno mai. Quindi quella frase è impossibile per tutti gli abitanti dell'isola.

Glossario

Indizio: Un'informazione del rompicapo che ammette o esclude certe disposizioni
Griglia logica: Una tabella con una riga per persona e una colonna per elemento, riempita con ✓ e ✗
Procedimento per esclusione: Cancellare le possibilità impossibili finché ne resta una sola
Analisi dei casi: Dividere un problema in tutti i casi possibili e controllarli uno per uno
Contraddizione: Due fatti che non possono essere veri insieme; arrivarci mostra che una supposizione era sbagliata
Cavaliere e furfante: Personaggi dei rompicapi: un cavaliere dice sempre la verità, un furfante mente sempre

Scheda formule

Regola della griglia

3 \times 3 = 9

caselle, esattamente

3

con ✓

Ogni riga e ogni colonna ha esattamente un ✓; un ✓ trasforma il resto della sua riga e della sua colonna in ✗

Analisi dei casi

\text{caso} \Rightarrow \text{contraddizione}

, quindi il caso è impossibile

Prova ogni caso e tieni solo quello che rispetta tutti gli indizi

Traversate con una barca da 2 posti

2n - 3

Per $n \ge 2$ persone quando ogni volta qualcuno deve remare indietro; per esempio $5$ persone hanno bisogno di $7$ traversate

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Per gli insegnanti

Per studenti in difficoltà:

Per studenti a livello:

Per studenti avanzati:

Contenuto della lezione

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Orari e calendari

Trovare una moneta falsa

Organizzare un traghetto

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Regola della griglia

Analisi dei casi

Traversate con una barca da 2 posti

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