Guida per l'insegnante: Tipi di discontinuità

Impara a distinguere le discontinuità eliminabili (buchi), di salto e infinite, sia dal grafico sia dalla formula.

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Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Definire le discontinuità eliminabili, di salto e infinite con i limiti unilaterali e con il limite
Riconoscere il tipo di discontinuità da un grafico (buco, distacco tra due tratti, asintoto verticale)
Classificare le discontinuità delle funzioni razionali scomponendo e semplificando
Trovare le coordinate di un buco e ridefinire $f(a)$ per eliminarlo
Calcolare l'ampiezza del salto di una funzione definita a tratti

Prerequisiti

• Continuità: le tre condizioni perché una funzione sia continua in un punto
• Limite destro e limite sinistro: i limiti unilaterali
• Limiti infiniti: limiti uguali a $\infty$ o $-\infty$ e asintoti verticali
• Limiti per sostituzione diretta e scomposizione per risolvere la forma indeterminata $\frac{0}{0}$
• Scomposizione di espressioni di secondo grado

Spunti di discussione

1. Perché il valore di $f(a)$ non cambia il tipo di una discontinuità?
2. Un amico dice che ogni zero del denominatore dà un asintoto verticale. Come lo convinceresti del contrario?
3. Dove, nella vita di tutti i giorni, prezzi o quantità saltano di colpo invece di cambiare gradualmente?
4. Una funzione può avere un salto e un buco nello stesso valore di $x$ ? Perché?

Idee sbagliate comuni

Ogni zero del denominatore è un asintoto verticale

Rimedio: Disegna $\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ e $\frac{1}{x - 2}$ uno accanto all'altro. Chiedi di scomporle entrambe e di trovare la differenza. Poi enuncia la regola: prima semplificare, poi decidere.

Un punto pieno in $x = a$ significa che la funzione lì è continua

Rimedio: Mostra l'esempio del salto $h(1) = 6$ : il punto è pieno, ma da sinistra il grafico tende a $3$ . La continuità richiede che il limite esista e sia uguale a $f(a)$ , non solo che ci sia un valore definito.

L'ampiezza del salto è la differenza tra $f(a)$ e uno dei lati

Rimedio: Definisci l'ampiezza del salto solo con i due limiti unilaterali e falla calcolare per una funzione in cui $f(a)$ non è definita.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Partire solo dai grafici: cerchiare i buchi, segnare i distacchi tra i tratti, disegnare gli asintoti tratteggiati
• Usare tabelle dei valori vicino a $x = a$ : i valori si stabilizzano, si separano o esplodono?
• Dare uno schema decisionale: il limite esiste? i lati coincidono? i valori esplodono?

Per studenti a livello:

• Classificare le discontinuità di funzioni razionali scomponendo
• Trovare le coordinate dei buchi e l'ampiezza dei salti
• Scrivere una funzione a tratti con un salto assegnato

Per studenti avanzati:

• Trovare un parametro $k$ che trasformi un salto in un raccordo continuo
• Studiare discontinuità oscillanti come quella di $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$
• Costruire una funzione razionale con un buco in $(1, 2)$ e un asintoto in $x = -3$

Allineamento agli standard

HSF-IF.C.7d (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.D)
Rappresentare funzioni razionali, individuando zeri e asintoti quando sono disponibili scomposizioni adatte, e mostrare il comportamento agli estremi
HSF-IF.C.7b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.B)
Rappresentare funzioni radice quadrata, radice cubica e definite a tratti, comprese le funzioni a gradini
HSA-APR.D.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.APR.D.6)
Riscrivere semplici espressioni razionali in forme diverse

Risorse della lezione

visualTre grafici, tre tipi
Grafici interattivi di un buco, un salto e un asintoto con tabelle dei valori vicino alla rottura
activityCarte da classificare: discontinuità
Gli studenti dividono 12 grafici e formule in eliminabili, di salto e infinite
worksheetBuco o asintoto?
Scomporre funzioni razionali e trovare i buchi con le coordinate e gli asintoti verticali

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Una funzione

f

è continua in

x = a

quando

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

. Se questo non vale,

f

ha una discontinuità in

x = a

. Il modo in cui l'uguaglianza fallisce ne stabilisce il tipo:

1. Discontinuità eliminabile (buco) Il limite esiste ed è un numero finito

L

, ma

f(a)

non esiste oppure

f(a) \neq L

. Il grafico ha un solo buco in

(a, L)

. Puoi eliminarlo ridefinendo

f(a) = L

2. Discontinuità di salto Il limite sinistro e il limite destro sono finiti ma diversi:

\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)

Il grafico salta da un'altezza a un'altra. L'ampiezza del salto è

\left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|

. Nessun valore di

f(a)

può eliminare questa discontinuità.

3. Discontinuità infinita (di seconda specie) Almeno uno dei limiti unilaterali è

\infty

-\infty

. Il grafico ha un asintoto verticale

x = a

Dalla formula (funzioni razionali): scomponi numeratore e denominatore.

Un fattore $(x - a)$ che si semplifica del tutto dà un buco in $x = a$ .
Un fattore $(x - a)$ che resta al denominatore dà un asintoto verticale in $x = a$ .

Esempi svolti

Classifica la discontinuità di $f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ in $x = 2$ ed eliminala.

Controlla dove $f$ non è definita

Il denominatore $x - 2$ vale $0$ in $x = 2$ → $f(2)$ non è definita

Scomponi il numeratore

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ → $f(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2}$

Semplifica il fattore comune

$f(x) = x + 1$ per ogni $x \neq 2$ → Il fattore $(x - 2)$ si semplifica del tutto

Calcola il limite

$\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 1$ → $= 3$ , un limite finito

Classifica e ripara

Il limite esiste, $f(2)$ no: buco in $(2, 3)$ . Poni $f(2) = 3$ . → Discontinuità eliminabile

Risposta: Discontinuità eliminabile (buco) in $(2, 3)$ . Ponendo $f(2) = 3$ , $f$ diventa continua.

Errori comuni

Disegnare un asintoto verticale in ogni zero del denominatore

Perché è sbagliato: Uno zero del denominatore può essere anche un buco. In $\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ il fattore $(x - 2)$ si semplifica, quindi in $x = 2$ non c'è nessun asintoto.

Corretto: Prima scomponi e semplifica. Solo i fattori che restano al denominatore danno asintoti verticali; quelli semplificati danno buchi.

Chiamare eliminabile un salto perché esistono entrambi i limiti unilaterali

Perché è sbagliato: Eliminabile richiede che il limite esista, e questo succede solo se i due lati coincidono. In un salto sono numeri diversi.

Corretto: Limiti unilaterali uguali: eliminabile (o continua). Limiti unilaterali finiti e diversi: salto.

Usare $f(a)$ come altezza del buco

Perché è sbagliato: In un buco $f(a)$ manca o è sbagliato. Il buco si trova all'altezza del limite.

Corretto: L'ordinata di un buco si trova sostituendo $x = a$ nella funzione semplificata: il buco di $\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$ è in $\left(3, \frac{6}{5}\right)$ .

Pensare che un fattore semplificato dia sempre un buco, anche se compare due volte al denominatore

Perché è sbagliato: In $\frac{x - 1}{(x - 1)^2}$ si semplifica un solo fattore; resta $\frac{1}{x - 1}$ , che in $x = 1$ continua a esplodere.

Corretto: Semplifica il più possibile, poi controlla: se $(x - a)$ è ancora al denominatore, è una discontinuità infinita.

Perché è importante

Conoscere il tipo di una discontinuità ti dice quanto è grave la rottura e che cosa puoi farci:

I buchi sono lacune innocue: la funzione è prevedibile intorno e basta ridefinire un punto per renderla continua. I programmi che si bloccano su $\frac{0}{0}$ vengono spesso corretti proprio così.
I salti descrivono cambiamenti improvvisi: tariffe dei parcheggi, tariffe postali, scaglioni IRPEF e interruttori che si accendono o si spengono.
Le discontinuità infinite avvertono che una grandezza esplode: l'immagine di una lente che va all'infinito, la risonanza di un ponte o una formula che divide per quasi zero.

In analisi il tipo di discontinuità decide se un limite esiste, se una funzione si può integrare su un intervallo e come va disegnato il grafico. Tracciare bene le funzioni razionali (buchi o asintoti) è una delle abilità più verificate prima dell'analisi.

Applicazioni nel mondo reale

Tariffe del parcheggio (salti)

I parcheggi fanno pagare ogni ora iniziata: il prezzo è costante all'interno di ogni ora e salta a ogni ora piena.

Esempio:

Un parcheggio costa 4 € fino a 1 ora e 7 € per più di 1 ora fino a 2 ore. In $t = 1$ il prezzo salta di 3 €.

1Provaci tu stesso

Lo stesso parcheggio costa 7 € per più di 1 ora fino a 2 ore e 10 € per più di 2 ore fino a 3 ore. $C(t)$ è il prezzo per $t$ ore.

Qual è l'ampiezza del salto del prezzo in $t = 2$ ore (in €)?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Sottrai il limite sinistro dal limite destro:

Lenti e immagini all'infinito

Per una lente con distanza focale $10$ cm, un oggetto a distanza $u$ forma un'immagine a distanza $v(u) = \frac{10u}{u - 10}$. Quando l'oggetto raggiunge il fuoco, l'immagine se ne va all'infinito.

Esempio:

Con $u = 15$ cm l'immagine è a $v = \frac{150}{5} = 30$ cm. Con $u = 10{,}1$ cm è già a $v = \frac{101}{0{,}1} = 1010$ cm.

2Provaci tu stesso

La distanza dell'immagine è $v(u) = \frac{10u}{u - 10}$ (in cm).

Per quale distanza dell'oggetto $u$ (in cm) $v$ ha una discontinuità infinita?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Cerca dove il denominatore si annulla e il numeratore no:

Correggere una divisione per zero in un programma

I programmi calcolano spesso un tasso di variazione medio $\frac{f(t) - f(a)}{t - a}$. In $t = a$ la formula dà $\frac{0}{0}$ e il programma si blocca, anche se i valori vicini sono del tutto regolari: è una discontinuità eliminabile.

Esempio:

Per $f(t) = t^2$ e $a = 3$ , il tasso $\frac{t^2 - 9}{t - 3}$ si semplifica in $t + 3$ , quindi la programmatrice salva il valore $6$ per $t = 3$ .

3Provaci tu stesso

Un programma calcola $R(t) = \frac{t^2 - 16}{t - 4}$ e si blocca in $t = 4$ .

Quale valore bisogna assegnare a $R(4)$ perché $R$ sia continua?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Semplifica, poi sostituisci $t = 4$ :

Punti chiave

1Una discontinuità in $x = a$ significa che $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ non vale
2Eliminabile (buco): il limite $L$ esiste, ma $f(a)$ manca o è diverso; si ripara con $f(a) = L$
3Di salto: limiti unilaterali finiti e diversi; ampiezza del salto $= \left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|$
4Infinita: un limite unilaterale è $\pm\infty$ ; il grafico ha l'asintoto verticale $x = a$
5Per le funzioni razionali scomponi prima: i fattori semplificati danno buchi, quelli rimasti al denominatore danno asintoti
6L'ordinata di un buco viene dalla funzione semplificata, mai da $f(a)$

Domande frequenti

Perché un buco si chiama eliminabile?

Perché basta un punto per ripararlo. Il limite

L

esiste già, quindi definire (o ridefinire)

f(a) = L

rende vera l'uguaglianza

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

e la funzione diventa continua in

a

Si può mai eliminare una discontinuità di salto?

No. Da sinistra la funzione tende a un'altezza, da destra a un'altra. Qualunque valore tu dia a

f(a)

, può coincidere al massimo con un lato, e il limite continua a non esistere.

Il valore della funzione in $x = a$ cambia il tipo?

No. Il tipo dipende solo dai limiti vicino ad

a

. Un salto resta un salto sia che

f(a)

sia il valore di sinistra, quello di destra o non sia definito, e un buco resta eliminabile sia che

f(a)

manchi sia che sia sbagliato.

Esistono altri tipi di discontinuità?

Sì, ma sono più rari. Per esempio

\sin\left(\frac{1}{x}\right)

oscilla sempre più velocemente vicino a

x = 0

e lì non ha nessun limite unilaterale (discontinuità oscillante). Nei libri italiani si parla anche di discontinuità di prima specie (salto), di seconda specie (limite infinito o inesistente) e di terza specie (eliminabile).

Glossario

Discontinuità: Un punto $x = a$ in cui l'uguaglianza $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ non vale
Discontinuità eliminabile (buco): Il limite esiste ed è finito, ma $f(a)$ non è definita o è diversa; si ripara ridefinendo un punto
Discontinuità di salto: Il limite sinistro e il limite destro sono finiti ma non uguali
Ampiezza del salto: La distanza tra i due limiti unilaterali: $\left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|$
Discontinuità infinita: Almeno un limite unilaterale è $\infty$ o $-\infty$ ; il grafico ha un asintoto verticale
Asintoto verticale: Una retta verticale $x = a$ a cui il grafico si avvicina mentre i suoi valori crescono senza limite

Scheda formule

Eliminabile (buco)

\lim_{x \to a} f(x) = L

esiste,

f(a) \neq L

o non definita

Si ripara con $f(a) = L$

Di salto

\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)

, entrambi finiti

Ampiezza del salto $= \left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|$

Infinita

\lim_{x \to a^\pm} f(x) = \pm\infty

Asintoto verticale $x = a$

Test per le funzioni razionali

\frac{(x - a)\,p(x)}{(x - a)\,q(x)} = \frac{p(x)}{q(x)}

Un fattore semplificato dà un buco in $\left(a, \frac{p(a)}{q(a)}\right)$ se $q(a) \neq 0$; un fattore rimasto al denominatore dà un asintoto

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Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Tariffe del parcheggio (salti)

Lenti e immagini all'infinito

Correggere una divisione per zero in un programma

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Eliminabile (buco)

Di salto

Infinita

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