Cerchi in forma generale

Impara a convertire tra la forma generale e la forma canonica delle equazioni del cerchio e a trovare centro e raggio.

Avanzato25 minLezione
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Definizione

La forma generale di un'equazione del cerchio è:
x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
dove DD, EE e FF sono costanti.
La forma canonica (forma standard) di un cerchio è:
(x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
dove (h,k)(h, k) è il centro e rr è il raggio.
Relazione chiave:
  • Centro: (−D2,−E2)\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)
  • Raggio: r=D24+E24−Fr = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}
Per convertire dalla forma generale alla forma canonica, usa il completamento del quadrato per i termini in xx e yy.

Prova subito

Quale equazione è in forma generale?

Esempi svolti

Converti x2+y2−6x+4y−12=0x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 in forma canonica e trova il centro e il raggio.
1

Raggruppa i termini in xx e yy

(x2−6x)+(y2+4y)=12(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12 → Sposta la costante a destra
2

Completa il quadrato per xx

La metà di −6-6 è −3-3, e (−3)2=9(-3)^2 = 9 → Aggiungi 9 a entrambi i lati
3

Completa il quadrato per yy

La metà di 44 è 22, e (2)2=4(2)^2 = 4 → Aggiungi 4 a entrambi i lati
4

Riscrivi come quadrati perfetti

(x−3)2+(y+2)2=12+9+4(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 12 + 9 + 4 → (x−3)2+(y+2)2=25(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25
5

Identifica centro e raggio

Centro: (3,−2)(3, -2), Raggio: 25=5\sqrt{25} = 5 → Cerchio con centro (3,−2)(3, -2) e raggio 55

Errori comuni

Dimenticare di aggiungere il valore completato a ENTRAMBI i lati

Perché è sbagliato: Quando completi il quadrato, stai aggiungendo al lato sinistro. Per mantenere l'equazione bilanciata, devi aggiungere lo stesso valore al lato destro.

Corretto: Se aggiungi 9 per completare (x−3)2(x-3)^2 a sinistra, aggiungi anche 9 a destra.

Usare segni sbagliati per le coordinate del centro

Perché è sbagliato: La forma canonica (x−h)2+(y−k)2=r2(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 ha la SOTTRAZIONE, quindi (x+4)2(x+4)^2 significa h=−4h = -4, non 44.

Corretto: Se vedi (x+4)2(x + 4)^2, pensalo come (x−(−4))2(x - (-4))^2, quindi h=−4h = -4.

Dimenticare di estrarre la radice quadrata per trovare il raggio

Perché è sbagliato: Il lato destro della forma canonica è uguale a r2r^2, non rr.

Corretto: Se (x−h)2+(y−k)2=25(x-h)^2 + (y-k)^2 = 25, allora r=25=5r = \sqrt{25} = 5, non r=25r = 25.

Visuale interattivo

Grafico della funzione

-10-50510-10-50510xyC(3; -2)
  • h = −D/2 = 3
  • k = −E/2 = -2
  • r² = h² + k² − F = 25
  • r = 5
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
  • Centro: (3; -2)

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

-10-50510-10-50510xy

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

y = -2 + sqrt(25 - (x - 3)^2)

y = -2 - sqrt(25 - (x - 3)^2)

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

16 esercizi
Problema 1 di 16
Facile
Quale equazione è in forma generale?

Perché è importante

La forma generale dei cerchi appare frequentemente nelle applicazioni pratiche:
  • GPS e Navigazione: Le equazioni del cerchio modellano la portata dei segnali da satelliti e torri cellulari
  • Ingegneria: La progettazione di componenti circolari, ingranaggi e ruote richiede la conversione tra forme
  • Fisica: La propagazione delle onde e i pattern di interferenza usano equazioni del cerchio
  • Grafica computerizzata: Il rilevamento delle collisioni e gli algoritmi di impatto usano equazioni del cerchio in varie forme
Padroneggiare entrambe le forme ti permette di estrarre informazioni utili (centro, raggio) da qualsiasi equazione del cerchio che incontri.

Applicazioni nel mondo reale

Copertura delle torri cellulari

Le torri cellulari trasmettono segnali in pattern circolari. Gli ingegneri usano equazioni del cerchio per determinare le aree di copertura.

Esempio:

Una torre alle coordinate (−2,3)(-2, 3) km ha una portata di 8 km. La sua copertura è modellata da (x+2)2+(y−3)2=64(x+2)^2 + (y-3)^2 = 64.

1Provaci tu stesso

La copertura di una torre cellulare è data da x2+y2+4x−6y−51=0x^2 + y^2 + 4x - 6y - 51 = 0 (unità in km).

Trova la posizione della torre e la sua portata massima.

Passo 1: Scegli la risposta giusta

Prima identifica DD, EE, FF per trovare centro e raggio:

Rilevamento dei terremoti

I sismografi rilevano onde sismiche che si propagano in cerchi dall'epicentro.

Esempio:

Se tre stazioni rilevano onde in momenti diversi, l'intersezione dei loro cerchi localizza l'epicentro.

2Provaci tu stesso

I dati sismici danno l'equazione x2+y2−10x+2y−23=0x^2 + y^2 - 10x + 2y - 23 = 0.

Dov'è l'epicentro?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Trova il centro di questo cerchio:

Punti chiave

  • 1Forma generale: x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
  • 2Forma canonica: (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 con centro (h,k)(h, k) e raggio rr
  • 3Conversione completando il quadrato: metà del coefficiente, al quadrato, aggiungere a entrambi i lati
  • 4Formule rapide: Centro =(−D/2,−E/2)= (-D/2, -E/2), Raggio =D2/4+E2/4−F= \sqrt{D^2/4 + E^2/4 - F}
  • 5Sempre verificare: se D2/4+E2/4−F<0D^2/4 + E^2/4 - F < 0, non esiste un cerchio reale

Domande frequenti

Se D24+E24−F<0\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F < 0, il raggio sarebbe la radice quadrata di un numero negativo, che non è reale. Questo significa che l'equazione non rappresenta un cerchio reale (un cerchio immaginario).
Se D24+E24−F<0\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F < 0, il raggio sarebbe la radice quadrata di un numero negativo, che non è reale. Questo significa che l'equazione non rappresenta un cerchio reale (un cerchio immaginario).
Se D24+E24−F=0\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F = 0, il raggio è zero. Questo rappresenta un singolo punto (un cerchio degenere) situato nel centro (−D/2,−E/2)(-D/2, -E/2).
Sì! Il completamento del quadrato è essenziale per convertire qualsiasi conica (cerchi, ellissi, parabole, iperboli) dalla forma generale alla forma canonica.

Glossario

Forma generale
L'equazione x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 dove tutti i termini sono espansi
Forma canonica
L'equazione (x−h)2+(y−k)2=r2(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 che mostra direttamente centro e raggio
Completamento del quadrato
Una tecnica per riscrivere un'espressione quadratica come un quadrato perfetto più una costante
Cerchio degenere
Un cerchio con raggio zero, che rappresenta un singolo punto

Scheda formule

Forma generale

x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

Forma espansa di un'equazione del cerchio

Forma canonica

(x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Mostra il centro $(h, k)$ e il raggio $r$ direttamente

Centro dalla forma generale

(−D2,−E2)\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)

Trova il centro senza completare il quadrato

Raggio dalla forma generale

r=D24+E24−Fr = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}

Trova il raggio dai coefficienti

Completamento del quadrato

x2+bx+(b2)2=(x+b2)2x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2

Tecnica chiave per convertire le forme

Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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