Guida per l'insegnante: I sillogismi

Impara le quattro proposizioni categoriche e le parti di un sillogismo, e verifica la validità con i diagrammi di Venn e il sillogismo ipotetico.

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10 domande su Ragionamento logico. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Individuare il termine minore, maggiore e medio, e la premessa maggiore e minore di un sillogismo
Classificare le proposizioni categoriche come A, E, I oppure O e descrivere ciascuna con le regioni del diagramma di Venn
Verificare la validità di un sillogismo categorico con un diagramma di Venn a tre cerchi
Riconoscere forme non valide come il termine medio non distribuito e due premesse particolari
Distinguere un ragionamento valido da uno fondato e applicare il sillogismo ipotetico a catene di proposizioni se-allora

Prerequisiti

• Ragionamento deduttivo: premesse, conclusioni e l'idea di ragionamento valido
• Proposizioni se-allora e la contronominale
• Diagrammi di Venn con due insiemi: intersezione, unione e regione esterna
• Criteri di divisibilità di base (2, 3, 4, 6, 12)

Spunti di discussione

1. Un ragionamento con una conclusione falsa può essere valido? Un ragionamento con una conclusione vera può essere non valido? Fai un esempio per ciascun caso.
2. Perché ombreggiamo le premesse con tutti e nessuno prima di mettere la x per una premessa con alcuni?
3. "Tutti i cani sono animali, tutti i gatti sono animali, quindi tutti i gatti sono cani" sembra assurdo. Perché la stessa forma può sembrare convincente con altre parole?
4. In quale dimostrazione di geometria hai già usato una catena di proposizioni se-allora?

Idee sbagliate comuni

Se sono d'accordo con la conclusione, il ragionamento è valido

Rimedio: Proponi coppie di ragionamenti con la stessa forma ma parole diverse, uno con una conclusione credibile e uno con una conclusione assurda. Gli studenti vedono che è la forma a decidere la validità, non l'argomento.

Alcuni significa pochi, ma non tutti

Rimedio: Stabilite in classe che alcuni significa almeno uno. Mostra che "alcuni quadrati sono rettangoli" è vero, anche se tutti i quadrati sono rettangoli.

La x di una premessa con alcuni può andare dovunque nell'intersezione

Rimedio: Insisti perché si ombreggino prima le premesse universali. Se l'intersezione resta divisa in due regioni non ombreggiate, la x va sulla linea tra le due: la sua posizione è sconosciuta e non se ne può dedurre nulla.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Partire da diagrammi a due cerchi e proposizioni singole prima di passare a tre cerchi
• Usare gruppi concreti (figure, animali, club scolastici) e oggetti reali o cartellini con i nomi dentro dei cerchi
• Fornire la tabella delle regioni numerate, così gli studenti devono solo decidere quali numeri ombreggiare

Per studenti a livello:

• Verificare da 8 a 10 sillogismi scritti solo con lettere e annotare quali regioni sono ombreggiate
• Trovare un controesempio per ogni sillogismo non valido
• Risolvere problemi di conteggio con i diagrammi di Venn in cui le proposizioni con tutti e nessuno svuotano alcune regioni

Per studenti avanzati:

• Spiegare perché almeno una premessa deve essere universale e perché da due premesse negative non segue nulla
• Studiare la portata esistenziale: quando tutti gli $M$ sono $P$ , tutti gli $S$ sono $M$ dà alcuni $S$ sono $P$ ?
• Scrivere una breve dimostrazione di geometria come catena di sillogismi ipotetici

Allineamento agli standard

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Costruire argomentazioni solide e valutare criticamente il ragionamento degli altri
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Prestare attenzione alla precisione
HSS.CP.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.CP.A.1)
Descrivere eventi come sottoinsiemi di uno spazio campionario usando unioni, intersezioni e complementi

Risorse della lezione

visualModello a tre cerchi
Un diagramma stampabile con le regioni numerate da 1 a 8, per ombreggiare le premesse e mettere le x
activitySmista i sillogismi
I gruppi dividono 16 carte con ragionamenti in validi e non validi e indicano l'errore di ogni ragionamento non valido
worksheetValido, fondato o nessuno dei due?
Gli studenti verificano la forma con un diagramma di Venn e poi giudicano se le premesse sono vere

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Un sillogismo è un ragionamento deduttivo con esattamente due premesse e una conclusione. Un sillogismo categorico parla di gruppi e usa esattamente tre termini:

il termine minore $S$ : il soggetto della conclusione
il termine maggiore $P$ : il predicato della conclusione
il termine medio $M$ : compare in entrambe le premesse ma mai nella conclusione

La premessa che contiene

P

è la premessa maggiore, la premessa che contiene

S

è la premessa minore.

Ogni proposizione di un sillogismo categorico ha una di queste quattro forme (le lettere A, E, I, O sono i codici tradizionali, presi dalle parole latine *affirmo*, affermo, e *nego*, nego: A e I affermano, E e O negano):

Codice	Proposizione	Che cosa dice dei gruppi
A	Tutti gli $S$ sono $P$	nessun elemento di $S$ sta fuori da $P$
E	Nessun $S$ è $P$	$S$ e $P$ non hanno elementi in comune
I	Alcuni $S$ sono $P$	almeno un elemento sta sia in $S$ sia in $P$
O	Alcuni $S$ non sono $P$	almeno un elemento di $S$ sta fuori da $P$

Verificare la validità con un diagramma di Venn. Disegna tre cerchi che si sovrappongono,

S

M

P

. Formano 8 regioni:

Regione	Dentro	Fuori
1	$S$	$M$ , $P$
2	$M$	$S$ , $P$
3	$P$	$S$ , $M$
4	$S$ , $M$	$P$
5	$S$ , $P$	$M$
6	$M$ , $P$	$S$
7	$S$ , $M$ , $P$	nessuno
8	nessuno	$S$ , $M$ , $P$

Per prima cosa ombreggia (segna come vuota) ogni regione che una premessa con tutti o nessuno esclude. Poi metti una x per ogni premessa con alcuni, ma solo dove la x è costretta in un'unica regione. Il sillogismo è valido se il diagramma finito mostra già la conclusione, senza disegnare nient'altro.

Forma valida classica:

\text{Tutti gli } M \text{ sono } P,\quad \text{tutti gli } S \text{ sono } M \quad\Rightarrow\quad \text{tutti gli } S \text{ sono } P

La stessa catena funziona per le proposizioni se-allora. È il sillogismo ipotetico (proprietà transitiva):

p \to q,\quad q \to r \quad\Rightarrow\quad p \to r

Esempi svolti

Tutti gli uccelli sanno volare. Tutti i pinguini sono uccelli. Quindi tutti i pinguini sanno volare. Indica i tre termini e le due premesse. Il ragionamento è valido? La conclusione è vera?

Trova il termine minore e il maggiore nella conclusione

Conclusione: tutti i pinguini (soggetto) sono animali che sanno volare (predicato) → $S$ = pinguini, $P$ = animali che sanno volare

Trova il termine medio

Il termine presente in entrambe le premesse ma non nella conclusione è uccelli → $M$ = uccelli

Indica le premesse

Tutti gli uccelli sanno volare contiene $P$ ; tutti i pinguini sono uccelli contiene $S$ → Premessa maggiore: tutti gli uccelli sanno volare. Premessa minore: tutti i pinguini sono uccelli.

Scrivi la forma con le lettere

Tutti gli $M$ sono $P$ , tutti gli $S$ sono $M$ , quindi tutti gli $S$ sono $P$ → La forma valida classica: il ragionamento è valido

Controlla se le premesse sono vere

La premessa maggiore è falsa: pinguini e struzzi sono uccelli che non sanno volare → Valido ma non fondato, e la conclusione è falsa

Risposta: $S$ = pinguini, $P$ = animali che sanno volare, $M$ = uccelli. Il ragionamento è valido (forma corretta), ma la premessa maggiore è falsa: quindi non è fondato e la sua conclusione è falsa.

Errori comuni

Dire che un ragionamento è valido perché la sua conclusione è vera

Perché è sbagliato: La validità dipende dalla forma, non dai fatti. "Tutte le rose sono fiori. Alcuni fiori appassiscono in fretta. Quindi alcune rose appassiscono in fretta." ha una conclusione credibile, ma la forma non è valida: i fiori che appassiscono in fretta potrebbero essere tutti tulipani.

Corretto: Sostituisci le parole con $S$ , $M$ , $P$ e verifica la forma con il diagramma di Venn. Solo dopo ti chiedi se le premesse sono vere.

Collegare due gruppi attraverso un termine medio che compare solo come "sono $M$ " (termine medio non distribuito)

Perché è sbagliato: Tutti gli $S$ sono $M$ e tutti i $P$ sono $M$ mettono $S$ e $P$ solo da qualche parte dentro $M$ . Possono trovarsi in parti di $M$ completamente diverse, come gatti e cani dentro i mammiferi.

Corretto: Il termine medio deve coprire tutto il suo gruppo almeno una volta: deve essere il soggetto di una proposizione con tutti o nessuno, oppure il predicato di una proposizione con nessuno o alcuni non.

Trarre una conclusione da due premesse con alcuni

Perché è sbagliato: Alcuni $S$ sono $M$ e alcuni $M$ sono $P$ possono riguardare elementi diversi di $M$ . Con $S = \{1, 2\}$ , $M = \{2, 3\}$ , $P = \{3, 4\}$ entrambe le premesse sono vere, ma nessun elemento di $S$ sta in $P$ .

Corretto: Almeno una premessa deve essere universale (tutti o nessuno). Due premesse particolari, o due premesse negative, non danno mai una conclusione.

Invertire una proposizione con tutti

Perché è sbagliato: Tutti i quadrati sono rettangoli non significa che tutti i rettangoli sono quadrati. Nel diagramma, tutti gli $S$ sono $P$ svuota solo la parte di $S$ fuori da $P$ ; la parte di $P$ fuori da $S$ può ancora avere elementi.

Corretto: Le proposizioni con nessuno e alcuni si possono invertire (nessun $S$ è $P$ significa nessun $P$ è $S$ ; alcuni $S$ sono $P$ significa alcuni $P$ sono $S$ ), quelle con tutti e alcuni non invece no.

Perché è importante

I sillogismi sono i mattoni più piccoli di ogni dimostrazione logica, e si nascondono in molti ragionamenti di tutti i giorni:

Dimostrazioni di geometria: ogni quadrato è un rettangolo e ogni rettangolo è un parallelogramma, quindi ogni quadrato è un parallelogramma. Le dimostrazioni lunghe sono catene di passaggi come questo.
Filtri di ricerca e database: se ogni articolo con l'etichetta impermeabile ha anche l'etichetta outdoor, una ricerca degli articoli outdoor contiene già tutti gli articoli impermeabili.
Regole e leggi: una regola (tutti i visitatori sotto i 12 anni devono essere accompagnati da un adulto) più un fatto (Mia è una visitatrice sotto i 12 anni) danno una conclusione su Mia.
Programmazione: se ogni oggetto Square è uno Shape, allora tutto ciò che puoi fare con uno Shape puoi farlo anche con uno Square.
Riconoscere i ragionamenti sbagliati: pubblicità e dibattiti usano spesso forme non valide come "tutti gli snack sani sono poveri di grassi, il nostro biscotto è povero di grassi, quindi il nostro biscotto è sano". Conoscere le forme ti fa vedere subito la falla.

Un diagramma di Venn trasforma una domanda sulle parole in una domanda sulle regioni ombreggiate, così puoi verificare un ragionamento invece di fidarti di come suona.

Applicazioni nel mondo reale

Club scolastici e sondaggi

Quando una scuola conta i membri dei club, proposizioni come "tutti i membri del club di robotica sono nel club di matematica" dicono quali regioni del diagramma di Venn sono vuote, così puoi contare senza contare nessuno due volte.

Esempio:

Nessun membro del club di teatro è nel club di matematica, e tutti i membri del club di robotica sono nel club di matematica. Per il sillogismo (nessun $M$ è $P$ , tutti gli $S$ sono $M$ ), nessun membro del club di robotica è nel club di teatro.

1Provaci tu stesso

Una classe ha $50$ studenti. Tutti i $12$ membri del club di robotica sono nel club di matematica, che ha $30$ membri. Nessun membro del club di teatro ( $9$ studenti) è nel club di matematica.

Quanti studenti non sono in nessuno dei tre club?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi il numero di studenti senza club come un'unica espressione:

Filtri di ricerca nei negozi online

Le categorie di un negozio formano gruppi dentro gruppi. Se ogni articolo impermeabile è anche un articolo outdoor, il filtro outdoor contiene già ogni articolo impermeabile: è il sillogismo tutti gli $S$ sono $M$, tutti gli $M$ sono $P$ all'opera.

Esempio:

Tutte le giacche antipioggia del negozio sono articoli impermeabili, e tutti gli articoli impermeabili sono articoli outdoor. Quindi tutte le giacche antipioggia compaiono nel filtro outdoor.

2Provaci tu stesso

Un negozio ha $120$ articoli outdoor. Tutti i $45$ articoli impermeabili sono articoli outdoor. $18$ articoli impermeabili sono in saldo, e $10$ articoli outdoor che non sono impermeabili sono in saldo.

Quanti articoli outdoor sono in saldo, e quanti articoli outdoor non sono né impermeabili né in saldo?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi il numero di articoli outdoor in saldo come addizione:

Filtri della posta e catene di regole

I programmi di posta elettronica seguono catene di regole se-allora. Il sillogismo ipotetico ($p \to q$, $q \to r$, quindi $p \to r$) ti dice dove finisce un messaggio senza seguire ogni regola una per una.

Esempio:

Se un'email contiene un link di un mittente sconosciuto, viene segnalata. Se un'email è segnalata, va in quarantena. Quindi ogni email con un link di un mittente sconosciuto va in quarantena.

3Provaci tu stesso

Una scuola riceve $200$ email in un giorno. $35$ contengono un link di un mittente sconosciuto, e ognuna di queste email viene segnalata. Altre $15$ email vengono segnalate per un allegato sospetto. Ogni email segnalata va in quarantena, e solo le email segnalate ci vanno.

Quante email arrivano nella posta in arrivo?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi il numero di email che arrivano nella posta in arrivo come un'unica espressione:

Punti chiave

1Un sillogismo ha due premesse e una conclusione; un sillogismo categorico usa tre termini: termine minore $S$ , termine maggiore $P$ e termine medio $M$
2I quattro tipi di proposizione sono A (tutti gli $S$ sono $P$ ), E (nessun $S$ è $P$ ), I (alcuni $S$ sono $P$ ) e O (alcuni $S$ non sono $P$ )
3Per verificare la validità ombreggia le regioni svuotate dalle premesse con tutti e nessuno, metti una x per le premesse con alcuni e controlla se il diagramma mostra già la conclusione
4Tutti gli $M$ sono $P$ , tutti gli $S$ sono $M$ , quindi tutti gli $S$ sono $P$ è valido; tutti gli $S$ sono $M$ , tutti i $P$ sono $M$ , quindi tutti gli $S$ sono $P$ non è valido (termine medio non distribuito)
5Valido significa che la conclusione deve essere vera se le premesse sono vere; fondato significa valido e con premesse vere
6Il sillogismo ipotetico (proprietà transitiva) collega proposizioni se-allora: da $p \to q$ e $q \to r$ segue $p \to r$

Domande frequenti

Un sillogismo valido può avere una conclusione falsa?

Sì, se almeno una premessa è falsa. "Tutti gli uccelli sanno volare, tutti i pinguini sono uccelli, quindi tutti i pinguini sanno volare" è valido ma ha una conclusione falsa. Ciò che è impossibile è un ragionamento valido con premesse vere e conclusione falsa.

"Alcuni" vuol dire "non tutti"?

No. In logica, alcuni

S

sono

P

significa che almeno un

S

P

, e resta vero anche se tutti gli

S

sono

P

. Da alcuni

S

sono

P

non segue alcuni

S

non sono

P

Da tutti gli $M$ sono $P$ e tutti gli $S$ sono $M$ posso concludere che alcuni $S$ sono $P$ ?

Solo se sai che

S

ha almeno un elemento. Nella logica moderna, tutti gli

S

sono

P

non afferma che esista qualche

S

(tutti gli unicorni sono animali è vero anche se non esistono unicorni). Il diagramma di Venn lo mostra: le premesse ombreggiano regioni ma non mettono nessuna x.

Quanti sillogismi categorici validi esistono?

Ognuna delle tre proposizioni è di uno dei quattro tipi (

4 \times 4 \times 4 = 64

combinazioni), e il termine medio può occupare quattro posizioni diverse, il che dà

64 \times 4 = 256

forme. Solo

15

di queste sono valide nella logica moderna (

24

se si suppone che ogni gruppo abbia almeno un elemento). Ecco perché verificare con il diagramma è più sicuro che fidarsi di come suona un ragionamento.

Glossario

Sillogismo: Un ragionamento deduttivo con esattamente due premesse e una conclusione
Proposizione categorica: Una proposizione della forma tutti gli $S$ sono $P$ , nessun $S$ è $P$ , alcuni $S$ sono $P$ oppure alcuni $S$ non sono $P$
Termine medio: Il termine che compare in entrambe le premesse ma non nella conclusione; collega gli altri due termini
Premessa maggiore e minore: La premessa maggiore contiene il predicato $P$ della conclusione, la premessa minore contiene il suo soggetto $S$
Termine medio non distribuito: Una forma non valida in cui il termine medio non copre mai tutto il suo gruppo, per esempio tutti gli $S$ sono $M$ , tutti i $P$ sono $M$
Sillogismo ipotetico: La proprietà transitiva per le proposizioni se-allora: da $p \to q$ e $q \to r$ segue $p \to r$

Scheda formule

Forma valida classica

Tutti gli

M

sono

P

, tutti gli

S

sono

M

\Rightarrow

tutti gli

S

sono

P

Il termine medio collega i due gruppi come una catena

Forma valida con nessuno

Nessun

M

P

, tutti gli

S

sono

M

\Rightarrow

nessun

S

P

Se $S$ sta dentro $M$ e $M$ non ha nulla in comune con $P$, allora anche $S$ non ha nulla in comune con $P$

Forma valida con alcuni

Tutti gli

M

sono

P

, alcuni

S

sono

M

\Rightarrow

alcuni

S

sono

P

La x di alcuni viene spinta nella regione che sta in $S$, $M$ e $P$

Termine medio non distribuito (non valido)

Tutti gli

S

sono

M

, tutti i

P

sono

M

\not\Rightarrow

tutti gli

S

sono

P

Stare nello stesso gruppo grande non collega due gruppi più piccoli

Sillogismo ipotetico

p \to q,\ q \to r \Rightarrow p \to r

Catene di proposizioni se-allora; con la contronominale anche $\neg r \to \neg p$

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Per studenti in difficoltà:

Per studenti a livello:

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Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Club scolastici e sondaggi

Filtri di ricerca nei negozi online

Filtri della posta e catene di regole

Punti chiave

Domande frequenti

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Scheda formule

Forma valida classica

Forma valida con nessuno

Forma valida con alcuni

Termine medio non distribuito (non valido)

Sillogismo ipotetico

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